3.4 分部积分专项

核心结论

若被积函数中出现 $f'(x)$ 、 $f''(x)$ 或混合偏导 $f''_{xy}$ ，而题给条件只提供了函数 $f$ 的信息（端点值、积分值、边界值），则应优先考虑分部积分。

理由：分部积分的作用是把微分号下的导数”搬运”到另一个因子上。把 $f'(x)\,\mathrm{d}x$ 写成 $\mathrm{d}[f(x)]$ 后，被求导的因子从 $f'$ 降为 $f$ ，含导数的待求式就转化为含函数本身的式子，题给条件才可能被代入使用。反之，若让导数因子留在外面、把初等函数凑进微分号，导数只会继续升高，条件依旧用不上。

使用条件：① 被积函数中”导数因子”与”乘积因子”可分离，例如 $[f(x)+f''(x)]\sin x$ 、 $x f''(x)$ 、 $xy f''_{xy}(x,y)$ ；② 每次分部积分产生的边界项能由已知条件算定（端点函数值已知，或含 $\sin x$ 等为零的因子）。

注意事项：分区间的积分（如二重积分的累次积分）要先看清内层微分变量与外层被积因子是否匹配；不匹配时应先交换积分次序，再凑微分。

分部积分是积分模块中使用频率最高的手法之一，它在不定积分、定积分、变限积分以及多元微积分中的”二重积分 + 偏导数”中反复出现。其一般形式

$\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$

的用法可以概括为：选一个因子求导、另一个因子积分，把不好处理的部分转移到 $\int v\,\mathrm{d}u$ 中去。

关于具体函数的常规用法（幂函数与三角函数、指数函数搭配等）已在换元与分部积分一节系统整理，见 3.1.4 换元、分部积分、杂七杂八；本节集中处理抽象函数（只给函数的部分信息、不给解析式）的分部积分策略。

一、原理与判据

本质：分部积分是”一个因子求导、另一个因子积分”的配对操作，它不改变积分值，只改变被积函数的形态——目标是让形态朝着”能用上已知条件”的方向变。
抽象函数题的判据：题给条件是对 $f$ 的限制（端点值、积分值、边界值），待求式里出现的是 $f$ 的导数 $\implies$ 通过分部积分把导数降阶为 $f$ ，与条件对齐。出现二阶导就连续做两次，出现混合偏导就在两个方向各做一次。
选择 $u$ 的原则：把求导后变简单的因子取作 $u$ ，把易于积分的因子放入 $\mathrm{d}v$ ；对抽象函数则相反——若希望某个导数因子降阶，就直接把它整体放进微分号（如 $f''(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}[f'(x)]$ ）。
边界项的处理预期：判断这一步值不值得做，先看分部后的边界项 $[uv]$ 能不能算出来。若边界项含有题目未给出的未知量且无法消去，说明 $u,v$ 的取法需要调整。

二、经典例题全流程精析

1. 二阶导降阶与端点项消去

首先拆开积分：

I = \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x + \int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x \tag{1}

对第二项按”需要降阶的导数因子放进微分号”的原则，连续进行两次分部积分：

第一次分部积分（将 $f''(x)\,\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}[f'(x)]$ ）：

\begin{aligned} \int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x &= \int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}[f'(x)] \\ &= \left. f'(x)\sin x \right|_0^\pi - \int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x. \end{aligned}

注意到由于 $\sin \pi = 0,\ \sin 0 = 0$ ，第一项未知的一阶导数边界值自然归零消失：

\left. f'(x)\sin x \right|_0^\pi = f'(\pi)\sin\pi - f'(0)\sin 0 = 0.

故第二项化简为：

\int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x = -\int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x.

第二次分部积分（将 $f'(x)\,\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}[f(x)]$ ，把导数还原为原函数）：

\begin{aligned} -\int_0^\pi f'(x)\cos x\,\mathrm{d}x &= -\int_0^\pi \cos x\,\mathrm{d}[f(x)] \\ &= -\left[ \left. f(x)\cos x \right|_0^\pi - \int_0^\pi f(x)(-\sin x)\,\mathrm{d}x \right] \\ &= -\left. f(x)\cos x \right|_0^\pi - \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x. \end{aligned}

代入已知端点值 $f(0)=2,\ f(\pi)=1$ 计算边界项：

\begin{aligned} -\left. f(x)\cos x \right|_0^\pi &= -\left[ f(\pi)\cos\pi - f(0)\cos 0 \right] \\ &= -\left[ 1\cdot(-1) - 2\cdot 1 \right] \\ &= -(-3) = 3 = f(\pi) + f(0). \end{aligned}

于是：

\int_0^\pi f''(x)\sin x\,\mathrm{d}x = 3 - \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x.

将上式结果代回 (1) 式，未知的积分项 $\int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x$ 正好完全对消：

I = \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x + \left[ 3 - \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x \right] = 3.

最终结果为：

\boxed{I = 3}.

方法要点：本题的可行性有两点支撑——一是 $\sin x$ 在两端点为零，使第一次分部的边界项自动消失，不必知道 $f'$ ；二是两次分部后原积分以相反符号回来，与原式中的第一部分抵消，只留下可算的常数。这类”待求式中同时含 $f$ 与 $f''$ 、端点值已知”的题，基本上就是配 $\sin x$ 或 $\cos x$ 做两次分部。

2. 极限与导数定义综合求解特征值

答案： $2$

第 1 步：利用等价无穷小分析极限，求出 $f(1) = 0$ 当 $x \to 0$ 时， $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ 。代入已知极限式：

\lim_{x\to0}\frac{x f(\cos x)}{\tan x - x} = \lim_{x\to0}\frac{x f(\cos x)}{\frac{1}{3}x^3} = \lim_{x\to0}\frac{3 f(\cos x)}{x^2} = -3,

即：

\lim_{x\to0}\frac{f(\cos x)}{x^2} = -1.

由于分母 $x^2 \to 0$ ，而极限存在，故分子极限必为 $0$ ：

\lim_{x\to0} f(\cos x) = 0.

由题设 $f(x)$ 可导必连续，且 $\lim_{x\to0}\cos x = 1$ ，由连续函数性质即得：

f(1) = 0.

第 2 步：利用导数定义凑微商，求出 $f'(1) = 2$ 将式子改写并拆分：

\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{f(\cos x)}{x^2} &= \lim_{x\to0}\left[ \frac{f(\cos x) - f(1)}{\cos x - 1} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2} \right] \\ &= f'(1) \cdot \lim_{x\to0}\frac{\cos x - 1}{x^2}. \end{aligned}

利用等价无穷小 $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$ ，可得：

\lim_{x\to0}\frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}.

从而：

f'(1) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 \implies f'(1) = 2.

第 3 步：由奇函数性质确定 $f(0) = 0$ 题设 $f(x)$ 为可导奇函数且在原点处有定义，由奇函数性质直接可知：

f(0) = 0.

第 4 步：对待求积分实施分部积分 对待求积分凑微分并分部积分：

\begin{aligned} \int_0^1 x f''(x)\,\mathrm{d}x &= \int_0^1 x\,\mathrm{d}[f'(x)] \\ &= \left. x f'(x) \right|_0^1 - \int_0^1 f'(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \left( 1 \cdot f'(1) - 0 \cdot f'(0) \right) - \left. f(x) \right|_0^1 \\ &= f'(1) - [f(1) - f(0)] \\ &= f'(1) - f(1) + f(0). \end{aligned}

将求得的三个特征值 $f'(1)=2,\ f(1)=0,\ f(0)=0$ 代入：

\int_0^1 x f''(x)\,\mathrm{d}x = 2 - 0 + 0 = 2.

最终结果为：

\boxed{2}.

方法要点：分部积分只是本题的最后一环，前面的价值在于”从极限条件中榨出 $f(1)$ 、 $f'(1)$ “——先由极限存在 + 分母趋于零推出分子趋于零，再用连续性与导数定义求出函数值与导数值。三个特征值凑齐后，积分的结果是 $f'(1)-f(1)+f(0)$ ，形式上是”把 $x f''$ 降阶到 $f$ “的必然产物。

3. 二重积分中混合偏导数的分部积分与换序

答案： $a$

核心突破口：边界条件的偏导性质推导 题设在边界线 $y=1$ 上恒有 $f(x,1)=0$ （对任意 $x \in [0,1]$ 恒成立）。由于该线上的函数值恒为常数 $0$ ，沿该水平边界线对自变量 $x$ 求偏导必有：

\frac{\partial}{\partial x}[f(x,1)] = f'_x(x,1) = 0.

同理，在垂直边界线 $x=1$ 上恒有 $f(1,y)=0$ （对任意 $y \in [0,1]$ 恒成立）。

第 1 次分部积分：化累次积分，先对 $y$ 积分 区域 $D = [0,1] \times [0,1]$ 为单位正方形。将二重积分写成先对 $y$ 、后对 $x$ 的累次积分：

I = \int_0^1 x\,\mathrm{d}x \int_0^1 y f''_{xy}(x,y)\,\mathrm{d}y.

注意到 $f''_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}[f'_x(x,y)]$ ，将 $f''_{xy}(x,y)\,\mathrm{d}y$ 凑入微分号： $f''_{xy}(x,y)\,\mathrm{d}y = \mathrm{d}[f'_x(x,y)]$ ：

\begin{aligned} I &= \int_0^1 x\,\mathrm{d}x \int_0^1 y\,\mathrm{d}[f'_x(x,y)] \\ &= \int_0^1 x \left( \left. y f'_x(x,y) \right|_{y=0}^{y=1} - \int_0^1 f'_x(x,y)\,\mathrm{d}y \right)\,\mathrm{d}x. \end{aligned}

计算内层分部积分产生的边界项：

代入上限 $y=1$ ： $1 \cdot f'_x(x,1) = 1 \cdot 0 = 0$ （应用了结论 $f'_x(x,1)=0$ ）；
代入下限 $y=0$ ： $0 \cdot f'_x(x,0) = 0$ 。

故边界项彻底归零： $\left. y f'_x(x,y) \right|_{y=0}^{y=1} = 0 - 0 = 0$ 。从而积分简化为：

I = -\int_0^1 x \left[ \int_0^1 f'_x(x,y)\,\mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x = -\int_0^1 x\,\mathrm{d}x \int_0^1 f'_x(x,y)\,\mathrm{d}y.

关键转折：交换积分次序（解决微分变量不匹配的问题） 此时内层是对 $y$ 积分，但被积函数是对 $x$ 的偏导数 $f'_x(x,y)$ ，与 $\mathrm{d}y$ 不匹配，无法凑出 $\mathrm{d}[f(x,y)]$ 。必须利用积分区域 $D = [0,1] \times [0,1]$ 的矩形性质，交换积分次序，化为先对 $x$ 、后对 $y$ 的累次积分：

I = -\int_0^1 \mathrm{d}y \int_0^1 x f'_x(x,y)\,\mathrm{d}x.

第 2 次分部积分：对 $x$ 凑微分并还原原函数 此时内层是对 $x$ 积分，可以顺利凑微分 $f'_x(x,y)\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}[f(x,y)]$ ：

\begin{aligned} I &= -\int_0^1 \mathrm{d}y \int_0^1 x\,\mathrm{d}[f(x,y)] \\ &= -\int_0^1 \left( \left. x f(x,y) \right|_{x=0}^{x=1} - \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}x \right)\,\mathrm{d}y. \end{aligned}

计算内层边界项：

代入上限 $x=1$ ： $1 \cdot f(1,y) = 1 \cdot 0 = 0$ （利用题设 $f(1,y)=0$ ）；
代入下限 $x=0$ ： $0 \cdot f(0,y) = 0$ 。

边界项再次完全归零： $\left. x f(x,y) \right|_{x=0}^{x=1} = 0 - 0 = 0$ 。负负得正，化简即得：

I = \int_0^1 \mathrm{d}y \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}x = \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

代入题设已知条件 $\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = a$ ：

\boxed{I = a}.

典型错误做法：

\begin{aligned} -\int_0^1 x\,\mathrm{d}x \int_0^1 f'_x(x,y)\,\mathrm{d}y &\ne -\int_0^1 x f'_x(x,y)\,\mathrm{d}x \cdot \underbrace{\int_0^1 \mathrm{d}y}_{= 1} \\ &\ne -\int_0^1 x\,\mathrm{d}[f(x,y)] \end{aligned}

❌ 错在哪里：把关于 $y$ 的积分算成 $\int_0^1 \mathrm{d}y = 1$ 之后，就以为 $f'_x(x,y)$ 可以提到外面与 $x\,\mathrm{d}x$ 凑在一起——但 $f'_x(x,y)$ 仍然是 $y$ 的函数，内层积分没有把它变成常数，最左侧的等式根本不成立。

为什么 $f'_x(x,y)$ 也是 $y$ 的函数：

\begin{gathered} \text{若} \quad \begin{matrix} f \\ \swarrow \;\; \searrow \\ x \qquad y \end{matrix} \\ \text{则} \quad \begin{matrix} f'_x \\ \swarrow \;\; \searrow \\ x \qquad y \end{matrix} \qquad\qquad \begin{matrix} f'_y \\ \swarrow \;\; \searrow \\ x \qquad y \end{matrix} \qquad\qquad \begin{matrix} f''_{xy} \\ \swarrow \;\; \searrow \\ x \qquad y \end{matrix} \end{gathered}

偏导数仍是二元函数： $f(x,y)$ 的自变量是 $x, y$ ；其一阶偏导 $f'_x$ 、 $f'_y$ 以及二阶偏导 $f''_{xy}$ 的自变量依然同时是 $x$ 与 $y$ 。因此 $f'_x(x,y)$ 也是 $y$ 的函数，在内层关于 $y$ 积分时它不是常数，绝不能从内层积分号中移出；
微分变量必须与被求导变量一致：在累次积分 $-\int_0^1 x\,\mathrm{d}x \int_0^1 f'_x(x,y)\,\mathrm{d}y$ 中，内层微分是 $\mathrm{d}y$ ，而被积函数是关于 $x$ 的导数，配不出 $\mathrm{d}[f(x,y)]$ ；
合法出路：交换积分次序：要让 $f'_x(x,y)$ 与 $\mathrm{d}x$ 结合凑成 $\mathrm{d}[f(x,y)]$ ，在矩形区域上交换积分次序是唯一简便的途径，交换后得到 $-\int_0^1 \mathrm{d}y \int_0^1 x f'_x(x,y)\,\mathrm{d}x$ ，此时内层微分正是 $\mathrm{d}x$ ，可以顺利凑微分分部积分。

方法要点：二重积分中处理混合偏导的通式为”降阶 + 换序 + 再降阶”。三个前提缺一不可：区域是矩形（才能自由换序）、边界上函数值已知为零（才能消去边界项）、偏导连续（才能交换混合偏导次序 $f''_{xy}=f''_{yx}$ ，从而自由选择先对哪个变量降阶）。

易错点

判别前提遗漏：只看到”被积函数有导数”就动笔，忘了检查条件是否只给了函数信息。若条件里给的是导数值，降阶方向可能要反过来。
边界项未预先估算：分部积分后出现含未知量 $f'(\pi)$ 之类的边界项时应立即检查能否消去；不能消去说明 $u,v$ 取法要调整。
二重积分中把偏导因子当常数： $f'_x(x,y)$ 关于 $y$ 不是常数，不能移出对 $y$ 的积分号（见例 3.83 的辨析）。
换序前要确认区域：只有矩形（或换序后描述简单）的区域才能不加成本地交换次序，一般区域需重新画出积分域。
降阶次数要够但要停：出现 $f''$ 时降两次到 $f$ 即可；每次降阶都会产生新的边界项与符号变化，多降一次往往引入无法处理的 $f'''$ 。
符号：把导数放进微分号（ $f'(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}[f(x)]$ ）不产生负号，但分部公式 $\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$ 中的负号必须逐次保留。

我的总结

这一节的判断逻辑我已经固化成一个检查顺序：

看被积函数：有没有 $f'$ 、 $f''$ 、 $f''_{xy}$ ？有就进入分部积分流程。
看条件：题目给的是函数值还是导数值？给函数值 $\implies$ 目标是把导数降成函数。
定向降阶：把需要降阶的那个导数整体放进微分号（ $f''(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}[f'(x)]$ ），而不是把另一个因子凑进去。
算边界项：能用端点值或为零因子消掉，就继续；消不掉就回头调整分配。
二重积分加两步：先对能降阶的变量分部，再检查微分变量是否匹配，不匹配就交换次序。

三个例题的手法其实是同一条：例 3.81 用 $\sin x$ 的端点零值消去未知的 $f'$ ；例 3.82 先用极限与导数定义凑出三个特征值再降阶；例 3.83 把”降阶—换序—再降阶”走完，最后回到题给的整体积分值。我需要额外记住的是例 3.83 那个错误写法为什么错—— $f'_x(x,y)$ 对 $y$ 的从属性不是细节，而是整条思路能不能走通的关节点。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注：2011 数一/数二；例 3.81、例 3.82 取自习称《李林 880》的习题资料）
常见考研数学教材与辅导资料
本人课程学习笔记；本节”被积函数出现导数时优选分部积分”的判据、以及分部积分中 $u$ 的选取原则（把求导后变简单的因子取作 $u$ 、把易于积分的因子放入 $\mathrm{d}v$ ；对抽象函数则把需降阶的导数因子整体放入微分号）的表述，参考自某考研数学课程讲义

ギターと孤独と蒼い惑星

3.4 分部积分专项

3.4 分部积分专项

核心结论

一、原理与判据

二、经典例题全流程精析

1. 二阶导降阶与端点项消去

2. 极限与导数定义综合求解特征值

3. 二重积分中混合偏导数的分部积分与换序

易错点

我的总结

参考资料

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3.4 分部积分专项

核心结论

一、 原理与判据

二、 经典例题全流程精析

1. 二阶导降阶与端点项消去

2. 极限与导数定义综合求解特征值

3. 二重积分中混合偏导数的分部积分与换序

易错点

我的总结

参考资料

一、原理与判据

二、经典例题全流程精析