2.3 单调性、凹凸性、极值点、拐点

上一节：2.2 可导性的判断 · 总目录 · 笔记整理索引 · 下一节：2.4 导数相关的计算

2.3.1 单调性与极值点相关知识点

单调性与极值的四个结论（单调性判别、极值必要条件、第一/第二充分条件）是后面一切”抽象函数判极值”题型的公共工具，先把它们的判断依据、使用条件、注意点理清，再去看各题型。

1 单调性的判别

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。

①如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\ge0$ ，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加；

②如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\le0$ ，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减少。

也就是说，若任意 $x\in(a,b)$ 有 $f'(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加，即 $x_1<x_2$ 时， $f(x_1)<f(x_2)$ 。

条件是：闭区间连续、开区间可导。结论能写到 $[a,b]$ 上，靠的是端点的连续性（端点处不需要可导）。
若 $f'$ 在某小区间上恒为 $0$ ，则 $f$ 在该段上是常数，此时只能得到”单调不减”，得不到”严格单调”。这是判定严格单调时唯一的例外。
反过来不成立：严格单调增加不要求 $f'(x)\ge0$ 处处成立，甚至不要求 $f'$ 处处存在。作为”等号点存在仍严格单调”的标准例子：

y=x^3 \text{ 在 } (-\infty,+\infty) \text{ 上连续且可导,\quad 且 } y'=3x^2\ge0,

等号仅在 $x=0$ 处成立，故 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加。

2 一阶可导点是极值点的必要条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，且在点 $x_0$ 处取得极值，则必有 $f'(x_0)=0$ 。

3 判别极值的第一充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta)(\delta>0)$ 内可导。

①若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $f'(x)<0$ ，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $f'(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值；

②若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $f'(x)>0$ ，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $f'(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值；

③若 $f'(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta)$ 内不变号，则点 $x_0$ 不是极值点。

判断依据：极值的本质是” $x_0$ 附近的函数值以 $f(x_0)$ 为局部最值”，配合单调性就是” $f$ 在 $x_0$ 左侧、右侧的增减方向相反”，即 $f'$ 在 $x_0$ 两侧异号。这正是 ①②③ 的内容。
使用条件：只要求 $f$ 在 $x_0$ 连续、在去心邻域内可导，不要求 $f'(x_0)$ 存在。因此第一充分条件是判不可导点（如 $y=|x|$ 在 $0$ 处、 $y=x^{2/3}$ 在 $0$ 处）是否为极值点的唯一通用工具。
注意点： $f'$ 在两侧同号 $\Rightarrow$ 不是极值点（③）；若 $f'$ 在 $x_0$ 某一侧无定义或无法定号，只能回到极值定义，比较 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 的大小。

4 判别极值的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\ne0$ 。

①若 $f''(x_0)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；

②若 $f''(x_0)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

设

f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}>0,

（后一步用了 $f'(x_0)=0$ ）由保号性可知：

（1）当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $x-x_0<0$ ，从而 $f'(x)<0$ ，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域单调递减；

（2）当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $x-x_0>0$ ，从而 $f'(x)>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域单调递增。

所以 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值。

同理，当 $f''(x_0)<0$ 时， $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值。

判断依据： $f''(x_0)$ 的符号刻画 $f'$ 在 $x_0$ 附近的单调趋势。 $f''(x_0)>0$ 说明 $f'$ 在 $x_0$ 附近递增，而 $f'(x_0)=0$ ，于是 $f'$ 必然”左负右正”，对应极小值。
使用条件：必须同时满足 $f'(x_0)=0$ 与 $f''(x_0)\ne0$ ；只要求 $f$ 在 $x_0$ 处二阶可导。本质上是把第一充分条件的”变号判断”换成了两个等号即可完成的计算。
注意点：若 $f''(x_0)=0$ ，第二充分条件失效，此时既不能断定是极值点，也不能断定不是——必须改用第一或第三充分条件。典型例： $y=x^4$ 在 $x=0$ 处， $f'(0)=f''(0)=0$ ，但 $x=0$ 确实是极小值点。

5 判别极值的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且

f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0\quad(n\ge2),

则

①当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；

②当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

判断依据（如何记住）：取 $n=2$ 的特殊情形做”标尺”——条件退化为 $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\ne0$ ，正是第二充分条件，结论是”偶数阶导非零 $\Rightarrow$ 极值，符号决定极大还是极小”。第三充分条件只是把这条结论推广到”低阶导数全为 $0$ 、首个非零阶为 $n$ “的情形， $n$ 的奇偶性对应”变号（奇）还是不变号（偶）”。
使用条件：需要 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且首个不为 $0$ 的导数必须是偶数阶。使用前应逐阶代入验证 $f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=0$ ，这是本题最容易算错的一步。
注意点：若各阶导数在 $x_0$ 处全为 $0$ （找不到首个非零阶），则此条件无法使用，须改用泰勒展开或直接比较函数值。

2.3.2 凹凸性与拐点相关知识点

凹凸性刻画的是”曲线弯曲的方向”，拐点则是凹凸性的分界点。判别逻辑与极值完全平行：二阶导数符号 $\to$ 凹凸性；二阶导数变号 $\to$ 拐点。

1 凹凸性的定义

《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》规定如下：

定义 1　设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意不同两点 $x_1,x_2$ ，恒有

f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的（或凹弧）；如果恒有

f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的（或凸弧）。

事实上，当图形为**凹（凹弧）**时，可以将中点形式

f\left(\frac12x_1+\frac12x_2\right) < \frac12f(x_1)+\frac12f(x_2)

更一般地推广为任意加权组合形式：

f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2) < \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2),

其中 $0<\lambda_1<1,\ 0<\lambda_2<1,\ \lambda_1+\lambda_2=1$ 。

同理，当图形为**凸（凸弧）**时，更一般地有：

f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2) > \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2).

定义 2　设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，若对 $(a,b)$ 内的任意 $x$ 及 $x_0(x\ne x_0)$ ，均有

f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \underset{(>)}{<} f(x),\tag{*}

则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的（凸的）。

2 拐点的定义

连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

3 凹凸性与拐点的判别

1 判别凹凸性

设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导。

①若在 $I$ 上 $f''(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；

②若在 $I$ 上 $f''(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的。

2 二阶可导是拐点的必要条件

设 $f''(x_0)$ 存在，且点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点，则 $f''(x_0)=0$ 。

3 判别拐点的第一充分条件

设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，在点 $x=x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta)$ 内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域内 $f''(x)$ 变号（无论是由正变负，还是由负变正），则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

判断依据：拐点是凹弧与凸弧的分界点，而凹凸由 $f''$ 的符号决定，所以” $f''$ 在 $x_0$ 两侧变号”与” $(x_0,f(x_0))$ 是拐点”等价（在下面的使用条件满足时）。
使用条件：只要求 $f$ 在 $x_0$ 连续、在去心邻域内二阶可导；不要求 $f''(x_0)$ 存在，也不要求 $f'(x_0)$ 存在。这是处理 $y=\sqrt[3]{x}$ 、 $y=x^{5/3}$ 这类题的唯一手段。
注意点： $f''$ 不变号（如 $y=x^4$ 在 $0$ 处）时不是拐点；判断”变号”时要分别在左右邻域内各定一次号，只算 $f''(x_0)=0$ 不能说明任何问题。

4 判别拐点的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内三阶可导，且

f''(x_0)=0,\qquad f'''(x_0)\ne0,

则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

由于

f'''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)}{x-x_0}\ne0,

不妨设 $f'''(x_0)>0$ 。由保号性可知：

①当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $x-x_0<0$ ，所以 $f''(x)<0$ ，即曲线在 $x_0$ 的左邻域为凸的；

②当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $x-x_0>0$ ，所以 $f''(x)>0$ ，即曲线在 $x_0$ 的右邻域为凹的。

因此 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

5 判别拐点的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且

f^{(m)}(x_0)=0\quad(m=2,\cdots,n-1),\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0\quad(n\ge3),

则当 $n$ 为奇数时，点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

若

f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\quad f^{(n)}(x_0)\ne0,

$n$ 为偶数——极值（取 $n=2$ 的特殊例子对齐记忆： $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\ne0$ ，极值），且

f^{(n)}(x_0)<0\Longrightarrow\text{极大值},\qquad f^{(n)}(x_0)>0\Longrightarrow\text{极小值}.

$n$ 为奇数——拐点（取 $n=3$ 的特殊例子对齐记忆： $f''(x_0)=0,\ f'''(x_0)\ne0$ ，拐点）。

两条判据共用同一组条件（低阶导数在 $x_0$ 处全为 $0$ 、首个非零阶为 $n$ ），区别只在于看的是哪一列导数：极值看 $f',f'',\dots$ 这一列，拐点看 $f'',f''',\dots$ 这一列（把拐点的问题整体”平移一阶”，就变成极值的问题）。

同一个点可以既是极值点，又是拐点，但此时函数在该点一定不可导（“带尖”的情形）。

理由：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且 $x_0$ 是极值点，则 $f'(x_0)=0$ 。而拐点要求 $f''$ 在 $x_0$ 两侧变号，根据 $f''$ 的符号就能判断 $f'$ 的单调性：设 $x<x_0$ 时 $f''>0$ 、 $x>x_0$ 时 $f''<0$ ，则 $f'$ 在左邻域递增到 $f'(x_0)=0$ 、在右邻域从 $0$ 递减，于是 $f'$ 在 $x_0$ 两侧同号（都是负的）， $x_0$ 就不是极值点，矛盾。所以可导的点不可能同时是极值点和拐点。

不可导情形的例子：

f(x)= \begin{cases} -x-\dfrac12x^2,&x<0,\\[6pt] x+\dfrac12x^2,&x\ge0, \end{cases}

在 $x=0$ 处 $f$ 连续， $f'_-(0)=-1\ne1=f'_+(0)$ ，故 $f'(0)$ 不存在；又 $x\ne0$ 时恒有 $f(x)>f(0)=0$ ， $x=0$ 是极小值点；同时左邻域 $f''=-1<0$ （凸）、右邻域 $f''=1>0$ （凹），凹凸性改变， $(0,0)$ 又是拐点。

2.3.3 秒杀！ $x$ 的多项式的极值点拐点

对形如

f(x)=(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}\cdots(x-x_m)^{k_m}

的多项式，零点、驻点、极值点、拐点的个数和位置都可以不解方程直接数出来：只要知道每个因式的重数，再配合”求一次导重数减一”和罗尔定理”穿插”，就能把各阶导数零点的重数表全部推出来。本节的结论在真题中主要用于快速定位 $x$ 轴上的极值点与拐点。

1. 核心定理：重根与导数的关系（求导降重法则）

设 $x_0$ 是方程 $f(x)=0$ 的 $n$ 重根（ $n\in\mathbb{N}^+$ ），即

f(x)=(x-x_0)^n g(x),\qquad g(x_0)\ne0.

若 $g(x)$ 具有 $n$ 阶连续导数，则：

导数充要特征： $f(x_0)=f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0.$
重数规律（求一次导，重数减一）：
- 当 $n=1$ 时（单根）， $f'(x_0)\ne0$ ，即 $x_0$ 不是导方程 $f'(x)=0$ 的根（单根不是驻点）；
- 当 $n\ge2$ 时（重根）， $x_0$ 是 $f'(x)=0$ 的 $n-1$ 重根。
- 依此类推， $x_0$ 是 $f^{(k)}(x)=0$ 的 $n-k$ 重根（ $k\le n-1$ ），且 $x_0$ 不是 $f^{(n)}(x)=0$ 的根。

2. “沉鱼落雁，闭月羞花”秒杀口诀与判断法则

判断这类多项式的极值点与拐点，只需两步：先用”求导降重”数出各阶导数零点的重数，再看重数的奇偶定”是否变号”。四个概念（零点、驻点、极值点、拐点）是同一条链条上的四个环节，整理成通用判据如下：

概念	数学定义	重数与变号判断法则
零点	$f(x)=0$ 的实根	观察各因式 $(x-x_i)^{k_i}$ ，每个不同的 $x_i$ 均为一个零点，总重数 $\sum k_i$ 。
驻点	$f'(x)=0$ 的实根	① 降重根：每个 $k_i\ge 2$ 的零点贡献 $k_i-1$ 重驻点； ② 穿插根（罗尔定理）： $m$ 个不同零点之间穿插产生 $m-1$ 个单重驻点。
极值点	$f'(x)$ 穿轴变号的点（即 $f'(x)=0$ 的奇数重根）	① 原偶数重根： $k_i$ 为偶数 $\xrightarrow{\text{求导}}$ $f'(x)$ 的奇数重根 $\implies$ 是极值点； ② 原奇数重根： $k_i$ 为奇数 $\xrightarrow{\text{求导}}$ $f'(x)$ 的偶数重根（或非根） $\implies$ 不是极值点； ③ 穿插驻点：所有罗尔定理产生的单根驻点（奇数重） $\implies$ 全是极值点。
拐点	$f''(x)$ 穿轴变号的点（即 $f''(x)=0$ 的奇数重根）	① 原奇数重根（ $k_i\ge 3$ ）： $k_i$ 为奇数 $\xrightarrow{\text{求导两次}}$ $f''(x)$ 的奇数重根 $\implies$ $(x_i, 0)$ 是拐点； ② 原偶数重根： $k_i$ 为偶数 $\xrightarrow{\text{求导两次}}$ $f''(x)$ 的偶数重根（或非根） $\implies$ 不是拐点； ③ 穿插拐点：导函数驻点之间由罗尔定理穿插产生的单根 $\implies$ 全是拐点。

判断依据： $f$ $f$ 的零点 $x_i$ $x_{i}$ 在 $f'$ $f^{'}$ 中降为重数 $k_i-1$ $k_{i} - 1$ 的根，重数为奇数时 $f'$ $f^{'}$ 才变号（极值）；同理 $f''$ $f^{''}$ 中 $x_i$ $x_{i}$ 的重数为 $k_i-2$ $k_{i} - 2$ ，重数为奇数时 $f''$ $f^{''}$ 才变号（拐点）。因此”原重数的奇偶”直接决定了该点是极值点还是拐点：
- $k$ 偶 $\to$ 极值点（不是拐点）；
- $k$ 奇且 $k\ge3$ $\to$ 拐点（不是极值点）；
- $k=1$ （单重） $\to$ 既不是极值点也不是拐点，只是曲线穿过 $x$ 轴的位置。
使用条件：函数必须是只含实系数一次因式的多项式（每个 $x_i$ 都要能写成 $(x-x_i)^{k_i}$ 的形式）；穿插根的个数由”不同零点数 $m$ “决定，与重数无关。若多项式含不可分解的二次因式或非多项式因子，本表不适用，须回到导数计算。
注意点：本表给出的是个数与位置，不给出函数值；穿插产生的驻点与拐点只知道”落在相邻两个零点之间”，具体坐标一般无法解出，题目只会问个数。

1. 零点：共有 $4$ 个不同零点： $x=1,2,3,4$ （重数分别为 $1,2,3,4$ ，总重数为 $10$ ）。

2. 驻点：

降重驻点： $x=2$ （1重）、 $x=3$ （2重）、 $x=4$ （3重），共 $3$ 个不同驻点（贡献 $1+2+3=6$ 个重数）；
穿插驻点： $4$ 个不同零点之间由罗尔定理穿插产生 $4-1=3$ 个单重驻点；
驻点总个数（不同实根）为 $3+3=6$ 个（总重数 $6+3=9$ ，与 $f'$ 是 $9$ 次多项式一致）。

3. 极值点：只有导数奇数重根才变号：

原函数偶数重根： $x=2$ （求导后为 1 重，变号）、 $x=4$ （求导后为 3 重，变号），共 $2$ 个极值点；
穿插驻点： $3$ 个穿插驻点均为 1 重（变号），共 $3$ 个极值点；
极值点总个数为 $2+3=5$ 个。

4. 拐点：只有二阶导奇数重根才变号：

原函数奇数重根（ $\ge 3$ ）： $x=3$ （求导两次后为 1 重，变号），对应拐点 $(3,0)$ ，共 $1$ 个；
穿插拐点：导函数 $f'(x)$ 有 $6$ 个不同实根，在相邻驻点之间穿插产生 $6-1=5$ 个二阶导单根（变号），共 $5$ 个拐点；
拐点总个数为 $1+5=6$ 个。

2.3.4 图像 + 极值点拐点

这类题不给出 $f(x)$ 的表达式，只给出 $f'(x)$ 的图象，要求数出极值点与拐点的个数。解题动作固定：把”图象上的几何特征”翻译成”导数的变号”。

数极值点：数 $f'(x)$ 变号的点。若 $f$ 可导，就是 $f'$ 的图象穿过 $x$ 轴的点（由正变负或由负变正；只是相切、不穿过的点不算）；另外， $f'$ 出现铅直渐近线（ $f'\to\infty$ ）的位置对应 $f$ 的不可导点，若 $f$ 在该点连续且两侧 $f'$ 异号，也要计入极值点。
数拐点：数 $f''(x)$ 变号的点。因为 $f''$ 是 $f'$ 的导数，所以拐点恰好是 $f'$ 的极值点（ $f'$ 由增变减、或由减变增的点）；同样地， $f'$ 的铅直渐近线处（ $f''$ 不存在）须单独判断两侧 $f'$ 的增减方向是否改变。
适用条件：只要求 $f$ 连续； $f$ 不必二阶可导，判据用的是变号而不是等号。

本题结论：极值点 4 个，拐点 3 个。

2.3.5 极限表达式 + 极值点拐点

这类题的条件是”某个含 $f'$ 、 $f''$ 的极限式等于非零常数”，函数本身是抽象的。处理手法只有一句话：用极限的保号性把”极限值的符号”翻译成”去心邻域内的符号”，从而得到 $f'$ 、 $f''$ 的符号信息，再套 2.3.1 与 2.3.2 的判据。相关的基础工具见 1.1.14 函数极限概念题（保号性与定性分析）。

由 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{x}=-1$ 且 $f''$ 连续，得 $f''(x)\to0$ ，故

f''(0)=\lim_{x\to0}f''(x)=0.

又由保号性，在 $x=0$ 的去心邻域内有 $\dfrac{f''(x)}{x}<0$ ，即

x>0\text{ 时 }f''(x)<0,\qquad x<0\text{ 时 }f''(x)>0,

$f''$ 在 $x=0$ 两侧变号，所以 $(0,f(0))$ 是拐点，选 C。

此时还要排除极值的可能（否则无法确认 C 唯一）：当 $x>0$ 时 $f''(x)<0$ ，故 $f'$ 在右侧递减；当 $x<0$ 时 $f''(x)>0$ ，故 $f'$ 在左侧递增。结合 $f'(0)=0$ 得 $f'$ 在 $x=0$ 两侧同为负， $f$ 在 $0$ 附近单调减少， $x=0$ 不是极值点。

易错点：不能用洛必达把 $f''(0)$ 写成 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{x}$ ，再把这个极限与题给的 $\lim\dfrac{f''(x)}{x}$ 混为一谈。注意两者并不相等：由 $f''(0)=0$ 与导数定义， $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{x}=f''(0)=0$ 。

由已知极限式且 $f$ 有二阶连续导数，得 $f''(0)=0$ 。为把 $f(x)-f(-x)$ 处理掉，用带皮亚诺余项的泰勒展开：

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2+o(x^2),\qquad f(-x)=f(0)-f'(0)x+\frac{f''(0)}2x^2+o(x^2),

两式相减并用 $f'(0)=f''(0)=0$ ，得 $f(x)-f(-x)=o(x^2)$ 。于是

\frac{f''(x)}{|x|} =\frac{f''(x)+f(x)-f(-x)}{|x|}-\frac{o(x^2)}{|x|} \longrightarrow 1-0=1>0.

由保号性知，在 $x=0$ 的去心邻域内 $f''(x)>0$ ，即 $f'$ 单调增加；结合 $f'(0)=0$ 得

x<0\text{ 时 }f'(x)<0,\qquad x>0\text{ 时 }f'(x)>0,

所以 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。又 $f''(x)>0$ 在去心邻域内恒成立， $f''$ 在 $x=0$ 两侧不变号， $(0,f(0))$ 不是拐点。故选 D。

第一步：求 $f(0)$ 与 $f'(0)$ 由已知条件 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-a}{\ln(1+x)}=0$ ，且分母 $\ln(1+x)\sim x\to 0$ ，由极限存在性可知分子必趋于 0：

\lim_{x\to0}\big(f(x)-a\big)=0 \implies \lim_{x\to0}f(x)=a.

因为 $f(x)$ 二阶可导必连续，所以 $f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x)=a$ 。进而根据导数定义：

f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\left[\frac{f(x)-a}{\ln(1+x)}\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}\right]=0\cdot 1=0.

第二步：利用【导数极限定理】求 $f''(0)$ 观察第二个极限：

\lim_{x\to0}\frac{f''(x)-1}{e^{x^2}-1}=2021.

由于分母 $e^{x^2}-1\sim x^2\to 0$ ，故分子极限必须为 0，即：

\lim_{x\to0}\big(f''(x)-1\big)=0 \implies \lim_{x\to0}f''(x)=1.

因为函数 $f(x)$ 具有二阶导数（即 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且在去心邻域内可导），且极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}f''(x)=1$ 存在，直接由 2.1.3 导数极限定理可得：

f''(0)=\lim_{x\to0}f''(x)=1>0.

第三步：极值判定 由 $f'(0)=0$ 且 $f''(0)=1>0$ ，根据一元函数极值的第二充分条件可知， $f(0)$ 是 $f(x)$ 的严格极小值。故正确答案选 (B)。

方法一（取特殊函数检验）：令 $f(x)=x^4$ ，代入四个选项逐一检验，只有 A 成立。小题可用此法迅速排除。

方法二（泰勒展开比对系数）：

\lim_{x\to0} \frac{f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+ \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+o(x^4)} {x^4}=1.

所以

f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0,\qquad \frac{f^{(4)}(0)}{4!}=1,

即 $f^{(4)}(0)=24$ 。令 $g(x)=f'(x)$ ，则

g'(0)=f''(0)=0,\qquad g''(0)=f'''(0)=0,\qquad g'''(0)=f^{(4)}(0)=24>0,

由拐点的第三充分条件（ $n=3$ 为奇数，首个非零阶的导数为 $g'''(0)$ ）， $(0,0)$ 是曲线 $y=f'(x)$ 的拐点。令 $h(x)=f''(x)$ ，则

h'(0)=f'''(0)=0,\qquad h''(0)=f^{(4)}(0)=24>0,

由极值的第二充分条件， $x=0$ 是 $f''(x)$ 的极小值点。

2.3.6 微分方程 + 极值点拐点

这类题只是把条件写成微分方程的形式，通常不需要解出 $f(x)$ 的表达式：把 $x=x_0$ 代入方程得到 $f''(x_0)$ 的值，再对方程两边逐次求导、再代入 $x_0$ ，就能依次得到 $f'''(x_0)$ 、 $f^{(4)}(x_0)$ 等。思路与 2.3.5 完全一致。

令

g(x)=\ln(1+x)-\frac{\arctan x}{x+1},\qquad g(0)=0.

g'(x)=\frac1{1+x} -\frac{\dfrac{x+1}{1+x^2}-\arctan x}{(x+1)^2} =\frac{x^2+x+(x+1)^2\arctan x}{(x+1)^2(1+x^2)}>0 \quad(x>0).

所以 $g(x)>g(0)=0$ ，即方程右端在 $x>0$ 时为正。把 $x=x_0$ 代入原方程，并利用 $f'(x_0)=0$ ：

f''(x_0)+x_0f'(x_0)=g(x_0)>0\Longrightarrow f''(x_0)=g(x_0)>0.

由极值第二充分条件（ $f'(x_0)=0$ ， $f''(x_0)>0$ ）， $x_0$ 为极小值点，选 C。

判断依据：题目想问的是 $f''(x_0)$ 的符号，而方程已经把 $f''(x_0)$ 表示成右端函数在 $x_0$ 处的值，于是问题转化为”判断右端函数的符号”——只需研究该函数在 $0^+$ 附近的单调性与初值。

2.3.7 隐函数 + 极值点拐点

（Ⅰ）将 $y(0)=0$ 代入

ae^x+y^2+y-\ln(1+x)\cos y+b=0

中可得

a+b=0.

对方程

ae^x+y^2+y-\ln(1+x)\cos y+b=0

两端关于 $x$ 求导，可得

ae^x+2yy'+y' -\frac{\cos y}{1+x} +\ln(1+x)y'\sin y=0. \tag{1}

将 $y(0)=0,\ y'(0)=0$ 代入（1）式，可得

a-1=0.

联立可得

a=1,\qquad b=-1.

（Ⅱ）由 $y'(0)=0$ 可知 $x=0$ 为 $y(x)$ 的驻点。如果能确定 $y''(0)$ 的符号，那么就能利用一元函数极值的第二充分条件判断 $x=0$ 是否为极值点。

将 $a=1$ 代入（1）式，可得

e^x+2yy'+y' -\frac{\cos y}{1+x} +\ln(1+x)y'\sin y=0. \tag{2}

对（2）式两端关于 $x$ 求导，可得

e^x+2(y')^2+2yy''+y'' +\frac{\cos y}{(1+x)^2} +\frac{2y'\sin y}{1+x} +\ln(1+x)y''\sin y +\ln(1+x)(y')^2\cos y=0. \tag{3}

将 $y(0)=0,\ y'(0)=0$ 代入（3）式可得

y''(0)+2=0.

于是

y''(0)=-2<0.

由一元函数极值的第二充分条件可知， $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点。

2.3.8 几何意义 + 凹凸性

凹凸性的定义也可以完全用”弦、函数、切线三者的位置关系”来表达，这在选择题中往往比算二阶导数更快。

由于

g(x)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}x+f(0),\qquad g(0)=f(0),\qquad g(1)=f(1),

故 $y=g(x)$ 表示的曲线是过点 $(0,f(0))$ 、 $(1,f(1))$ 的弦。

依据凹凸性的几何意义：若 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上凹（ $f''\ge0$ ），曲线位于弦的下方，即 $f(x)\le g(x)$ ；若 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上凸（ $f''\le0$ ），曲线位于弦的上方，即 $f(x)\ge g(x)$ 。由于 $f(x)$ 具有 2 阶导数，故曲线的凹凸性可以由 $f''(x)$ 确定。当 $f''(x)\ge0$ 时， $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上凹，从而 $f(x)\le g(x)$ 。应选 D。

一阶导数的符号与曲线的凹凸性没有直接关系。作为选项 A 的反例，可以考虑曲线 $y=x^2$ ；作为选项 B 的反例，可以考虑曲线 $y=\sqrt{x}$ 。

2.3.9 易错点清单与解题流程

候选点漏一类：找极值只解 $f'(x)=0$ ，漏掉 $f'$ 不存在的点；找拐点只解 $f''(x)=0$ ，漏掉 $f''$ 不存在的点（如 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $0$ 处）。正确做法是两类候选点都列出来再筛。
把必要条件当充分条件： $f'(x_0)=0$ 只是驻点， $f''(x_0)=0$ 只是候选点，都要再判”是否变号”。 $y=x^3$ 的 $x=0$ 、 $y=x^4$ 的 $x=0$ 是两个标准反例。
$f''(x_0)=0$ 时误用第二充分条件：此时既不能说它是极值、也不能说不是，必须改用第一或第三充分条件（或泰勒展开）。
拐点写成一个数：拐点要写成 $(x_0,f(x_0))$ ，极值点才写 $x=x_0$ 。
用洛必达处理抽象极限条件时”反向使用”：由 $\lim f''(x)$ 存在可以得 $f''(0)$ ，但不能由 $\lim\frac{f''(x)}{x}$ 直接说 $f''(0)$ 等于它；详见例 2.29 的易错点。
混淆”可导点”与”拐点/极值点”：可导点不可能同时是极值点和拐点；两者兼有时该点必不可导。
多项式结论的超范围使用：2.3.3 的重根判据只适用于”一次因式乘积形式”的多项式，遇到含其他因子或非多项式函数时必须回到导数计算。

看条件形式，定信息来源：给不出表达式——图象（2.3.4）；给极限式——保号性（2.3.5）；给微分方程——代值与逐次求导（2.3.6）；给隐函数方程——隐函数求导（2.3.7）；给多项式因式分解式——重根判据（2.3.3）。
先把信息落到导数上：目标是拿到 $f'(x_0)$ 、 $f''(x_0)$ 甚至 $f'''(x_0)$ 的值或符号。
再选判据： $f'$ 变号 $\Rightarrow$ 极值； $f''$ 变号 $\Rightarrow$ 拐点。能算二阶导就用第二充分条件，算不出就回到”变号”本身，或补一阶导看 $f'''$ 。
最后检查唯一性：确认某点是拐点时，顺手排除它不是极值点（二者互斥），选项才好定。

我的总结

这一节的两条主线其实是一条：“变号”决定性质，“等号”只提供候选。 $f'$ 变号即极值， $f''$ 变号即拐点；而 $f'=0$ 、 $f''=0$ 本身什么都说明不了。 $y=x^3$ （ $f'=0$ 但不是极值点）、 $y=x^4$ （ $f''=0$ 但不是拐点）、 $y=|x|$ （ $f'$ 不存在但是极值点）、 $y=\sqrt[3]{x}$ （ $f'$ 不存在但是拐点）这四个例子把四种”等号或不存在”的情形全占了，我把它们当成一个固定的反例组来记。
第一充分条件与第二充分条件的分工要清楚：第一充分条件是万能的（不要求可导点，只要求连续），第二充分条件省事（两次求值即可），但 $f''(x_0)=0$ 时立刻失效。所以做题的顺序是：能算 $f''$ 就算，算出来是 $0$ 就退回去看符号。
第三充分条件我一直记不牢，这次把它拆成”看哪一列导数”来记：极值看 $f',f'',\dots$ 这一列取首个非零阶；拐点看 $f'',f''',\dots$ 这一列取首个非零阶，判据都是”偶数阶非零 $\to$ 极值 / 奇数阶非零 $\to$ 拐点”，区别只是起点平移一阶。2.3.3 的重根判据（ $k$ 偶是极值点、 $k$ 奇且 $k\ge3$ 是拐点）正是它在多项式情形下的具体化，两条可以互相印证。
这一节真正的考试难点不在判据本身，而在如何从题目条件里拿到导数信息。我把题型按”信息来源”分了五类（图象、极限式、微分方程、隐函数、多项式因式），每类的动作都是固定的：先把条件翻译成 $f'(x_0)$ 、 $f''(x_0)$ ，再套判据。例 2.28（图象）、例 2.29–2.32（极限式）、例 2.33–2.34（微分方程）、例 2.35（隐函数）是同一条流水线上的四站。
还需要补的地方：2.3.4 的图象题我只能凭”变号”判据和答案 4 个极值点、3 个拐点反推，图中 $x=0$ 与 $x=x_5$ 两条铅直渐近线处 $f'$ 的具体走势我没能逐段核清，复习时要把图重画一遍核对；例 2.30 的原始推导里有一处把 $f''(x)/|x|>0$ 直接写出而没有交代 $f(x)-f(-x)$ 的阶，我用泰勒展开补了这一步，但仍需与官方解析对照一次。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）
常见考研数学教材与辅导资料
本人课程学习笔记。其中多项式零点—驻点—极值点—拐点所依据的「求一次导重数减一 + 罗尔定理穿插」模型及其口诀式表述，参考自某考研数学课程讲义（本笔记 2.3.3 节按自己的推导重新整理，口诀只保留在标题中）
例题中涉及的具名题集与讲义：武忠祥高数辅导讲义（例 2.29、例 2.30、例 2.31）、李林 880（例 2.28）、张宇（例 2.34），以及各年份真题（例 2.27、例 2.33、例 2.35、例 2.36 与 2.3.3 中的 2011 数一真题）
凹凸性、拐点的定义与各条充分条件采用《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》的表述

上一节：2.2 可导性的判断 · 总目录 · 笔记整理索引 · 下一节：2.4 导数相关的计算

ギターと孤独と蒼い惑星

2.3 单调性、凹凸性、极值点、拐点

2.3 单调性、凹凸性、极值点、拐点

2.3.1 单调性与极值点相关知识点

1 单调性的判别

2 一阶可导点是极值点的必要条件

3 判别极值的第一充分条件

4 判别极值的第二充分条件

5 判别极值的第三充分条件

2.3.2 凹凸性与拐点相关知识点

1 凹凸性的定义

2 拐点的定义

3 凹凸性与拐点的判别

1 判别凹凸性

2 二阶可导是拐点的必要条件

3 判别拐点的第一充分条件

4 判别拐点的第二充分条件

5 判别拐点的第三充分条件

2.3.3 秒杀！ $x$ 的多项式的极值点拐点

1. 核心定理：重根与导数的关系（求导降重法则）

2. “沉鱼落雁，闭月羞花”秒杀口诀与判断法则

2.3.4 图像 + 极值点拐点

2.3.5 极限表达式 + 极值点拐点

2.3.6 微分方程 + 极值点拐点

2.3.7 隐函数 + 极值点拐点

2.3.8 几何意义 + 凹凸性

2.3.9 易错点清单与解题流程

我的总结

参考资料

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2.3 单调性、凹凸性、极值点、拐点

2.3.1 单调性与极值点相关知识点

1 单调性的判别

2 一阶可导点是极值点的必要条件

3 判别极值的第一充分条件

4 判别极值的第二充分条件

5 判别极值的第三充分条件

2.3.2 凹凸性与拐点相关知识点

1 凹凸性的定义

2 拐点的定义

3 凹凸性与拐点的判别

1 判别凹凸性

2 二阶可导是拐点的必要条件

3 判别拐点的第一充分条件

4 判别拐点的第二充分条件

5 判别拐点的第三充分条件

2.3.3 秒杀！xxx 的多项式的极值点拐点

1. 核心定理：重根与导数的关系（求导降重法则）

2. “沉鱼落雁，闭月羞花”秒杀口诀与判断法则

2.3.4 图像 + 极值点拐点

2.3.5 极限表达式 + 极值点拐点

2.3.6 微分方程 + 极值点拐点

2.3.7 隐函数 + 极值点拐点

2.3.8 几何意义 + 凹凸性

2.3.9 易错点清单与解题流程

我的总结

参考资料

2.3.3 秒杀！ $x$ 的多项式的极值点拐点