反常积分敛散性判别：多瑕点与等价无穷小

题目

判断反常积分 $\displaystyle\int_0^2\frac{1}{\sqrt{x}\,|x-1|^{2/3}}\,\mathrm dx$ 的敛散性。

考点

• 多个瑕点的识别与区间拆分
• $p$ 积分判别
• 等价无穷小

解法一：标准做法

瑕点为 $x=0$ 与 $x=1$，因此必须在 $1$ 两侧分别拆分。被积函数在 $x\to0^+$ 时等价于 $x^{-1/2}$，收敛；在 $x\to1^\pm$ 时等价于 $|x-1|^{-2/3}$，两侧均收敛。故原积分收敛。

解法二：考场速解

逐个读取奇异因子的指数：$1/2<1$ 且 $2/3<1$，所有瑕点均可积，故收敛。

易错点

1. 内部瑕点必须左右分别判断。
2. 不能因积分区间有限而忽略瑕点。