8.6.4 线性系统结构分解的习题课

一、习题概述与解题方法框架

结构分解是现代控制理论考研中的高分大题考点。解题统一规范流程如下：

判别能控/能观性： 计算 $Q_c$ 或 $Q_o$ ，初等变换求秩 $n_1$ ；
构建基向量矩阵： 取判别矩阵的 $n_1$ 个独立向量（能控取列，能观取行）并补充 $n - n_1$ 个自然基；
求逆与坐标变换： 计算变换后矩阵并核对零子块；
提取子空间表达式： 明确写出能控/不能控或能观/不能观子系统的动态方程。

二、精选经典例题全解（讲义 P218-222 原题）

例题 1：二阶系统能控性分解

Step 1：能控性判别

b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad Ab = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}

\operatorname{rank} Q_c = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = 1 < 2

故系统不完全能控， $n_1 = 1$ 。

Step 2：构造变换矩阵 取第一列，补充标准向量 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ：

R_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad R_c^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：坐标变换

\bar{A} = R_c^{-1} A R_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}

\bar{b} = R_c^{-1} b = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = c R_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}

变换后系统为：

\begin{bmatrix} \dot{\bar{x}}_c \\ \dot{\bar{x}}_{\bar{c}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_c \\ \bar{x}_{\bar{c}} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_c \\ \bar{x}_{\bar{c}} \end{bmatrix}

例题 2：三阶系统能控性分解（补充列选法对比）

Step 1：能控性判别

b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad Ab = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad A^2b = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}

\operatorname{rank} Q_c = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = 2 < 3

系统不完全能控， $n_1 = 2$ 。

Step 2：构造变换矩阵（两种常用选法对比）

选法一（讲义方案1）： 取前两列，补充第三列 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ： $T_c = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad T_c^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 变换后系统为： $\bar{A} = T_c^{-1} A T_c = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad \bar{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
选法二（讲义方案2，标准基选法，推荐！）： 补充标准基 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ： $T_c = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad T_c^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 变换后系统为： $\bar{A} = T_c^{-1} A T_c = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -4 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad \bar{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

例题 3：三阶系统能观性分解

Step 1：能观性判别

c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}, \quad cA = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \quad cA^2 = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \end{bmatrix}

\operatorname{rank} Q_o = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} = 2 < 3

系统不完全能观， $n_1 = 2$ 。

Step 2：构造逆变换矩阵并求逆 取前两行，补充标准行向量 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ：

T^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型

\bar{A} = T^{-1} A T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \bar{b} = T^{-1} b = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = c T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

例题 4：能控子空间与不能控子空间显式求解

Step 1：能控性判别

b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad Ab = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad A^2b = \begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 8 \end{bmatrix}

\operatorname{rank} Q_c = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 8 \end{bmatrix} = 2 < 3

系统不完全能控， $n_1 = 2$ 。

Step 2：构造变换矩阵 取前两列，补充 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ：

P = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型

\bar{A} = P^{-1} A P = \begin{bmatrix} 0 & -4 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \bar{b} = P^{-1} b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = c P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}

Step 4：写出两个子空间方程

能控子空间： $\dot{x}_c = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x_c + \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} x_{\bar{c}} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u, \quad y_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} x_c$
不能控子空间： $\dot{x}_{\bar{c}} = x_{\bar{c}}, \quad y_2 = -x_{\bar{c}}$

例题 5：能观子空间与不能观子空间显式求解

Step 1：能观性判别

c = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad cA = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 \end{bmatrix}, \quad cA^2 = \begin{bmatrix} 4 & -7 & 4 \end{bmatrix}

\operatorname{rank} Q_o = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ 4 & -7 & 4 \end{bmatrix} = 2 < 3

系统不完全能观， $n_1 = 2$ 。

Step 2：构造变换矩阵 取前两行，补充 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ：

T_o^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad T_o = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型

\bar{A} = T_o^{-1} A T_o = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ -5 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad \bar{b} = T_o^{-1} b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = c T_o = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Step 4：写出两个子空间方程

能观子空间： $\dot{\bar{x}}_o = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \bar{x}_o + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} u, \quad y_o = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \bar{x}_o$
不能观子空间： $\dot{\bar{x}}_{\bar{o}} = \begin{bmatrix} -5 & 3 \end{bmatrix} \bar{x}_o + 2\bar{x}_{\bar{o}} + u$

例题 6：多输入系统的能控性分解

Step 1：多输入能控性判别

B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad A^2B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

判别矩阵：

Q_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}

由于第 1 行与第 3 行完全相同，显然 $\operatorname{rank} Q_c = 2 < 3$ 。系统不完全能控， $n_1 = 2$ 。

Step 2：构造变换矩阵 从 $Q_c$ 选取前两列 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，补充第三列 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ：

P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}

Step 3：计算规范型

\bar{A} = P^{-1} A P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{B} = P^{-1} B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \bar{c} = c P = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 4：写出子空间表达式

能控子空间： $\dot{x}_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} x_c + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} x_{\bar{c}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} u, \quad y_1 = \begin{bmatrix} 0 & 2 \end{bmatrix} x_c$
不能控子空间： $\dot{x}_{\bar{c}} = 0 \cdot x_{\bar{c}} = 0, \quad y_2 = x_{\bar{c}}$

ギターと孤独と蒼い惑星

8.6.4 线性系统结构分解的习题课

8.6.4 线性系统结构分解的习题课

一、习题概述与解题方法框架

二、精选经典例题全解（讲义 P218-222 原题）

例题 1：二阶系统能控性分解

例题 2：三阶系统能控性分解（补充列选法对比）

例题 3：三阶系统能观性分解

例题 4：能控子空间与不能控子空间显式求解

例题 5：能观子空间与不能观子空间显式求解

例题 6：多输入系统的能控性分解

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