8.5.5 能控性与能观性的综合应用

一、核心考点与理论精要

在 816 考研专业课现代控制理论大题中，能控性与能观性常与参数辨识、坐标变换、极点配置、零极点对消等知识点综合考察。核心考题模型通常分为三类：

参数待定与条件约束型：已知系统含未定参数，求解使系统完全能控、完全能观（或不可控/不可观）的参数充要条件；
结构配置与多输入多输出设计型：根据约旦块特征值重数，论证单输入/单输出配置的局限性；
模态变换与对角化求解型：通过 Vandermonde 矩阵等变换化为对角型，求解待定参数。

二、标准解题模型与计算步骤

代数判据法（低阶系统首选）：
- 构造能控性矩阵 $M(p) = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots \end{bmatrix}$ 与能观性矩阵 $N(q) = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \cdots \end{bmatrix}$ ；
- 计算行列式 $\det(M)$ 与 $\det(N)$ ；
- 建立方程/不等式：完全能控/能观 $\iff \det \neq 0$ ；不完全能控/能观 $\iff \det = 0$ 。
模态变换法（标准型或高阶系统首选）：
- 求出系统特征值 $\lambda_i$ 及变换矩阵 $P$ ；
- 计算变换后输入矩阵 $\bar{B} = P^{-1}B$ 与输出矩阵 $\bar{C} = CP$ ；
- 根据模态判据直接对 $\bar{B}$ 各行与 $\bar{C}$ 各列列出代数方程。

三、经典例题与真题精析

例题 1：二阶四参数系统可控可观条件确定

解：

第一步：分析能控性条件 系统阶数 $n = 2$ 。计算 $Ab$ ：

Ab = \begin{bmatrix} -a & c \\ -d & -b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c - a \\ -b - d \end{bmatrix}

构造能控性矩阵 $Q_c$ ：

Q_c = \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & c - a \\ 1 & -b - d \end{bmatrix}

计算其行列式：

\det(Q_c) = 1 \times (-b - d) - 1 \times (c - a) = a - b - c - d

系统状态完全能控的充要条件为：

\det(Q_c) \neq 0 \iff a - b - c - d \neq 0

第二步：分析能观性条件 计算 $cA$ ：

cA = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -a & c \\ -d & -b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a & c \end{bmatrix}

构造能观性矩阵 $Q_o$ ：

Q_o = \begin{bmatrix} c \\ cA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -a & c \end{bmatrix}

计算其行列式：

\det(Q_o) = 1 \times c - 0 \times (-a) = c

系统状态完全能观的充要条件为：

\det(Q_o) \neq 0 \iff c \neq 0

结论： 当且仅当参数满足 $a - b - c - d \neq 0$ 且 $c \neq 0$ 时，系统既完全能控又完全能观。

例题 2：重特征值约旦系统可控可观性论证

解：

能控性分析：
- 矩阵 $A$ 中特征值 $\lambda_1$ 为二重特征根，且对应于两个独立的 1 阶约旦块（几何重数为 2）。
- 根据 Gilbert 模态判据，对于相同特征值的多个独立约旦块，输入矩阵中对应各块末行的行向量组必须线性无关。
- 在本题中，输入为单输入（ $p=1$ ），对应 $\lambda_1$ 两个约旦块末行的行标量为 $a$ 和 $b$ 。标量 $a$ 与 $b$ 作为一维向量必线性相关（即总存在常数使 $k_1 a + k_2 b = 0$ ）。
- 结论： 无论如何选择参数 $a, b, c$ ，单输入系统绝不可能状态完全能控（至少需要 2 个独立控制输入）。
能观性分析：
- 同理，二重特征根 $\lambda_1$ 对应两个独立约旦块，要求 $C$ 中对应的列向量组线性无关。
- 本题为单输出系统（ $q=1$ ），测量矩阵对应列为标量 $d$ 与 $e$ ，一维标量必线性相关。
- 结论： 无论如何选择参数 $d, e, f$ ，单输出系统绝不可能状态完全能观。

例题 3：二阶含参系统不可控与不可观参数求解

解：

1. 求解不可控参数 $p$ ：计算 $Ab$ ：

Ab = \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p - 12 \\ p \end{bmatrix}

构造能控性矩阵：

M = \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p & p - 12 \\ -1 & p \end{bmatrix}

计算行列式：

\det(M) = p^2 - (-1)(p - 12) = p^2 + p - 12 = (p + 4)(p - 3)

系统不完全能控 $\iff \det(M) = 0 \iff p = -4$ 或 $p = 3$ 。

2. 求解不可观参数 $q$ ：计算 $cA$ ：

cA = \begin{bmatrix} q & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q + 1 & 12q \end{bmatrix}

构造能观性矩阵：

N = \begin{bmatrix} c \\ cA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q & 1 \\ q + 1 & 12q \end{bmatrix}

计算行列式：

\det(N) = q(12q) - 1(q + 1) = 12q^2 - q - 1 = (3q - 1)(4q + 1)

系统不完全能观 $\iff \det(N) = 0 \iff q = \frac{1}{3}$ 或 $q = -\frac{1}{4}$ 。

例题 4：能控标准型通过对角化设计不可观测量参数

解：

第一步：求特征值 矩阵 $A$ 为能控标准型，直接由最后一行读出特征多项式：

|\lambda I - A| = \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0

解得互异特征值： $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = -3$ 。

第二步：构造对角化变换矩阵 $P$ （Vandermonde 阵） 对应特征向量构成的变换矩阵为：

P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

令 $x = Pz$ ，则变换后对角阵为 $\Lambda = \text{diag}(-1, -2, -3)$ 。

第三步：计算模态测量向量 $\bar{c} = cP$

\bar{c} = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} c_1 - c_2 + c_3 & c_1 - 2c_2 + 4c_3 & c_1 - 3c_2 + 9c_3 \end{bmatrix}

第四步：确定不可观参数条件 根据对角型模态判据，系统不可观 $\iff \bar{c}$ 中至少有一个元素为 $0$ ：

c_1 - c_2 + c_3 = 0 \quad \text{或} \quad c_1 - 2c_2 + 4c_3 = 0 \quad \text{或} \quad c_1 - 3c_2 + 9c_3 = 0

取特解：令 $c_1 - c_2 + c_3 = 0$ ，可取 $c_1 = 1, c_2 = 2, c_3 = 1$ （此时第 1 个模态不可观）。验算：取 $c = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ 时，系统状态不完全能观。

例题 5：按指定模态配置参数使状态分别满足可控/不可观

解：

第一步：求系统特征值与对角化矩阵

|sI - A| = \det \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s + 3 \end{bmatrix} = s(s + 3) + 2 = s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2) = 0

得特征值 $s_1 = -1, s_2 = -2$ 。对应的特征向量为 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ 。变换矩阵及其逆矩阵为：

P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}

第二步：计算模态矩阵 $\bar{B}$ 与 $\bar{C}$ 令 $x = Pz$ ，变换后的对角系统为：

\bar{A} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

\bar{B} = P^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2b_1 + b_2 \\ -b_1 - b_2 \end{bmatrix}

\bar{C} = CP = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 - c_2 & c_1 - 2c_2 \end{bmatrix}

第三步：按要求列出参数约束方程

情形 1：设模态 $z_1$ 能控且能观，模态 $z_2$ 不能控且不能观：
$\begin{cases} 2b_1 + b_2 \neq 0 \\ c_1 - c_2 \neq 0 \\ -b_1 - b_2 = 0 \implies b_1 = -b_2 \\ c_1 - 2c_2 = 0 \implies c_1 = 2c_2 \end{cases}$
代入验证：当 $b_1 = -b_2 \neq 0$ 且 $c_1 = 2c_2 \neq 0$ 时， $2b_1+b_2 = b_1 \neq 0$ 且 $c_1-c_2 = c_2 \neq 0$ 自然满足。
情形 2：设模态 $z_2$ 能控且能观，模态 $z_1$ 不能控且不能观：
$\begin{cases} 2b_1 + b_2 = 0 \implies b_2 = -2b_1 \\ c_1 - c_2 = 0 \implies c_1 = c_2 \\ -b_1 - b_2 \neq 0 \\ c_1 - 2c_2 \neq 0 \end{cases}$

结论： 满足要求的参数条件为：

\begin{cases} b_1 = -b_2 \neq 0 \\ c_1 = 2c_2 \neq 0 \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} b_2 = -2b_1 \neq 0 \\ c_1 = c_2 \neq 0 \end{cases}

ギターと孤独と蒼い惑星

8.5.5 能控性与能观性的综合应用

8.5.5 能控性与能观性的综合应用

一、核心考点与理论精要

二、标准解题模型与计算步骤

三、经典例题与真题精析

例题 1：二阶四参数系统可控可观条件确定

例题 2：重特征值约旦系统可控可观性论证

例题 3：二阶含参系统不可控与不可观参数求解

例题 4：能控标准型通过对角化设计不可观测量参数

例题 5：按指定模态配置参数使状态分别满足可控/不可观

四、易错陷阱与避坑指南

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