8.5.2 线性连续定常系统的输出能控性

一、核心考点与理论精要

1. 输出能控性的定义与物理意义

考虑具有直接传输矩阵的线性连续定常系统：

\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) + Du(t) \end{cases}

其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 为状态向量， $u(t) \in \mathbb{R}^p$ 为控制输入， $y(t) \in \mathbb{R}^q$ 为输出向量。

定义： 若在有限时间区间 $[t_0, t_f]$ 内，存在容许的（无约束分段连续的）控制输入向量 $u(t), t \in [t_0, t_f]$ ，能使系统由任意初始输出 $y(t_0)$ 转移到指定的任意最终输出 $y(t_f)$ ，则称此系统是输出完全能控的（简称输出能控）。

2. 输出能控性判据（Kalman 准则）

线性连续定常系统 $(A, B, C, D)$ 输出完全能控的充要条件是：输出能控性判别矩阵 $S_o$ 具有满行秩（行秩等于输出向量维数 $q$ ）：

\text{rank}(S_o) = \text{rank} \begin{bmatrix} CB & CAB & CA^2B & \cdots & CA^{n-1}B & D \end{bmatrix} = q

其中：

$S_o \in \mathbb{R}^{q \times (np + p)}$ ；
若系统无直接传输项（即 $D = 0$ ），则输出能控性判别矩阵退化为： $S_o = \begin{bmatrix} CB & CAB & CA^2B & \cdots & CA^{n-1}B \end{bmatrix} = C \cdot M$ 其中 $M = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}$ 为系统的状态能控性矩阵。

3. 状态能控性与输出能控性的内在关系

状态能控推导输出能控（充分条件）：若系统是状态完全能控的（即 $\text{rank}(M) = n$ $rank (M) = n$ ），且输出矩阵 $C$ $C$ 具有满行秩（即 $\text{rank}(C) = q$ $rank (C) = q$ ），则系统必然是输出完全能控的。
- 推导依据：由矩阵秩不等式 $\text{rank}(S_o) = \text{rank}(CM) = \text{rank}(C) = q$ 。
状态不能控 $\centernot\implies$ 输出不能控（非必要条件）： 系统状态不完全能控，系统输出依然可能是完全能控的！
- 物理机理：当系统中那些不受控的状态分量没有耦合进输出通道 $y$ （即其在 $C$ 中对应的系数为 $0$ ），或者受控状态子空间的维数已经足以完全张成 $q$ 维输出空间时，输出变量仍然可以被输入完全操纵。

二、标准解题模型与计算步骤

确定系统维度：明确状态维数 $n$ 、输入维数 $p$ 、输出维数 $q$ ；
计算分块矩阵乘积：
- 依次计算 $CB, CAB, CA^2B, \cdots, CA^{n-1}B$ ；
构造输出能控性矩阵：
- 若有 $D$ ，构造 $S_o = \begin{bmatrix} CB & CAB & \cdots & CA^{n-1}B & D \end{bmatrix}$ ；
- 若 $D=0$ ，构造 $S_o = \begin{bmatrix} CB & CAB & \cdots & CA^{n-1}B \end{bmatrix}$ ；
求秩与结论判定：
- 对 $S_o$ 进行初等行变换，求 $\text{rank}(S_o)$ ；
- 若 $\text{rank}(S_o) = q$ ，判定系统输出完全能控；
- 若 $\text{rank}(S_o) < q$ ，判定系统输出不完全能控。

三、经典例题与真题精析

例题 1：状态不可控而输出可控的典型系统

解：

第一步：系统参数与维度确认 系统矩阵为：

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}, \quad B = b = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad C = c = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = d = 0

状态维数 $n = 2$ ，输出维数 $q = 1$ 。

第二步：判别状态能控性 计算 $Ab$ ：

Ab = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 1 + 1 \times (-1) \\ (-1) \times 1 + (-2) \times (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

构造状态能控性判别矩阵 $S$ （即 $M$ ）：

S = \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

计算行列式：

\det(S) = 1 \times 1 - (-1) \times (-1) = 1 - 1 = 0

故：

\text{rank}(S) = 1 < n = 2

结论 1： 系统状态不完全能控。

第三步：判别输出能控性 计算矩阵乘积：

cb = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = 1

cAb = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = -1

构造输出能控性矩阵 $S_o$ ：

S_o = \begin{bmatrix} cb & cAb & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}

其行秩为：

\text{rank}(S_o) = 1 = q

结论 2： 系统输出完全能控。

四、易错陷阱与避坑指南

满秩目标维度混淆：
- 状态能控性判别要求满秩目标为状态维数 $n$ （ $\text{rank}(M) = n$ ）；
- 输出能控性判别要求满秩目标为输出维数 $q$ （ $\text{rank}(S_o) = q$ ），切勿将输出能控矩阵与状态维数 $n$ 进行对比。
直接传输矩阵 $D$ 的遗漏：
- 若题目中给出了直接传输矩阵 $D$ （或标量 $d$ ），构造 $S_o$ 矩阵时务必在末尾并入 $D$ 矩阵（ $S_o = \begin{bmatrix} CB & CAB & \cdots & CA^{n-1}B & D \end{bmatrix}$ ）。虽然很多时候不影响秩的大小，但在考研大题中遗漏 $D$ 将会扣除步骤分。
因果逻辑颠倒：
- 牢记：“状态能控 $+$ $C$ 满行秩 $\implies$ 输出能控”是单向推导；
- “输出能控 $\centernot\implies$ 状态能控”，“状态不能控 $\centernot\implies$ 输出不能控”。

ギターと孤独と蒼い惑星

8.5.2 线性连续定常系统的输出能控性

8.5.2 线性连续定常系统的输出能控性

一、核心考点与理论精要

1. 输出能控性的定义与物理意义

2. 输出能控性判据（Kalman 准则）

3. 状态能控性与输出能控性的内在关系

二、标准解题模型与计算步骤

三、经典例题与真题精析

例题 1：状态不可控而输出可控的典型系统

四、易错陷阱与避坑指南

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