设点法导论

〇 引言

在高中数学中解决圆锥曲线问题时，一般采用两种主要策略：设线法和设点法。

设线法顾名思义，就是将直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理进行求解。这是我们解决圆锥曲线大题的惯用方法。它在处理圆锥曲线的度量性质相关问题时，能发挥出不错的效果。不过，这种方法在实际应用中也呈现出一定的局限性。一旦涉及到对圆锥曲线射影性质的研究，设线法的弊端就凸显出来了，计算过程往往会变得非常繁琐。

比如说我们计算 $(x_1 - m)(x_2 - m)$ 时，我们首先要将表达式拆分为 $x_1x_2 - m(x_1 + x_2) + m^2$，其次将直线与圆锥曲线联立后进行韦达定理时，我们又拆分成关于 $x$ 的一元二次方程得到 $Ax^2 + Bx + C = 0$，最后将韦达定理得到的值：

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \end{cases}$$

合并到表达式中。

为此，我们开发了“直线的参数方程”、“齐次化”、“点乘双根法”等等的运算技巧以求简化运算。之所以能简化运算，是因为我们把表达式打包成几个整体，避免一次拆分运算和一次合并运算，只保留一次拆分运算增加的计算量（原本是两次拆分运算 + 一次合并运算）。比如按照上面的例子，我们可以使用直线的参数方程进行化简，记：

$$\begin{cases} t = x - m \\ y = k t \end{cases}$$

将 $(x_1 - m)(x_2 - m)$ 看成 $t_1 t_2$，且在直线与圆锥曲线联立得到的方程中凑成 $At^2 + B't + C' = 0$ 的形式，从而直接得到计算结果。

在利用设线法求解圆锥曲线射影性质相关问题时，我们注意到设线法运算过程的实质是找到类似于 $q(x_1 + x_2) + w x_1 x_2 + e = 0$ 等等关于 $x_1, y_1, x_2, y_2$ 的恒等式。更进一步的，如果抛开直线上的参数 $k, b$ 直接求解关于 $x_1, y_1, x_2, y_2$ 的恒等式，这将使得计算量大大缩小！

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一、点

1.1 记号与说明

非退化的圆锥曲线主要包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

1. 当解决与圆相关的几何问题时，由于其几何特性已被系统掌握，我们往往优先选用纯几何的分析方法。
2. 对于抛物线的研究，设点法作为一种基础且高效的工具，不仅早已广泛应用，更被纳入常规教学体系，成为教师传授解析技巧的重要组成部分。
3. 至于双曲线，其代数形式与椭圆相似，因此，大部分后文得出的结论可以直接套用（只须把 $b^2$ 换成 $-b^2$）。值得一提的是，双曲线的不封闭性使得一些结论（例如拉格朗日恒等式）虽然在双曲线上成立，但并无实际意义。

鉴于这些情况的重复性和复杂性，本篇关于设点法的讨论将仅限于椭圆的情况。

设点法最基本的元素是在椭圆上的点，即 $P(x_0, y_0)$ 且：

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$$

因为与三角恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 形式相似，我们据此得到椭圆的参数方程：

$$\begin{cases} x = a \cos\theta \\ y = b \sin\theta \end{cases}$$

椭圆的参数方程同样也是设点法的一种形式。

根据万能公式，我们能把双变量进一步统一成单变量 $\tan\frac{\theta}{2}$。设 $t = \tan\frac{\theta}{2}$，则有：

$$\begin{cases} x = \frac{a(\cos^2\frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{\theta}{2})}{\sin^2\frac{\theta}{2} + \cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{a(1 - t^2)}{1 + t^2} \\ y = \frac{2b \sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{2} + \cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2bt}{1 + t^2} \end{cases}$$

这大大加深了 $x_0$ 和 $y_0$ 之间的联系。事实上，万能参数方程有极强的射影性质，该方法在《数学奥林匹克命题人讲座：解析几何》一书中已经讨论完备，本文不再论述。

同时，本文设点法只保留点参 $(x_i, y_i)$，并不想引入新的未知变量。后文出于与其他方法联系，才会引入其他参数（比如定比点差法中的比例参数 $\lambda$ 等等）。

一些重要的结论我会用 $\boxed{\text{公式}}$（重点框选），相对不常见的结论，我则用普通公式表示，当然绝大多数都很重要的 hh（

1.2 二次代换思想

由上文所述的万能参数方程中，我们知道椭圆上点 $P(x_0, y_0)$ 的横、纵坐标之间存在一定关系。事实上，这种关系基于椭圆本身的代数方程联系：

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$$

倘若我们用 $x_0$ 表示 $y_0$，只需移项，就有：

$$\boxed{y_0^2 = -\frac{b^2 x_0^2}{a^2} + b^2}$$

但开根号会导致正负情况的讨论，且一次项方程形式会很丑陋，我们一般使各项保留二次项形式（也就是上式）即可。

用二次项 $x_0^2$ 表示二次项 $y_0^2$，这就是二次代换思想，也是设点法的基本思想。

当然，根据平方差公式，我们能进一步得到：

$$\boxed{y_0^2 = -\frac{b^2 x_0^2}{a^2} + b^2 = -\frac{b^2(x_0 - a)(x_0 + a)}{a^2}}$$

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二、斜率

2.1 直线的斜率方程

斜率表示一条平面上直线关于坐标轴的倾斜程度，符号为 $k$。它通常用直线与坐标轴夹角（倾斜角）的正切值来定义，即直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，直线 $AB$ 经过定点 $M(m, n)$，则直线 $AB$ 的斜率为：

$$\boxed{k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{y_1 - n}{x_1 - m} = \frac{y_2 - n}{x_2 - m}}$$

1. 第一个等号是利用直线上 $A, B$ 两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示；
2. 第二个等号是利用直线上 $A, M$ 两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示；
3. 第三个等号是利用直线上 $B, M$ 两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

因为 $A, M, B$ 三点共线，所以两两组合后所表示的直线斜率相等。

2.2 椭圆意义下的直线的斜率

然而，上面的斜率方程仅满足直线的条件，没有与椭圆的特性产生关联。关于斜率与椭圆相关的二级结论，我们很容易联想到椭圆的垂径定理。

椭圆的垂径定理
$A, B$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的两点，$M$ 为 $AB$ 中点，若 $AB$ 不与坐标轴平行，则有：

$$\boxed{k_{AB} \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}}$$

记 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。

因为 $A, B$ 在椭圆上，所以：

$$\begin{cases} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \end{cases}$$

运用点差法，两式相减：

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$$

即：

$$k_{AB} \cdot k_{OM} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \cdot \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = -\frac{b^2}{a^2}$$

由椭圆的垂径定理可知，直线 $AB$ 的斜率可以用直线 $OM$ 的斜率表示：

$$k_{AB} = -\frac{b^2}{a^2 k_{OM}}$$

即：

$$k_{AB} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}$$

我们有如下表示斜率的方程：

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，直线 $AB$ 经过定点 $M(m, n)$，则直线 $AB$ 的斜率为：

$$\boxed{k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{y_1 - n}{x_1 - m} = \frac{y_2 - n}{x_2 - m} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}}$$

2.3 斜率双用法

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，定点 $P(x_0, y_0)$ 也在椭圆上，直线 $PA, PB$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，且 $k_1, k_2$ 满足：$m(k_1 + k_2) + n k_1 k_2 + p = 0$，则直线 $AB$ 恒过定点。

斜率双用法的原理是：通过点差法表示直线 $PA, PB$ 的斜率，轮番上阵，整理作差得到直线的截距式（详见3.1节），从而找到定点。

这里我们用 $k_{PA} \cdot k_{PB} = \lambda \left( \lambda \neq \frac{b^2}{a^2} \right)$ 为已知条件，具体操作如下：

根据点差法可得：

$$\begin{cases} k_{AP} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = -\frac{b^2(x_0 + x_1)}{a^2(y_0 + y_1)} \\ k_{BP} = \frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0} = -\frac{b^2(x_0 + x_2)}{a^2(y_0 + y_2)} \end{cases}$$

代入条件得：

$$\begin{cases} k_{PA} \cdot k_{PB} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \cdot \left[ -\frac{b^2(x_0 + x_2)}{a^2(y_0 + y_2)} \right] = \lambda \\ k_{PA} \cdot k_{PB} = \frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0} \cdot \left[ -\frac{b^2(x_0 + x_1)}{a^2(y_0 + y_1)} \right] = \lambda \end{cases}$$

化简可得：

$$\begin{cases} a^2 \lambda (x_1 y_0 + x_1 y_2 - x_0 y_0 - x_0 y_2) = -b^2 (x_0 y_1 + x_2 y_1 - x_0 y_0 - x_2 y_0) \\ a^2 \lambda (x_2 y_0 + x_2 y_1 - x_0 y_0 - x_0 y_1) = -b^2 (x_0 y_2 + x_1 y_2 - x_0 y_0 - x_1 y_0) \end{cases}$$

两式相减得：

$$(a^2 \lambda - b^2) (y_1 x_2 - y_2 x_1) = (b^2 + a^2 \lambda) x_0 (y_1 - y_2) + (b^2 + a^2 \lambda) y_0 (x_1 - x_2)$$

即：

$$y_1 x_2 - y_2 x_1 = \left[ \frac{(\lambda a^2 + b^2) x_0}{\lambda a^2 - b^2} \right] (y_1 - y_2) - \left[ -\frac{(\lambda a^2 + b^2) y_0}{\lambda a^2 - b^2} \right] (x_1 - x_2)$$

对比截距式（详见3.1节）：

$$y_1 x_2 - y_2 x_1 = x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2)$$

可得直线 $AB$ 恒过定点：

$$\left( \frac{\lambda a^2 + b^2}{\lambda a^2 - b^2} x_0, -\frac{\lambda a^2 + b^2}{\lambda a^2 - b^2} y_0 \right)$$

📌 注：关于斜率和积问题与点差法应用的深入讨论，可参见文末参考文献 [1][2]。

2.4 斜率调整法

由点差法得：

$$k_1 = \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{b^2(x + x_1)}{-a^2(y + y_1)}$$

由合分比定理得：

$$\begin{aligned} k_1 &= \frac{\frac{b^2(x_1 + x_2)}{y_1 - y_2}(y - y_1) + b^2(x + x_1)}{\frac{b^2(x_1 + x_2)}{y_1 - y_2}(x - x_1) - a^2(y + y_1)} \\ &= \frac{\frac{b^2(x_1 + x_2)}{y_1 - y_2}(y - y_2) + b^2(x - x_2)}{\frac{b^2(x_1 + x_2)}{y_1 - y_2}(x - x_2) - a^2(y - y_2)} \end{aligned}$$

再由合分比定理得：

$$k_1 = \frac{\frac{b^2(x_1 + x_2)}{y_1 - y_2} k_2 + b^2}{\frac{b^2(x_1 + x_2)}{y_1 - y_2} - a^2 k_2}$$

整理得：

$$\frac{a^2}{b^2} k_1 k_2 - \frac{x_1 + x_2}{y_1 - y_2}(k_1 - k_2) + 1 = 0$$

📌 注：关于斜率调整法与射影对应的理论背景，可参见文末参考文献 [3]。

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三、直线

3.1 两点式/截距式

由经过两点 $A, B$ 的直线的斜率公式可以求出直线 $l$ 的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题。

当 $x_1 \neq x_2$ 时，经过两点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 的直线的斜率 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。任取 $A, B$ 中的一点，例如，取点 $A(x_1, y_1)$，由直线的点斜式方程，得：

$$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$$

即：

$$\boxed{\frac{y_1 - n}{x_1 - m} = \frac{y_2 - n}{x_2 - m}}$$

这就是经过两点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$（其中 $x_1 \neq x_2$）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。

将上式整理可得截距式：

$$\boxed{y_1 x_2 - y_2 x_1 = x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2)}$$

3.2 点差法调整后的两点式

由两点式：

$$\frac{y_1 - n}{x_1 - m} = \frac{y_2 - n}{x_2 - m}$$

再由点差法得到的斜率关系：

$$\frac{y_1 - n}{x_1 - m} = \frac{y_2 - n}{x_2 - m} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}$$

两式联立：

$$\frac{y - y_1}{x - x_1} = -\frac{b^2(x_1 + x_2)}{a^2(y_1 + y_2)}$$

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y - y_2}{x - x_2}$ 两个式子二选一，不影响结果。

对角线相乘，即得：

$$\boxed{a^2 b^2 + a^2 y_1 y_2 + b^2 x_1 x_2 = a^2 y (y_1 + y_2) + b^2 x (x_1 + x_2)}$$

3.3 截距式的对偶形式

📌 注：关于两点式与椭圆结合的对偶形式，可参见文末参考文献 [4]。

由截距式：

$$y_1 x_2 - y_2 x_1 = x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2)$$

在等式两边乘 $x_1 y_2 + x_2 y_1$，得：

$$y_1^2 x_2^2 - y_2^2 x_1^2 = (x_1 y_2 + x_2 y_1) [x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2)]$$

由二次代换思想：

$$\begin{cases} y_1^2 = -\frac{b^2 x_1^2}{a^2} + b^2 \\ y_2^2 = -\frac{b^2 x_2^2}{a^2} + b^2 \end{cases}$$

代入得：

$$\left( -\frac{b^2 x_1^2}{a^2} + b^2 \right) x_2^2 - \left( -\frac{b^2 x_2^2}{a^2} + b^2 \right) x_1^2 = (x_1 y_2 + x_2 y_1) [x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2)]$$

化简得：

$$b^2(x_2^2 - x_1^2) = (x_1 y_2 + x_2 y_1) [x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2)]$$

两边除掉 $x_2 - x_1$，得：

$$y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x + b^2 \frac{x_1 + x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1}$$

而由点差法我们得知：

$$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}$$

即：

$$y = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_1 + x_2}{y_1 + y_2} x + b^2 \frac{x_1 + x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1}$$

最后化简得：

$$\boxed{\frac{1}{a^2} \frac{x}{y_1 + y_2} + \frac{1}{b^2} \frac{y}{x_1 + x_2} = \frac{1}{x_1 y_2 + x_2 y_1}}$$

3.4 坐标互化公式

📌 注：关于坐标互化公式的射影几何视点与对合定理，可参见文末参考文献 [5]。

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，直线 $AB$ 经过点 $C(m, n)$ 有如下恒等关系：

$$\boxed{\begin{cases} x_1 = \frac{2a^2 b^2 m + (a^2 n^2 - a^2 b^2 - b^2 m^2)x_2 - 2a^2 mn y_2}{a^2 b^2 + a^2 n^2 + b^2 m^2 - 2a^2 n y_2 - 2b^2 m x_2} \\ y_1 = \frac{2a^2 b^2 n + (b^2 m^2 - a^2 b^2 - a^2 n^2)y_2 - 2b^2 mn x_2}{a^2 b^2 + a^2 n^2 + b^2 m^2 - 2a^2 n y_2 - 2b^2 m x_2} \end{cases}}$$

证明：

联立截距式和点差法调整后的两点式：

$$\begin{cases} y_1 x_2 - y_2 x_1 = m(y_1 - y_2) - n(x_1 - x_2) \\ a^2 b^2 + a^2 y_1 y_2 + b^2 x_1 x_2 = a^2 n(y_1 + y_2) + b^2 m(x_1 + x_2) \end{cases}$$

把 $x_2, y_2$ 看成常数，$x_1, y_1$ 看成变量，即得：

$$\begin{cases} y_1(x_2 - m) + x_1(n - y_2) = -m y_2 + n x_2 \\ y_1(a^2 y_2 - a^2 n) + x_1(b^2 x_2 - b^2 m) = a^2 n y_2 + b^2 m x_2 - a^2 b^2 \end{cases}$$

得：

$$\begin{cases} x_1 = \frac{a^2 b^2 m - a^2 b^2 x_2 - 2a^2 mn y_2 + a^2 m y_2^2 + a^2 n^2 x_2 - b^2 m^2 x_2 + b^2 m x_2^2}{a^2 n^2 - 2a^2 n y_2 + a^2 y_2^2 + b^2 m^2 - 2b^2 m x_2 + b^2 x_2^2} \\ y_1 = \frac{a^2 b^2 n - a^2 b^2 y_2 - a^2 n^2 y_2 + a^2 n y_2^2 + b^2 m^2 y_2 - 2b^2 mn x_2 + b^2 n x_2^2}{a^2 n^2 - 2a^2 n y_2 + a^2 y_2^2 + b^2 m^2 - 2b^2 m x_2 + b^2 x_2^2} \end{cases}$$

由于 $A, B$ 在椭圆上，把二次项消去得：

$$\begin{cases} x_1 = \frac{2a^2 b^2 m + (a^2 n^2 - a^2 b^2 - b^2 m^2)x_2 - 2a^2 mn y_2}{a^2 b^2 + a^2 n^2 + b^2 m^2 - 2a^2 n y_2 - 2b^2 m x_2} \\ y_1 = \frac{2a^2 b^2 n + (b^2 m^2 - a^2 b^2 - a^2 n^2)y_2 - 2b^2 mn x_2}{a^2 b^2 + a^2 n^2 + b^2 m^2 - 2a^2 n y_2 - 2b^2 m x_2} \end{cases}$$

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四、共轭背景下的恒等式

已知点 $O$ 为坐标原点，点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$ 上的两点，则有如下恒等式：

（1）点和法：

$$\boxed{\frac{(x_1 + x_2)^2}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)^2}{b^2} = 2 \left( \frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} + 1 \right)}$$

（2）点差法：

$$\boxed{\frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} \cdot \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{b^2}{a^2}}$$

（3）点乘法：

$$\boxed{\left( \frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} \right)^2 + \frac{(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}{a^2 b^2} = 1}$$

（4）点除法：

$$\boxed{\frac{x_1 y_2 - x_2 y_1}{x_1 - x_2} \cdot \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{x_1 + x_2} = b^2}$$

或

$$\boxed{\frac{y_1 x_2 - y_2 x_1}{y_1 - y_2} \cdot \frac{y_1 x_2 + y_2 x_1}{y_1 + y_2} = a^2}$$

证明：

因为点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$ 上的两点，所以：

$$\begin{cases} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \quad (1) \\ \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \quad (2) \end{cases}$$

4.1 点和法

$$\begin{aligned} (1) + (2) &\Longrightarrow \frac{x_1^2 + x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 + y_2^2}{b^2} = 2 \\ &\Longrightarrow \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)^2 - 2y_1 y_2}{b^2} = 2 \\ &\Longrightarrow \frac{(x_1 + x_2)^2}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)^2}{b^2} = 2 \left( \frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} + 1 \right) \end{aligned}$$

利用点和法可得到 $x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_1 x_2, y_1 y_2$ 四者的关系。

4.2 点差法

$$\begin{aligned} (1) - (2) &\Longrightarrow \frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0 \\ &\Longrightarrow \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = -\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} \\ &\Longrightarrow \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} \cdot \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{b^2}{a^2} \end{aligned}$$

利用点差法可得到 $x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_1 - x_2, y_1 - y_2$ 四者的关系。

4.3 点乘法（拉格朗日恒等式）

$$\begin{aligned} (1) \times (2) &\Longrightarrow \left( \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} \right) \left( \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} \right) = 1 \\ &\Longrightarrow \frac{x_1^2 x_2^2}{a^4} + \frac{x_1^2 y_2^2}{a^2 b^2} + \frac{x_2^2 y_1^2}{a^2 b^2} + \frac{y_1^2 y_2^2}{b^4} = 1 \\ &\Longrightarrow \left( \frac{x_1^2 x_2^2}{a^4} + \frac{2x_1 x_2 y_1 y_2}{a^2 b^2} + \frac{y_1^2 y_2^2}{b^4} \right) + \left( \frac{x_1^2 y_2^2}{a^2 b^2} - \frac{2x_1 x_2 y_1 y_2}{a^2 b^2} + \frac{x_2^2 y_1^2}{a^2 b^2} \right) = 1 \\ &\Longrightarrow \left( \frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} \right)^2 + \frac{(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}{a^2 b^2} = 1 \end{aligned}$$

利用点乘法可得到 $x_1 x_2, y_1 y_2$ 与 $x_1 y_2 - x_2 y_1$ 的关系。

4.4 点除法

最后一种情况，我们直接除的话就与点差无异（根据结果反推，两种结果相除还是点差法），所以这里先变形一下：

$$\begin{aligned} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 &\Longrightarrow x_1^2 = \frac{a^2}{b^2} (b^2 - y_1^2) \quad (3) \\ &\Longrightarrow x_2^2 = \frac{a^2}{b^2} (b^2 - y_2^2) \quad (4) \end{aligned}$$

之后利用点除法，得：

$$\begin{aligned} (3) \div (4) &\Longrightarrow \frac{x_1^2}{x_2^2} = \frac{b^2 - y_1^2}{b^2 - y_2^2} \\ &\Longrightarrow b^2 x_1^2 - x_1^2 y_2^2 = b^2 x_2^2 - x_2^2 y_1^2 \\ &\Longrightarrow b^2 (x_1^2 - x_2^2) = x_1^2 y_2^2 - x_2^2 y_1^2 \\ &\Longrightarrow \frac{x_1 y_2 - x_2 y_1}{x_1 - x_2} \cdot \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{x_1 + x_2} = b^2 \end{aligned}$$

同理：

$$\frac{y_1 x_2 - y_2 x_1}{y_1 - y_2} \cdot \frac{y_1 x_2 + y_2 x_1}{y_1 + y_2} = a^2$$

利用点除法可得到 $x_1 y_2 - x_2 y_1, x_1 y_2 + x_2 y_1$ 与 $x_1 - x_2, x_1 + x_2$ 或 $y_1 - y_2, y_1 + y_2$ 的关系。

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五、对合背景下的恒等式

5.1 坐标轴情况

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，直线 $AB$ 经过点 $C(m, 0)$ 有如下恒等关系：

（1）和积关系

$$\boxed{2x_1 x_2 = \left( \frac{a^2}{m} + m \right)(x_1 + x_2) - 2a^2}$$

（2）合比性质

$$\boxed{y_1 y_2 = \frac{b^2}{a^2} [m(x_1 + x_2) - x_1 x_2 - a^2]}$$

（3）对偶点差法

$$\boxed{\begin{cases} y_1 x_2 - y_2 x_1 = m(y_1 - y_2) \\ y_1 x_2 + y_2 x_1 = \frac{a^2}{m}(y_1 + y_2) \end{cases}}$$

证明：

（1）和积关系：由 $A, B, C(m, 0)$ 三点共线得 $\frac{y_1}{x_1 - m} = \frac{y_2}{x_2 - m}$，两边平方并代入椭圆方程 $y_i^2 = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x_i^2)$：

$$\frac{a^2 - x_1^2}{(x_1 - m)^2} = \frac{a^2 - x_2^2}{(x_2 - m)^2}$$

交叉相乘整理并约去公因式 $x_1 - x_2$，即得：

$$2x_1 x_2 = \left( \frac{a^2}{m} + m \right)(x_1 + x_2) - 2a^2$$

（2）合比性质：将定点 $(m, 0)$ 代入 3.2 节椭圆割线方程 $a^2 b^2 + a^2 y_1 y_2 + b^2 x_1 x_2 = a^2 y(y_1 + y_2) + b^2 x(x_1 + x_2)$，移项即得：

$$y_1 y_2 = \frac{b^2}{a^2} [m(x_1 + x_2) - x_1 x_2 - a^2]$$

（3）对偶点差法：由 $A, B, C(m, 0)$ 三点共线知 $\frac{y_1}{x_1 - m} = \frac{y_2}{x_2 - m}$，去分母即得第一式：

$$y_1 x_2 - y_2 x_1 = m(y_1 - y_2)$$

代入 4.4 节点除法恒等式 $\frac{y_1 x_2 - y_2 x_1}{y_1 - y_2} \cdot \frac{y_1 x_2 + y_2 x_1}{y_1 + y_2} = a^2$，即得第二式：

$$y_1 x_2 + y_2 x_1 = \frac{a^2}{m}(y_1 + y_2)$$

📌 注：关于上述恒等式的专题拓展与题型应用，可参见文末参考文献 [6][7][8]。

5.2 非坐标轴情况

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，直线 $AB$ 经过点 $C(m, n)$ 有如下恒等关系：

（1）点差法调整后的两点式

$$\boxed{a^2 b^2 + a^2 y_1 y_2 + b^2 x_1 x_2 = a^2 n(y_1 + y_2) + b^2 m(x_1 + x_2)}$$

（2）截距式的对偶形式

$$\boxed{\frac{1}{a^2} \frac{m}{y_1 + y_2} + \frac{1}{b^2} \frac{n}{x_1 + x_2} = \frac{1}{x_1 y_2 + x_2 y_1}}$$

（3）对偶点差法

$$\boxed{x_1 y_2 + x_2 y_1 = n(x_1 + x_2) + \frac{a^2}{m} \left(1 + \frac{n^2}{b^2}\right)(y_1 + y_2) - \frac{2a^2 n}{b^2 m} y_1 y_2 - \frac{2a^2 n}{m}}$$

或

$$\boxed{x_1 y_2 + x_2 y_1 = m(y_1 + y_2) + \frac{b^2}{n} \left(1 + \frac{m^2}{a^2}\right)(x_1 + x_2) - \frac{2b^2 m}{a^2 n} x_1 x_2 - \frac{2b^2 m}{n}}$$

证明：

$(1)(2)$ 在 $3.2$ 与 $3.3$ 节已由割线方程代入点 $C(m, n)$ 证得，这里证明（3）（对称构造与二次代换思想参见文末参考文献 [9]）：

$$\begin{cases} x_1(y_2 - n) - x_2(y_1 - n) = m(y_2 - y_1) \\ (x_1 - m)y_2 - (x_2 - m)y_1 = -n(x_2 - x_1) \end{cases}$$

则：

$$\begin{aligned} &x_1(y_2 - n) + x_2(y_1 - n) \\ = &\frac{x_1^2(y_2 - n)^2 - x_2^2(y_1 - n)^2}{x_1(y_2 - n) - x_2(y_1 - n)} \\ = &\frac{\left(a^2 - \frac{a^2}{b^2}y_1^2\right)(y_2 - n)^2 - \left(a^2 - \frac{a^2}{b^2}y_2^2\right)(y_1 - n)^2}{m(y_2 - y_1)} \\ = &\frac{a^2}{m} \left(1 + \frac{n^2}{b^2}\right)(y_1 + y_2) - \frac{2a^2 n}{b^2 m} y_1 y_2 - \frac{2a^2 n}{m} \end{aligned}$$

故：

$$x_1 y_2 + x_2 y_1 = n(x_1 + x_2) + \frac{a^2}{m} \left(1 + \frac{n^2}{b^2}\right)(y_1 + y_2) - \frac{2a^2 n}{b^2 m} y_1 y_2 - \frac{2a^2 n}{m}$$

同理：

$$x_1 y_2 + x_2 y_1 = m(y_1 + y_2) + \frac{b^2}{n} \left(1 + \frac{m^2}{a^2}\right)(x_1 + x_2) - \frac{2b^2 m}{a^2 n} x_1 x_2 - \frac{2b^2 m}{n}$$

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六、设点法与定比点差法

6.1 定比分点公式

定比分点公式
已知平面上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，如果 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$，则 $P$ 点坐标为：

$$\boxed{P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)}$$

6.2 定比点差法

已知圆锥曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1$，若存在 $P, Q$ 两点，满足 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ} = -\lambda \overrightarrow{QB}$，那么：

$$\boxed{\frac{x_P x_Q}{a^2} \pm \frac{y_P y_Q}{b^2} = 1}$$

证明：

设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，则：

$$P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right), \quad Q\left(\frac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda}, \frac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda}\right)$$

于是：

$$\begin{aligned} &\begin{cases} \frac{x_1^2}{a^2} \pm \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \\ \frac{\lambda^2 x_2^2}{a^2} \pm \frac{\lambda^2 y_2^2}{b^2} = \lambda^2 \end{cases} \\ \Longrightarrow\ &\frac{(x_1 + \lambda x_2)(x_1 - \lambda x_2)}{a^2} \pm \frac{(y_1 + \lambda y_2)(y_1 - \lambda y_2)}{b^2} = 1 - \lambda^2 \\ \Longrightarrow\ &\frac{1}{a^2} \cdot \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} \cdot \frac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda} \pm \frac{1}{b^2} \cdot \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \cdot \frac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda} = 1 \\ \Longrightarrow\ &\frac{x_P x_Q}{a^2} \pm \frac{y_P y_Q}{b^2} = 1 \end{aligned}$$

6.3 定比插参法

📌 注：定比插参法解法由 @兜兜 在知乎讨论中提出，参见文末参考文献 [5]。

已知点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上，直线 $AB$ 经过点 $P(x_0, y_0)$，用 $B$ 的坐标表示 $A$，则：

$$\boxed{\begin{cases} \lambda = \frac{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right)}{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right)} \\ x_1 = \frac{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) x_2 - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right) x_0}{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right)} \\ y_1 = \frac{\left(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) y_2 - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right) y_0}{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right)} \end{cases}}$$

与 3.4 坐标互化公式 得到的结论是相同的。

证明：

设 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{BP}$，则：

$$\begin{cases} x_1 = \lambda x_2 + (1 - \lambda) x_0 \\ y_1 = \lambda y_2 + (1 - \lambda) y_0 \end{cases}$$

因为点 $A$ 在椭圆上，则：

$$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \Longrightarrow \frac{1}{a^2} [\lambda x_2 + (1 - \lambda) x_0]^2 + \frac{1}{b^2} [\lambda y_2 + (1 - \lambda) y_0]^2 = 1$$

又因为点 $B$ 在椭圆上，两边同乘 $\lambda^2$ 得：

$$\frac{\lambda^2 x_2^2}{a^2} + \frac{\lambda^2 y_2^2}{b^2} = \lambda^2$$

两式作差得：

$$\frac{1}{a^2} [2\lambda(1 - \lambda)x_0 x_2 + (1 - \lambda)^2 x_0^2] + \frac{1}{b^2} [2\lambda(1 - \lambda)y_0 y_2 + (1 - \lambda)^2 y_0^2] = 1 - \lambda^2 = (1 + \lambda)(1 - \lambda)$$

又 $\lambda \neq 1$，两边同除以 $1 - \lambda$ 得：

$$\frac{1}{a^2} [2\lambda x_0 x_2 + (1 - \lambda)x_0^2] + \frac{1}{b^2} [2\lambda y_0 y_2 + (1 - \lambda)y_0^2] = 1 + \lambda$$

则：

$$\begin{cases} \lambda = \frac{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right)}{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right)} \\ x_1 = \frac{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) x_2 - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right) x_0}{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right)} \\ y_1 = \frac{\left(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) y_2 - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right) y_0}{\left( \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} - 1 \right) - 2 \left( \frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1 \right)} \end{cases}$$

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七、设点法与非轴点差法

7.1 合比性质

合比性质
对任意 $a, b, c, d$，若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，则在保证各式有意义的前提下恒有：

$$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{\lambda a + \mu c}{\lambda b + \mu d}}$$

证明从略。

7.2 非轴点差法

📌 注：非轴点差法及其合比构造参见文末参考文献 [10]。

非轴点差主要运用了下面的方法：

考虑椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a, b > 0)$ 上的两点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，它们与定点 $P(x_0, y_0)$ 共线，则有：

$$\frac{y_1 - y_0}{y_2 - y_0} = \frac{x_1 - x_0}{x_2 - x_0}$$

利用比例的性质有：

$$\frac{y_1 - y_0}{y_2 - y_0} = \frac{x_1 - x_0}{x_2 - x_0} = \frac{-x_0(y_1 - y_0) + y_0(x_1 - x_0)}{-x_0(y_2 - y_0) + y_0(x_2 - x_0)} = \frac{y_0 x_1 - x_0 y_1}{y_0 x_2 - x_0 y_2}$$

再次利用比例的性质有：

$$\frac{(y_1 - y_0)^2}{(y_2 - y_0)^2} = \frac{\frac{(x_1 - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y_1 - y_0)^2}{b^2} - \frac{(y_0 x_1 - x_0 y_1)^2}{(ab)^2}}{\frac{(x_2 - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y_2 - y_0)^2}{b^2} - \frac{(y_0 x_2 - x_0 y_2)^2}{(ab)^2}} = \frac{\left(\frac{x_0 x_1}{a^2} + \frac{y_0 y_1}{b^2} - 1\right)^2}{\left(\frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1\right)^2}$$

其中，将分子分母的括号展开并代入：

$$y_i^2 = \left(1 - \frac{x_i^2}{a^2}\right)b^2, \quad (i = 1, 2)$$

开方整理得：

$$\boxed{\frac{y_1 - y_0}{y_2 - y_0} = -\frac{\frac{x_0 x_1}{a^2} + \frac{y_0 y_1}{b^2} - 1}{\frac{x_0 x_2}{a^2} + \frac{y_0 y_2}{b^2} - 1}}$$

注意开方时一侧需要添加负号。

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参考文献