8.4.3 非齐次方程求解

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一、非齐次状态方程的基本解法与全响应公式

1. 数学描述与全响应结构

2. 方法 1：时域积分法（卷积全响应公式）

任意初始时刻 $t_0$ ： $x(t) = \underbrace{\Phi(t - t_0) x(t_0)}_{\text{零输入响应 } x_{\mathrm{zi}}(t)} + \underbrace{\int_{t_0}^t \Phi(t - \tau) B u(\tau) \,\mathrm{d}\tau}_{\text{零状态响应 } x_{\mathrm{zs}}(t)}, \quad t \ge t_0$
标准初始时刻 $t_0 = 0$ ： $x(t) = \Phi(t) x(0) + \int_0^t \Phi(t - \tau) B u(\tau) \,\mathrm{d}\tau$
卷积变量代换形式（计算常值输入时极度简便）：由卷积的交换律，令 $\lambda = t - \tau$ ，零状态积分项可等价写为： $\int_0^t \Phi(t - \tau) B u(\tau) \,\mathrm{d}\tau = \int_0^t \Phi(\tau) B u(t - \tau) \,\mathrm{d}\tau$ 全响应亦可表示为： $x(t) = \Phi(t) x(0) + \int_0^t \Phi(\tau) B u(t - \tau) \,\mathrm{d}\tau$

3. 方法 2：拉普拉斯变换法（频域解法）

二、两类典型输入的快速求解（考研核心高频）

1. 单位阶跃输入 $u(t) = 1(t) \quad (t \ge 0)$

当 $u(t) = 1$ 时， $u(t - \tau) = 1$ ，零状态响应简化为：

x_{\mathrm{zs}}(t) = \int_0^t \Phi(\tau) B \,\mathrm{d}\tau = \left( \int_0^t e^{A\tau} \,\mathrm{d}\tau \right) B

极速代数公式（当矩阵 $A$ 可逆时）：由于 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(e^{A\tau}) = A e^{A\tau} = e^{A\tau} A$ ，当 $\det(A) \neq 0$ 时积分可直接求出：

\int_0^t e^{A\tau} \,\mathrm{d}\tau = A^{-1} (e^{At} - I) = (e^{At} - I) A^{-1}

从而零状态响应可无需逐项积分，直接由代数乘法算出：

x_{\mathrm{zs}}(t) = A^{-1} [\Phi(t) - I] B

2. 单位脉冲输入 $u(t) = \delta(t)$

三、经典例题与习题精讲

【例题 1】单位阶跃输入下的非齐次状态响应求解

步骤 1：求状态转移矩阵 $\Phi(t)$ 由已知计算（或拉氏变换求逆）：

\Phi(t) = e^{At} = \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}

步骤 2：计算零输入响应 $x_{\mathrm{zi}}(t)$

x_{\mathrm{zi}}(t) = \Phi(t) x(0) = \begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3e^{-t} - 2e^{-2t} \\ -3e^{-t} + 4e^{-2t} \end{bmatrix}

步骤 3：计算零状态响应 $x_{\mathrm{zs}}(t)$

解法一（标准积分形式 $\int_0^t \Phi(t - \tau) B u(\tau)\,\mathrm{d}\tau$ ）：
$\Phi(t - \tau) B = \begin{bmatrix} 2e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} & e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} \\ -2e^{-(t-\tau)} + 2e^{-2(t-\tau)} & -e^{-(t-\tau)} + 2e^{-2(t-\tau)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} \\ -e^{-(t-\tau)} + 2e^{-2(t-\tau)} \end{bmatrix}$
由于 $u(\tau) = 1$ ，对各分量关于 $\tau$ 积分（从 $0$ 到 $t$ ）：
$\begin{aligned} \int_0^t \left[ e^{-(t-\tau)} - e^{-2(t-\tau)} \right] \mathrm{d}\tau &= \left[ e^{-(t-\tau)} - \frac{1}{2}e^{-2(t-\tau)} \right]_0^t = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - \left( e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-2t} \right) \\ &= \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \int_0^t \left[ -e^{-(t-\tau)} + 2e^{-2(t-\tau)} \right] \mathrm{d}\tau &= \left[ -e^{-(t-\tau)} + e^{-2(t-\tau)} \right]_0^t = (-1 + 1) - \left( -e^{-t} + e^{-2t} \right) \\ &= e^{-t} - e^{-2t} \end{aligned}$
故：
$x_{\mathrm{zs}}(t) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t} \\ e^{-t} - e^{-2t} \end{bmatrix}$
解法二（代换积分形式 $\int_0^t \Phi(\tau) B u(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau$ ）：因 $u(t - \tau) = 1$ ，积分被积函数直接使用 $\tau$ 代替 $t$ ：
$x_{\mathrm{zs}}(t) = \int_0^t \Phi(\tau) B \,\mathrm{d}\tau = \int_0^t \begin{bmatrix} e^{-\tau} - e^{-2\tau} \\ -e^{-\tau} + 2e^{-2\tau} \end{bmatrix} \mathrm{d}\tau = \begin{bmatrix} \left[-e^{-\tau} + \frac{1}{2}e^{-2\tau}\right]_0^t \\ \left[e^{-\tau} - e^{-2\tau}\right]_0^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t} \\ e^{-t} - e^{-2t} \end{bmatrix}$

步骤 4：合成状态全响应 $x(t)$

\begin{aligned} x(t) &= x_{\mathrm{zi}}(t) + x_{\mathrm{zs}}(t) \\ &= \begin{bmatrix} 3e^{-t} - 2e^{-2t} \\ -3e^{-t} + 4e^{-2t} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t} \\ e^{-t} - e^{-2t} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} + 2e^{-t} - \frac{3}{2}e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 3e^{-2t} \end{bmatrix} \end{aligned}

【例题 2】单位脉冲输入下的状态与输出全响应求解

设控制系统状态空间表达式为：

\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \quad \begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

输出方程为：

y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + 2u

试求在单位脉冲输入 $u(t) = \delta(t)$ 作用下的系统状态响应 $x(t)$ 及输出响应 $y(t)$ 。

步骤 1：求状态转移矩阵 $\Phi(t)$ 构造特征矩阵并求逆：

sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 3 & s+2 \end{bmatrix}

特征多项式配方： $\det(sI - A) = s(s+2) + 3 = s^2 + 2s + 3 = (s+1)^2 + (\sqrt{2})^2$ 。伴随矩阵求逆：

(sI - A)^{-1} = \frac{1}{(s+1)^2 + 2} \begin{bmatrix} s+2 & 1 \\ -3 & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{(s+1) + 1}{(s+1)^2 + 2} & \frac{1}{(s+1)^2 + 2} \\ \frac{-3}{(s+1)^2 + 2} & \frac{(s+1) - 1}{(s+1)^2 + 2} \end{bmatrix}

查标准拉氏变换公式：

$\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2} \right] = e^{-t} \cos\sqrt{2}t$
$\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{(s+1)^2 + 2} \right] = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-t} \sin\sqrt{2}t$

逐项求拉氏反变换，得状态转移矩阵：

\Phi(t) = \begin{bmatrix} e^{-t}\cos\sqrt{2}t + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t & \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \\ -\frac{3}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t & e^{-t}\cos\sqrt{2}t - \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \end{bmatrix}

步骤 2：计算脉冲输入下的状态全响应 $x(t)$ 当 $u(t) = \delta(t)$ 时，全响应公式为：

x(t) = \Phi(t) x(0) + \Phi(t) B = \Phi(t) \left[ x(0) + B \right]

其中 $x(0) + B = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ 。

分步计算各个响应分量：

零输入响应： $\Phi(t) x(0) = \Phi(t) \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2e^{-t}\cos\sqrt{2}t + \frac{5}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \\ 3e^{-t}\cos\sqrt{2}t - \frac{9}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \end{bmatrix}$
零状态响应（脉冲响应）： $\Phi(t) B = \Phi(t) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \\ e^{-t}\cos\sqrt{2}t - \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \end{bmatrix}$
全响应相加： $\begin{aligned} x(t) &= \Phi(t) x(0) + \Phi(t) B \\ &= \begin{bmatrix} 2e^{-t}\cos\sqrt{2}t + \left(\frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)e^{-t}\sin\sqrt{2}t \\ (3 + 1)e^{-t}\cos\sqrt{2}t + \left(-\frac{9}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)e^{-t}\sin\sqrt{2}t \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2e^{-t}\cos\sqrt{2}t + 3\sqrt{2}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \\ 4e^{-t}\cos\sqrt{2}t - 5\sqrt{2}e^{-t}\sin\sqrt{2}t \end{bmatrix} \end{aligned}$

步骤 3：计算输出全响应 $y(t)$

\begin{aligned} y(t) &= C x(t) + D u(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + 2\delta(t) \\ &= x_1(t) + x_2(t) + 2\delta(t) \\ &= (2 + 4)e^{-t}\cos\sqrt{2}t + (3\sqrt{2} - 5\sqrt{2})e^{-t}\sin\sqrt{2}t + 2\delta(t) \\ &= 6e^{-t}\cos\sqrt{2}t - 2\sqrt{2}e^{-t}\sin\sqrt{2}t + 2\delta(t) \end{aligned}

【课堂练习】约旦标准型系统的非齐次全响应求解

步骤 1：写出约旦型状态转移矩阵 $\Phi(t)$ 观察系统矩阵 $A$ ，其由一个二阶约旦块 $J_1(-1) = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 与一个一阶对角块 $\lambda_3 = -2$ 构成：

\Phi(t) = e^{At} = \begin{bmatrix} e^{-t} & t e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-2t} \end{bmatrix}

步骤 2：计算零输入响应 $x_{\mathrm{zi}}(t)$

x_{\mathrm{zi}}(t) = \Phi(t) x(0) = \begin{bmatrix} e^{-t} & t e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-t} + 2t e^{-t} \\ 2e^{-t} \\ e^{-2t} \end{bmatrix}

步骤 3：计算零状态响应 $x_{\mathrm{zs}}(t)$ 利用代换卷积形式 $\int_0^t \Phi(\tau) B u(t - \tau) \,\mathrm{d}\tau$ （因 $u(t-\tau) = 1$ ）：

\Phi(\tau) B = \begin{bmatrix} e^{-\tau} & \tau e^{-\tau} & 0 \\ 0 & e^{-\tau} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-2\tau} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tau e^{-\tau} \\ e^{-\tau} \\ 4e^{-2\tau} \end{bmatrix}

对各个分量分别求定积分：

第一分量（分部积分法）： $\int_0^t \tau e^{-\tau} \,\mathrm{d}\tau = \left[ -\tau e^{-\tau} \right]_0^t + \int_0^t e^{-\tau} \,\mathrm{d}\tau = -t e^{-t} - \left[ e^{-\tau} \right]_0^t = 1 - (1+t)e^{-t}$
第二分量： $\int_0^t e^{-\tau} \,\mathrm{d}\tau = \left[ -e^{-\tau} \right]_0^t = 1 - e^{-t}$
第三分量： $\int_0^t 4e^{-2\tau} \,\mathrm{d}\tau = \left[ -2e^{-2\tau} \right]_0^t = 2 - 2e^{-2t}$

得到零状态响应向量：

x_{\mathrm{zs}}(t) = \begin{bmatrix} 1 - (1+t)e^{-t} \\ 1 - e^{-t} \\ 2 - 2e^{-2t} \end{bmatrix}

步骤 4：合成状态全响应 $x(t)$

\begin{aligned} x(t) &= x_{\mathrm{zi}}(t) + x_{\mathrm{zs}}(t) \\ &= \begin{bmatrix} e^{-t} + 2te^{-t} \\ 2e^{-t} \\ e^{-2t} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 - (1+t)e^{-t} \\ 1 - e^{-t} \\ 2 - 2e^{-2t} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (e^{-t} + 2te^{-t}) + 1 - e^{-t} - te^{-t} \\ 2e^{-t} + 1 - e^{-t} \\ e^{-2t} + 2 - 2e^{-2t} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 + t e^{-t} \\ 1 + e^{-t} \\ 2 - e^{-2t} \end{bmatrix} \end{aligned}

四、考研复习精要与解题心法（[!tip] & [!pitfall]）

阶跃输入优先采用代换形式 $\int_0^t \Phi(\tau)B\,\mathrm{d}\tau$ ：相比于 $\int_0^t \Phi(t-\tau)B\,\mathrm{d}\tau$ ，代换形式避免了被积函数中含有外层参变量 $t$ ，使得被积函数更纯粹，上下限代入极其顺畅，几乎不会出现符号错误。
脉冲输入直接将 $B$ 并入初值计算：遇到 $\delta(t)$ 输入时，切勿傻傻列卷积积分，直接使用等效初值公式 $x(t) = \Phi(t)[x(0) + B]$ ，秒出答案！
稳态值检验法：当所有特征值均具有负实部（系统渐近稳定）且输入为单位阶跃时，当 $t \to \infty$ 时，导数 $\dot{x}(\infty) \to 0$ 。由状态方程 $0 = A x(\infty) + B \implies x(\infty) = -A^{-1}B$ 。例如在练习题中，代入 $t \to \infty$ 得 $x(\infty) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ ，与 $-A^{-1}B$ 完全相符！

ギターと孤独と蒼い惑星

8.4.3 非齐次方程求解

8.4.3 非齐次方程求解

一、非齐次状态方程的基本解法与全响应公式

1. 数学描述与全响应结构

2. 方法 1：时域积分法（卷积全响应公式）

3. 方法 2：拉普拉斯变换法（频域解法）

二、两类典型输入的快速求解（考研核心高频）

1. 单位阶跃输入 $u(t) = 1(t) \quad (t \ge 0)$

2. 单位脉冲输入 $u(t) = \delta(t)$

三、经典例题与习题精讲

【例题 1】单位阶跃输入下的非齐次状态响应求解

【例题 2】单位脉冲输入下的状态与输出全响应求解

【课堂练习】约旦标准型系统的非齐次全响应求解

四、考研复习精要与解题心法（[!tip] & [!pitfall]）

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8.4.3 非齐次方程求解

一、非齐次状态方程的基本解法与全响应公式

1. 数学描述与全响应结构

2. 方法 1：时域积分法（卷积全响应公式）

3. 方法 2：拉普拉斯变换法（频域解法）

二、两类典型输入的快速求解（考研核心高频）

1. 单位阶跃输入 u(t)=1(t)(t≥0)u(t) = 1(t) \quad (t \ge 0)u(t)=1(t)(t≥0)

2. 单位脉冲输入 u(t)=δ(t)u(t) = \delta(t)u(t)=δ(t)

三、经典例题与习题精讲

【例题 1】单位阶跃输入下的非齐次状态响应求解

【例题 2】单位脉冲输入下的状态与输出全响应求解

【课堂练习】约旦标准型系统的非齐次全响应求解

四、考研复习精要与解题心法（[!tip] & [!pitfall]）

1. 单位阶跃输入 $u(t) = 1(t) \quad (t \ge 0)$

2. 单位脉冲输入 $u(t) = \delta(t)$