根轨迹绘制中的零极点对消规则

核心问题

开环传递函数里出现了可以约分的因子，根轨迹能不能直接用化简后的传函来画？

判断方法： 根轨迹研究的是闭环极点，所以要看闭环特征方程和闭环传递函数。如果该因子在闭环传函的分子分母都出现并最终消去，就可以消；如果只出现在分母、留下了固定的闭环极点，就不能消。

以下三种情形均以 $(s+1)$ 为例说明。

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情形一：前向通道内部零极点——可以消

前向通道由两个串联环节组成，合并后：

$$G(s) = \frac{k}{s(s+1)(s+2)} \cdot (s+1) = \frac{k(s+1)}{s(s+1)(s+2)}$$

写出闭环特征方程（单位反馈，$H=1$）：

$$1 + G(s) = 0 \implies s(s+1)(s+2) + k(s+1) = 0 \implies (s+1)\bigl[s(s+2)+k\bigr] = 0$$

闭环传递函数：

$$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} = \frac{k(s+1)}{(s+1)\bigl[s(s+2)+k\bigr]} = \frac{k}{s(s+2)+k}$$

$(s+1)$ 在闭环传函的分子分母同时出现并约掉，$s=-1$ 不会出现在系统响应里。因此可以直接按

$$G_{\text{等效}}(s) = \frac{k}{s(s+2)}$$

来画根轨迹。

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情形二：前向通道极点 × 反馈通道零点——不能消

$G(s) = \dfrac{k}{s(s+1)(s+2)}$，$H(s) = s+1$，开环传函：

$$G(s)H(s) = \frac{k(s+1)}{s(s+1)(s+2)}$$

闭环特征方程：

$$1 + G(s)H(s) = 0 \implies s(s+1)(s+2) + k(s+1) = 0 \implies (s+1)\bigl[s(s+2)+k\bigr] = 0$$

方程形式与情形一完全相同，但闭环传递函数不同：

$$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{k}{(s+1)\bigl[s(s+2)+k\bigr]}$$

分子没有 $(s+1)$，所以 $s=-1$ 是不可消去的固定闭环极点，始终出现在系统响应里。

根轨迹图中，$s=-1$ 处标为空心圆（表示开环零点与极点重合），同时对应一个固定闭环极点：

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情形三：前向通道零点 × 反馈通道极点——可以消

$G(s) = \dfrac{k(s+1)}{s(s+2)}$，$H(s) = \dfrac{1}{s+1}$，开环传函自然化简：

$$G(s)H(s) = \frac{k(s+1)}{s(s+2)} \cdot \frac{1}{s+1} = \frac{k}{s(s+2)}$$

闭环特征方程：$s(s+2)+k=0$，与情形一相同。

闭环传递函数：

$$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{k(s+1)}{s(s+2)+k}$$

闭环极点只由分母 $s(s+2)+k=0$ 决定，与情形一完全一致，根轨迹相同：

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对比总结

情形	零点来自	极点来自	闭环传函分子有 $(s+1)$？	有固定闭环极点？	能否对消
一	前向通道	前向通道	是（约掉）	否	✓ 可以
二	反馈通道	前向通道	否	是 $s=-1$	✗ 不能
三	前向通道	反馈通道	是（保留）	否	✓ 可以

记忆要点： 只有「前向极点配反馈零点」这一种组合不能消，因为它产生了一个固定闭环极点，实实在在地影响系统响应。

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结论

做题时若不确定能否对消，统一按不对消处理更保险：多画一对重合开环零极点通常不会判错，但漏画可能丢分。