梅森公式中 Δ 与 Δ_k 的回路判定规则

梅森公式为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}$$

其中：

$$\Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\sum L_iL_jL_m+\cdots$$

Δ 与 Δ_k 的区别

$\Delta$ 是整个信号流图的特征式，所以它要看全图所有回路，以及互不接触回路的组合。

而 $\Delta_k$ 是第 $k$ 条前向通路 $P_k$ 对应的余因子。它只计算：

$$\text{与第 }k\text{ 条前向通路不接触的回路}$$

也就是说，判断一个回路要不要放进 $\Delta_k$，关键看它和这条前向通路有没有公共节点。

• 如果某个回路和第 $k$ 条前向通路有公共节点，那么这个回路不能算进 $\Delta_k$。
• 如果某个回路和第 $k$ 条前向通路没有任何公共节点，那么这个回路要算进 $\Delta_k$。

情况一：前向通路不通过某个回路的任何节点

解答题情况一

前向通路不通过某个回路的任何节点时，这个回路是否算进对应的 $\Delta_k$？

解答

答案：要算进这条前向通路对应的 $\Delta_k$。

例如 $P_1$ 与 $L_1$ 不接触，那么：

$$\Delta_1=1-L_1$$

如果有两个互不接触的回路 $L_1, L_2$，并且它们也都不接触 $P_1$，那么：

$$\Delta_1=1-(L_1+L_2)+L_1L_2$$

情况二：所有前向通路都没有经过某个回路的任何节点

解答题情况二

所有前向通路都没有经过某个回路的任何节点时，这个回路是否算进各条前向通路的 $\Delta_k$？

解答

答案：这个回路要算进每一条前向通路的 $\Delta_k$。

也就是说，若 $L_1$ 不接触 $P_1, P_2, \cdots, P_n$，那么 $L_1$ 会出现在 $\Delta_1, \Delta_2, \cdots, \Delta_n$ 里面。

但是注意：这种回路如果完全和输入、输出通路无关，最后往往会在分子和分母中同时出现，然后约掉。

例如只有一条前向通路 $P_1$，还有一个完全不接触它的回路 $L_1$，则：

$$\Delta=1-L_1 \qquad \Delta_1=1-L_1$$

所以：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{P_1(1-L_1)}{1-L_1}=P_1$$

因此这个回路虽然形式上要算，但最后对传递函数没有实际影响。

最终记忆版

• 算 $\Delta$：全图所有回路都要看。
• 算 $\Delta_k$：只看与第 $k$ 条前向通路不接触的回路。
• 如果一个回路不接触某条前向通路，就算进这条通路的 $\Delta_k$。
• 如果一个回路不接触所有前向通路，就算进所有 $\Delta_k$。
• 如果它完全是孤立旁支，最后通常会约掉。

考试时最稳的做法是：先按规则算进去，再看分子分母能不能约掉。