8.5.5 能控性与能观性的综合应用

一、核心考点与理论精要

在 816 考研专业课现代控制理论大题中，能控性与能观性常与参数辨识、坐标变换、极点配置、零极点对消等知识点综合考察。核心考题模型通常分为三类：

1. 参数待定与条件约束型：已知系统含未定参数，求解使系统完全能控、完全能观（或不可控/不可观）的参数充要条件；
2. 结构配置与多输入多输出设计型：根据约旦块特征值重数，论证单输入/单输出配置的局限性；
3. 模态变换与对角化求解型：通过 Vandermonde 矩阵等变换化为对角型，求解待定参数。

---

二、标准解题模型与计算步骤

💡 【METHOD】 含参系统综合分析解题模板

1. 代数判据法（低阶系统首选）：
   • 构造能控性矩阵 $M(p) = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots \end{bmatrix}$ 与能观性矩阵 $N(q) = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \cdots \end{bmatrix}$；
   • 计算行列式 $\det(M)$ 与 $\det(N)$；
   • 建立方程/不等式：完全能控/能观 $\iff \det \neq 0$；不完全能控/能观 $\iff \det = 0$。
2. 模态变换法（标准型或高阶系统首选）：
   • 求出系统特征值 $\lambda_i$ 及变换矩阵 $P$；
   • 计算变换后输入矩阵 $\bar{B} = P^{-1}B$ 与输出矩阵 $\bar{C} = CP$；
   • 根据模态判据直接对 $\bar{B}$ 各行与 $\bar{C}$ 各列列出代数方程。

---

三、经典例题与真题精析

例题 1：二阶四参数系统可控可观条件确定

💡 【PROBLEM】

设系统的状态空间表达式为：

$$\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} -a & c \\ -d & -b \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} u(t), \quad y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(t)$$

试确定系统既状态完全能控、又状态完全能观时，参数 $a, b, c, d$ 应满足的充要条件。

💡 【SOLUTION】 规范解答

解：

第一步：分析能控性条件 系统阶数 $n = 2$。计算 $Ab$：

$$Ab = \begin{bmatrix} -a & c \\ -d & -b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c - a \\ -b - d \end{bmatrix}$$

构造能控性矩阵 $Q_c$：

$$Q_c = \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & c - a \\ 1 & -b - d \end{bmatrix}$$

计算其行列式：

$$\det(Q_c) = 1 \times (-b - d) - 1 \times (c - a) = a - b - c - d$$

系统状态完全能控的充要条件为：

$$\det(Q_c) \neq 0 \iff a - b - c - d \neq 0$$

第二步：分析能观性条件 计算 $cA$：

$$cA = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -a & c \\ -d & -b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a & c \end{bmatrix}$$

构造能观性矩阵 $Q_o$：

$$Q_o = \begin{bmatrix} c \\ cA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -a & c \end{bmatrix}$$

计算其行列式：

$$\det(Q_o) = 1 \times c - 0 \times (-a) = c$$

系统状态完全能观的充要条件为：

$$\det(Q_o) \neq 0 \iff c \neq 0$$

结论： 当且仅当参数满足 $a - b - c - d \neq 0$ 且 $c \neq 0$ 时，系统既完全能控又完全能观。

---

例题 2：重特征值约旦系统可控可观性论证

💡 【PROBLEM】

设系统状态空间表达式为：

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} d & e & f \end{bmatrix} x \quad (\lambda_1 \neq \lambda_3)$$

试分析： (1) 能否通过选择参数 $a, b, c$ 使系统状态完全能控？ (2) 能否通过选择参数 $d, e, f$ 使系统状态完全能观？

💡 【SOLUTION】 规范解答

解：

1. 能控性分析：
   • 矩阵 $A$ 中特征值 $\lambda_1$ 为二重特征根，且对应于两个独立的 1 阶约旦块（几何重数为 2）。
   • 根据 Gilbert 模态判据，对于相同特征值的多个独立约旦块，输入矩阵中对应各块末行的行向量组必须线性无关。
   • 在本题中，输入为单输入（$p=1$），对应 $\lambda_1$ 两个约旦块末行的行标量为 $a$ 和 $b$。标量 $a$ 与 $b$ 作为一维向量必线性相关（即总存在常数使 $k_1 a + k_2 b = 0$）。
   • 结论： 无论如何选择参数 $a, b, c$，单输入系统绝不可能状态完全能控（至少需要 2 个独立控制输入）。
2. 能观性分析：
   • 同理，二重特征根 $\lambda_1$ 对应两个独立约旦块，要求 $C$ 中对应的列向量组线性无关。
   • 本题为单输出系统（$q=1$），测量矩阵对应列为标量 $d$ 与 $e$，一维标量必线性相关。
   • 结论： 无论如何选择参数 $d, e, f$，单输出系统绝不可能状态完全能观。

---

例题 3：二阶含参系统不可控与不可观参数求解

💡 【PROBLEM】

已知系统状态空间表达式为：

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} p \\ -1 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} q & 1 \end{bmatrix} x$$

试确定参数 $p$ 与 $q$ 取何值时，系统分别处于不能控与不能观状态。

💡 【SOLUTION】 规范解答

解：

1. 求解不可控参数 $p$： 计算 $Ab$：

$$Ab = \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p - 12 \\ p \end{bmatrix}$$

构造能控性矩阵：

$$M = \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p & p - 12 \\ -1 & p \end{bmatrix}$$

计算行列式：

$$\det(M) = p^2 - (-1)(p - 12) = p^2 + p - 12 = (p + 4)(p - 3)$$

系统不完全能控 $\iff \det(M) = 0 \iff p = -4$ 或 $p = 3$。

2. 求解不可观参数 $q$： 计算 $cA$：

$$cA = \begin{bmatrix} q & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q + 1 & 12q \end{bmatrix}$$

构造能观性矩阵：

$$N = \begin{bmatrix} c \\ cA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q & 1 \\ q + 1 & 12q \end{bmatrix}$$

计算行列式：

$$\det(N) = q(12q) - 1(q + 1) = 12q^2 - q - 1 = (3q - 1)(4q + 1)$$

系统不完全能观 $\iff \det(N) = 0 \iff q = \frac{1}{3}$ 或 $q = -\frac{1}{4}$。

---

例题 4：能控标准型通过对角化设计不可观测量参数

💡 【PROBLEM】

已知线性系统状态方程为能控标准型：

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \quad y = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} x$$

试通过对角化方法，求出使系统不可观测的一组不全为 0 的参数 $c_1, c_2, c_3$。

💡 【SOLUTION】 规范解答

解：

第一步：求特征值 矩阵 $A$ 为能控标准型，直接由最后一行读出特征多项式：

$$|\lambda I - A| = \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0$$

解得互异特征值：$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = -3$。

第二步：构造对角化变换矩阵 $P$（Vandermonde 阵） 对应特征向量构成的变换矩阵为：

$$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}$$

令 $x = Pz$，则变换后对角阵为 $\Lambda = \text{diag}(-1, -2, -3)$。

第三步：计算模态测量向量 $\bar{c} = cP$

$$\bar{c} = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} c_1 - c_2 + c_3 & c_1 - 2c_2 + 4c_3 & c_1 - 3c_2 + 9c_3 \end{bmatrix}$$

第四步：确定不可观参数条件 根据对角型模态判据，系统不可观 $\iff \bar{c}$ 中至少有一个元素为 $0$：

$$c_1 - c_2 + c_3 = 0 \quad \text{或} \quad c_1 - 2c_2 + 4c_3 = 0 \quad \text{或} \quad c_1 - 3c_2 + 9c_3 = 0$$

取特解：令 $c_1 - c_2 + c_3 = 0$，可取 $c_1 = 1, c_2 = 2, c_3 = 1$（此时第 1 个模态不可观）。 验算：取 $c = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ 时，系统状态不完全能观。

---

例题 5：按指定模态配置参数使状态分别满足可控/不可观

💡 【PROBLEM】

设系统状态空间表达式为：

$$\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} u(t), \quad y(t) = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \end{bmatrix} x(t)$$

试确定参数 $b_1, b_2, c_1, c_2$ 满足的条件，使得系统经变换后的一个模态既能控又能观，而另一个模态既不能控又不能观。

💡 【SOLUTION】 规范解答

解：

第一步：求系统特征值与对角化矩阵

$$|sI - A| = \det \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s + 3 \end{bmatrix} = s(s + 3) + 2 = s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2) = 0$$

得特征值 $s_1 = -1, s_2 = -2$。 对应的特征向量为 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$。 变换矩阵及其逆矩阵为：

$$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$$

第二步：计算模态矩阵 $\bar{B}$ 与 $\bar{C}$ 令 $x = Pz$，变换后的对角系统为：

$$\bar{A} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$$ $$\bar{B} = P^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2b_1 + b_2 \\ -b_1 - b_2 \end{bmatrix}$$ $$\bar{C} = CP = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 - c_2 & c_1 - 2c_2 \end{bmatrix}$$

第三步：按要求列出参数约束方程

• 情形 1：设模态 $z_1$ 能控且能观，模态 $z_2$ 不能控且不能观：

  $$\begin{cases} 2b_1 + b_2 \neq 0 \\ c_1 - c_2 \neq 0 \\ -b_1 - b_2 = 0 \implies b_1 = -b_2 \\ c_1 - 2c_2 = 0 \implies c_1 = 2c_2 \end{cases}$$

  代入验证：当 $b_1 = -b_2 \neq 0$ 且 $c_1 = 2c_2 \neq 0$ 时，$2b_1+b_2 = b_1 \neq 0$ 且 $c_1-c_2 = c_2 \neq 0$ 自然满足。

• 情形 2：设模态 $z_2$ 能控且能观，模态 $z_1$ 不能控且不能观：

  $$\begin{cases} 2b_1 + b_2 = 0 \implies b_2 = -2b_1 \\ c_1 - c_2 = 0 \implies c_1 = c_2 \\ -b_1 - b_2 \neq 0 \\ c_1 - 2c_2 \neq 0 \end{cases}$$

结论： 满足要求的参数条件为：

$$\begin{cases} b_1 = -b_2 \neq 0 \\ c_1 = 2c_2 \neq 0 \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} b_2 = -2b_1 \neq 0 \\ c_1 = c_2 \neq 0 \end{cases}$$

---

四、易错陷阱与避坑指南

💡 【PITFALL】 考场易错点

1. 变换矩阵 $P$ 与 $P^{-1}$ 的乘法次序混淆：
   • 模态输入矩阵是 $\bar{B} = P^{-1}B$（左乘逆矩阵）；
   • 模态输出矩阵是 $\bar{C} = CP$（右乘原矩阵）。千万不可颠倒！
2. 非零条件漏判：
   • 题目要求“使一个状态可控可观”，解出等式关系后（如 $b_1 = -b_2$），必须补充非零条件（$b_1 \neq 0$），否则若取 $b_1 = b_2 = 0$ 会导致整个系统全不可控。