3.1.3 三角函数的不定积分

$\displaystyle\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x$ 的求解是一条有固定顺序的路线，本节按”判据 → 保底方法 → 例题 → 特殊模型”排列：

判据层（一、1）：三条奇偶性判据只做代数替换，不改变被积函数的结构，成本最低，永远先检验。
保底层（一、2）：三条判据都不成立时用万能代换。它对一切三角有理式都有效——换元后必定化为有理函数；代价是分母次数被抬高。
例题层（二）：例 3.7–3.9 逐条对应三条判据，并比较”三角换元”与”恒等式裂项”两条路径；例 3.10–3.12 是判据失效后的多路径比较，其中例 3.10 的一题三解说明不同路径的结果只差常数。
特殊模型（三）：分子分母同为 $\sin x,\cos x$ 的一次齐次式时，用”分母与分母的导数的线性组合”配凑，比上面任何方法都省力，但对分子的次数有硬性要求。
四节把全部判断整理成决策树，做题时按序走即可。

一、三角有理式积分 $R(\sin x, \cos x)$ 的求解体系

1. 特殊性质优先判定法（三大奇偶性判别）

三条判据排在万能代换之前，理由是成本差异：判据只做代数替换和一次凑微分，被积函数始终保持在三角函数范围内；万能代换必然把分式的幂次抬高，后续还要处理有理分式裂项。所以顺序是”先判性质，再决定是否换元”。

序号	奇偶性判定关系式	代数特征 / 几何含义	核心换元法	凑微分目标	适用场景与特征
(1)	$R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$	关于 $\sin x$ 为奇函数	令 $u = \cos x$	凑 $\mathrm{d}(\cos x) = -\sin x\,\mathrm{d}x$	式中含 $\sin x$ 的奇数次幂
(2)	$R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$	关于 $\cos x$ 为奇函数	令 $u = \sin x$	凑 $\mathrm{d}(\sin x) = \cos x\,\mathrm{d}x$	式中含 $\cos x$ 的奇数次幂
(3)	$R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$	关于 $\sin x, \cos x$ 为偶函数	令 $u = \tan x$	凑 $\mathrm{d}(\tan x) = \sec^2 x\,\mathrm{d}x$	式中均为偶数次幂或正切同次式

验证方法（十几秒即可完成）：把式中所有 $\sin x$ 换成 $-\sin x$ （或把所有 $\cos x$ 换成 $-\cos x$ ）后化简，若结果等于原被积函数整体乘 $-1$ ，对应判据即成立。只需替换、不必真正积分，所以这三条可以放在做题的第一步。

判据 (1) 为什么能化为关于 $\cos x$ 的有理函数： $R$ 关于 $\sin x$ 为奇函数时，被积式中 $\sin x$ 的总次数为奇数，可以提出一个 $\sin x$ 因子，余下部分只含 $\sin^2 x$ 与 $\cos x$ ；再用 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ 把 $\sin^2 x$ 换成 $\cos x$ ，被积函数就成为 $\cos x$ 的有理函数。提出来的 $\sin x\,\mathrm{d}x$ 恰好是 $-\mathrm{d}(\cos x)$ 所需的因子，所以换元 $u=\cos x$ 必定把问题化为有理分式。判据 (2) 与 (1) 完全对称。

判据 (3) 为什么能化为关于 $\tan x$ 的有理函数： $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ 说明被积式中 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的次数同为偶数或同为奇数，因而它是 $\sin^2 x$ 、 $\cos^2 x$ 、 $\sin x\cos x$ 的有理函数。分子分母同除以 $\cos^{n}x$ 后所有项都能用 $\tan x$ 表示，而剩下的 $\sec^2 x\,\mathrm{d}x$ 恰好是 $\mathrm{d}(\tan x)$ 。

判据都不成立时会怎样：此时被积式中不存在能把某个三角函数”配平”的因子，按任一条判据强行凑微分，都会在剩余部分留下无法消去的奇次幂或根式，计算中途卡住。例 3.11 的分母 $1+\sin x+\cos x$ 中两个三角函数都是一次幂，就是这种情况，只能改用万能代换。

和万能代换的关系：三条判据解决”算得快”，万能代换保证”一定算得出”，两者不是竞争关系。判据不成立不代表题目做不出来，只代表要多花计算量。

2. 通用方法：万能代换（半角代换）

必定可行的理由：换元后 $\sin x$ 、 $\cos x$ 与 $\mathrm{d}x$ 同时化为 $t$ 的有理函数，被积式成为有理函数的积分，而有理函数经裂项总能积出初等函数。因此这条路不存在”做不出”的情形，属于保底方案。
代价：任何被积分式都会额外乘上 $\dfrac{2}{1+t^2}$ ，分母统一多出 $(1+t^2)$ 因子，有理式的次数被动抬高，裂项量大于前三条判据。所以它的定位是判据失效后的兜底，而不是首选。
定义域限制： $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 在 $x=\pi+2k\pi$ 处无定义，反解 $x = 2\arctan t + 2k\pi$ 必须限定在长度为 $\pi$ 的单调区间内（通常取 $-\pi<x<\pi$ ），才能保证反函数唯一。积分区间跨过 $x=\pi+2k\pi$ 时需要分段处理。
便宜的情形：若分子中 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的系数结构对称（如例 3.11 的 $1+\sin x+\cos x$ ），代入后 $t^2$ 项会自动消去，此时万能代换的实际计算量并不大。

三个代换式可由一个直角三角形现场推出。以 $\dfrac{x}{2}$ 为锐角，取对边 $t$ 、邻边 $1$ ，则斜边为 $\sqrt{1+t^2}$ ：

$\sin\dfrac{x}{2} = \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}, \quad \cos\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$
代入二倍角公式即得： $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
再由 $\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(2\arctan t\right) = \dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ 得到第三个式子。

二、三角有理式典型题型与求解范例

1. 满足奇偶性：凑微分与直接换元

这一组题目的共同点：判据成立，因此只需”提出一个因子 + 同角恒等式”就把被积函数化为单一三角函数的有理式，剩下的工作是常规的有理分式裂项。

判据检验：分母中 $\sin x$ 为 $1$ 次幂，把 $\sin x$ 换成 $-\sin x$ 后被积函数整体变号，满足 $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$ ，属判据 (1)。于是分子分母同乘 $\sin x$ 提出一个 $\sin x$ 因子，其余用 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ 全部换成 $\cos x$ ，凑 $\mathrm{d}(\cos x)$ ：

I = \int \frac{\sin x\,\mathrm{d}x}{\sin^2 x\cos^4 x} = -\int \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{(1-\cos^2 x)\cos^4 x}

令 $u = \cos x$ ，化为有理分式积分：

I = -\int \frac{\mathrm{d}u}{(1-u^2)u^4}

裂项的出发点：分母 $(1-u^2)u^4$ 是”平方差 × 幂函数”，直接待定系数要解四个未知数。利用 $1$ 的加减恒等式 $(1-u^4)+u^4 = 1$ 把分子改写成与分母结构匹配的两项之和，可以一步拆开：

\frac{1}{(1-u^2)u^4} = \frac{(1-u^4) + u^4}{(1-u^2)u^4} = \frac{1+u^2}{u^4} + \frac{1}{1-u^2} = \frac{1}{u^4} + \frac{1}{u^2} + \frac{1}{1-u^2}

逐项积分：

\begin{aligned} I &= -\int \left(\frac{1}{u^4} + \frac{1}{u^2}\right)\mathrm{d}u - \int \frac{\mathrm{d}u}{1-u^2} \\ &= \frac{1}{3u^3} + \frac{1}{u} - \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C \\ &= \frac{1}{3\cos^3 x} + \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right| + C \end{aligned}

注意事项： $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}u}{1-u^2}$ 的两个对数项符号相反，写成 $\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+u}{1-u}\right|$ 的形式可以避免漏掉负号；回代后 $u=\cos x$ 可正可负，绝对值号必须保留。

判据检验：被积函数关于 $\cos x$ 为奇函数（ $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ ），属判据 (2)，分子分母同乘 $\cos x$ 提出一个 $\cos x$ 因子，再用 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ 换成 $\sin x$ ，凑 $\mathrm{d}(\sin x)$ ：

I = \int \frac{\cos x\,\mathrm{d}x}{\cos^2 x\sqrt{\sin x}} = \int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{(1-\sin^2 x)\sqrt{\sin x}}

令 $\sqrt{\sin x} = t$ ，则 $\sin x = t^2, \;\mathrm{d}(\sin x) = 2t\,\mathrm{d}t$ ：

\begin{aligned} I &= \int \frac{2t\,\mathrm{d}t}{(1-t^4)t} = 2\int \frac{\mathrm{d}t}{(1-t^2)(1+t^2)} \\ &= \int \left(\frac{1}{1-t^2} + \frac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + \arctan t + C \\ &= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sqrt{\sin x}}{1-\sqrt{\sin x}}\right| + \arctan\sqrt{\sin x} + C \end{aligned}

注意事项：判据 (2) 只把被积函数化为 $\sin x$ 的有理式，式中仍含根式 $\sqrt{\sin x}$ ，所以还要补一次”把整个根式设为 $t$ “的代换（同类做法见 3.1.4 的根式整体代换专题）。由 $\sqrt{\sin x}$ 本身要求 $\sin x>0$ ，故 $t>0$ ，第一项对数中的 $1-t$ 只需在 $t\ne 1$ 处讨论，不必加额外条件。

裂项的依据： $\dfrac{2}{(1-t^2)(1+t^2)} = \dfrac{1}{1-t^2}+\dfrac{1}{1+t^2}$ ，即把 $2$ 拆成 $(1-t^2)+(1+t^2)$ ，与例 3.7 用的是同一种”拆分分子以匹配分母因式”的思路。

判据检验：被积函数中 $\sin x$ 为 $2$ 次幂、 $\cos x$ 为 $4$ 次幂，同为偶数次，满足 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ ，属判据 (3)，令 $u = \tan x$ 。由直角三角形关系得：

\sin x = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}, \qquad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}, \qquad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}

代入原式（分母中的两个根式因子相乘后恰好把分母的 $\sqrt{\cdot}$ 全部消去，这正是判据 (3) 的成立理由在具体题目中的体现）：

\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x\cos^4 x} &= \int \frac{1+u^2}{u^2} \cdot (1+u^2)^2 \cdot \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} \\ &= \int \frac{(1+u^2)^2}{u^2}\,\mathrm{d}u = \int \left(u^2 + 2 + \frac{1}{u^2}\right)\mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{3}u^3 + 2u - \frac{1}{u} + C \\ &= \frac{1}{3}\tan^3 x + 2\tan x - \cot x + C \end{aligned}

适用条件：分母是 $\sin x$ 、 $\cos x$ 幂次的乘积形式时，可以不做换元，直接把 $1$ 写成 $(\sin^2 x+\cos^2 x)^2$ 展开，让分子产生与分母相同的因式，逐项约分：

\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x\cos^4 x} &= \int \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2}{\sin^2 x\cos^4 x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int \left(\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x\cos^2 x + \cos^4 x}{\sin^2 x\cos^4 x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \int \left(\frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} + \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \int \tan^2 x\sec^2 x\,\mathrm{d}x + 2\int \sec^2 x\,\mathrm{d}x + \int \csc^2 x\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3}\tan^3 x + 2\tan x - \cot x + C \end{aligned}

两条路径的取舍：三角代换（解法一）对一切满足判据 (3) 的题目都通用，但要做回代；恒等式裂项（解法二）步骤少、不用回代，代价是必须先看出分母能拆成 $\tan^2 x\sec^2 x$ 、 $\sec^2 x$ 、 $\csc^2 x$ 这类”能直接读出原函数”的形状。分母幂次不高时优先试解法二，看不出结构再退回解法一。

2. 不满足奇偶性：万能代换与多解比较

这一组题目的共同点：三条判据都不成立，或者需要先做同角化简才可能成立。此时按”先找便宜的恒等变形，再退到万能代换”的顺序试。

判据检验：把 $\sin x$ 换成 $-\sin x$ 后原式变为 $\dfrac{1}{1-\sin x}$ ，与原式既不相同也不相反，三条判据均失效。 路径选择：分母 $1+\sin x$ 是二项式，分子分母同乘共轭 $1-\sin x$ 后，分母变成 $1-\sin^2 x=\cos^2 x$ ，即由二项式降为单项式，符合”让分母尽可能简单”的标准，这是本题最省力的一条路：

\begin{aligned} I &= \int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int \sec^2 x\,\mathrm{d}x + \int \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos^2 x} \\ &= \tan x - \frac{1}{\cos x} + C = \tan x - \sec x + C \end{aligned}

适用条件：只有当分母形如 $1\pm\sin x$ 、 $1\pm\cos x$ 这类”平方后能化为单项式”的二项式时，乘共轭才有降价效果；若分母是 $1+\sin x+\cos x$ 这种三项式，乘共轭不能把分母化为单项式，应直接走方法三。

路径选择：利用 $\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ 把分母换成" $1+\cos(\cdot)$ "的形式，再用 $1+\cos\theta = 2\cos^2\dfrac{\theta}{2}$ 降幂，最终凑出 $\sec^2$ 的原函数：

\begin{aligned} I &= \int \frac{\mathrm{d}x}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} = \int \frac{\mathrm{d}x}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} \\ &= \int \sec^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\,\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) + C \end{aligned}

注意事项：凑微分时必须在 $\sec^2$ 的括号内配出与被积变量一致的因子 $\dfrac{1}{2}$ ，所以 $\mathrm{d}x$ 要写成 $2\,\mathrm{d}\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ，漏掉这个系数会把结果整体放缩错。

判据检验：式中 $\sin x$ 与 $\cos x$ 均为一次幂，把任一个换成其相反数后，原式既不相同也不相反（分母变为 $1\pm\sin x+\cos x$ 等），三条判据均不成立；同时分母是三项式，乘共轭也无法化为单项式。所以直接使用万能代换：

令 $\tan\dfrac{x}{2} = t$ ，则 $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}, \;\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \;\mathrm{d}x = \dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ ：

\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x+\cos x} &= \int \frac{\frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \\ &= \int \frac{2\,\mathrm{d}t}{(1+t^2) + 2t + (1-t^2)} = \int \frac{2\,\mathrm{d}t}{2(1+t)} \\ &= \int \frac{\mathrm{d}t}{1+t} = \ln|1+t| + C \\ &= \ln\left|1+\tan\frac{x}{2}\right| + C \end{aligned}

为什么这题的万能代换反而便宜：分子中 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的系数都是 $1$ （结构对称），代入后分子的 $t^2$ 项与分母的 $t^2$ 项恰好抵消，分母退化为一次因式 $2(1+t)$ ，不需要再裂项。这是万能代换中最省计算量的一类情形。

第一步（化同角，判据才可用）：被积式中混有二倍角 $\sin 2x$ 与单角 $\sin x$ ，奇偶性判据是针对单变量的有理式 $R(\sin x,\cos x)$ 给出的，必须先用 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 把角统一，否则无法直接判定：

\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x + 2\sin x} = \int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin x(\cos x+1)}

第二步（奇偶性判定与凑微分）：化同角后被积函数关于 $\sin x$ 为奇函数，分子分母同乘 $\sin x$ 提出一个 $\sin x$ ：

\begin{aligned} \int \frac{\sin x\,\mathrm{d}x}{2\sin^2 x(1+\cos x)} &= -\int \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{2(1-\cos^2 x)(1+\cos x)} \\ &= \int \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{2(\cos x-1)(\cos x+1)^2} \end{aligned}

第三步（有理真分式裂项，令 $t = \cos x$ ）：采用遮根法 + 极限法分解 $\dfrac{1}{(t-1)(t+1)^2}$ （具体做法见 3.1.2）：

遮住 $(t-1)$ 代入 $t=1 \implies A = \dfrac{1}{(1+1)^2} = \dfrac{1}{4}$
遮住 $(t+1)^2$ 代入 $t=-1 \implies C = \dfrac{1}{-1-1} = -\dfrac{1}{2}$
两边乘 $t$ 取 $t\to\infty \implies A + B = 0 \implies B = -\dfrac{1}{4}$

得到裂项展开式：

\frac{1}{(t-1)(t+1)^2} = \frac{1}{4(t-1)} - \frac{1}{4(t+1)} - \frac{1}{2(t+1)^2}

第四步（代回积分）：

\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x} &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{4(t-1)} - \frac{1}{4(t+1)} - \frac{1}{2(t+1)^2}\right)\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{8}\ln|t-1| - \frac{1}{8}\ln|t+1| + \frac{1}{4(t+1)} + C \\ &= \frac{1}{8}\ln\left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right| + \frac{1}{4(\cos x+1)} + C \end{aligned}

为什么值得先化同角：化同角只需要一步倍角公式，却把题目从”判据不可用”变成”判据可用”，从而避开了万能代换抬高分母次数的代价。

适用条件：化同角后仍有困难，或不想为寻找因式结构花时间时，可以直接套万能的保底路径。令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$ ，经万能公式化简积分可得：

\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x} = \frac{1}{4}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + \frac{1}{8}\tan^2\frac{x}{2} + C

两条路径的差别：解法一结果中只含 $\cos x$ ，解法二结果中只含 $\tan\dfrac{x}{2}$ ，两者在公共定义域上只相差常数；解法二的书写量集中在万能公式代入后的分式化简，虽然形式上”机械”，但不需要自己找裂项结构。

三、三角函数特殊类型：分子线性组合配凑法

1. 经典模型与秒杀公式

针对形如 正余弦一次齐次分式 的积分：

\int \frac{C\sin x + D\cos x}{A\sin x + B\cos x}\,\mathrm{d}x

将分子表示为 “分母” 与 “分母的导数” 的线性组合：

C\sin x + D\cos x = M \cdot (A\sin x + B\cos x) + N \cdot (A\sin x + B\cos x)'

即：

C\sin x + D\cos x = M(A\sin x + B\cos x) + N(A\cos x - B\sin x)

比较等式两边 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的系数，建立二元一次方程组求解待定常数 $M, N$ ：

\begin{cases} A M - B N = C \\ B M + A N = D \end{cases}

解出 $M, N$ 后，积分化为一次项与对数项之和：

\begin{aligned} \int \frac{C\sin x + D\cos x}{A\sin x + B\cos x}\,\mathrm{d}x &= M \int \mathrm{d}x + N \int \frac{\mathrm{d}(A\sin x + B\cos x)}{A\sin x + B\cos x} \\ &= M x + N \ln|A\sin x + B\cos x| + C \end{aligned}

唯一可解的判据： $A\sin x+B\cos x$ 与它的导数 $A\cos x-B\sin x$ 是 $\{\sin x,\cos x\}$ 这组基下的两个向量，对应系数矩阵 $\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}$ 的行列式为 $A^2+B^2$ 。只要 $A^2+B^2 \ne 0$ （分母不恒为零），该矩阵可逆， $M,N$ 就有唯一解，配凑格式必定成立。

分子的次数是硬性条件：本模型要求分子必须是 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的一次齐次组合 $C\sin x+D\cos x$ 。若分子含常数项、或含 $\sin^2 x$ 、 $\sin x\cos x$ 等二次项，它就不能由分母与分母的导数线性表示，此时应先用降幂公式把分子化为一次项的组合，或改用前面章节的方法。

结果的形式与定义域： $M\int\mathrm{d}x$ 给出一次项 $Mx$ ， $N\int\frac{\mathrm{d}u}{u}$ 给出对数项 $N\ln|A\sin x+B\cos x|$ 。分母取零时对数无定义，所以绝对值必须保留。

与判据 (3) 的区别：这类题目形式上也满足 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ ，但这里用的是配凑而不是命题 (3) 的 $\tan x$ 代换，理由见本节末尾的易错点说明。

2. 典型例题

设分子满足：

\sin x = M(\sin x + \cos x) + N(\sin x + \cos x)' = M(\sin x + \cos x) + N(\cos x - \sin x)

整理同类项：

\sin x = (M - N)\sin x + (M + N)\cos x

比较系数得：

\begin{cases} M - N = 1 \\ M + N = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} M = \dfrac{1}{2} \\[6pt] N = -\dfrac{1}{2} \end{cases}

故原积分化为：

\begin{aligned} \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\int \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} \\ &= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln|\sin x + \cos x| + C \end{aligned}

这里 $A=B=1$ ， $A^2+B^2=2\ne 0$ ，方程组有唯一解，配凑格式适用。

设分子满足：

3\sin x + \cos x = M(\sin x + 2\cos x) + N(\cos x - 2\sin x)

整理同类项：

3\sin x + \cos x = (M - 2N)\sin x + (2M + N)\cos x

比较系数得：

\begin{cases} M - 2N = 3 \\ 2M + N = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} M = 1 \\ N = -1 \end{cases}

故原积分化为：

\begin{aligned} \int \frac{3\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x}\,\mathrm{d}x &= 1 \cdot \int \mathrm{d}x - 1 \cdot \int \frac{\mathrm{d}(\sin x + 2\cos x)}{\sin x + 2\cos x} \\ &= x - \ln|\sin x + 2\cos x| + C \end{aligned}

本题 $A=1,B=2$ ， $A^2+B^2=5\ne 0$ ；若系数改为 $A=1,B=2$ 但同时分子出现二次项，则必须先降幂，配凑格式不再直接可用。

形如 $\dfrac{C\sin x+D\cos x}{A\sin x+B\cos x}$ 的被积函数，形式上满足 $R(-\sin x,-\cos x) = R(\sin x,\cos x)$ ，也就是说判据 (3) 在形式上也成立。但按下述路径操作成本明显更高：分子分母同除以 $\cos x$ ，化为 $\displaystyle\int\frac{C\tan x+D}{A\tan x+B}\,\mathrm{d}x$ ，再令 $t=\tan x$ ，得到 $\displaystyle\int\frac{Ct+D}{(At+B)(1+t^2)}\,\mathrm{d}t$ ——分母变成一次因式与二次因式之积，需要解三个待定系数，还要回代 $t=\tan x$ 。

而配凑格式只解两个未知数，并且对数项可以直接读出。因此结论是：判据 (3) 只保证”能走通”，不保证”最省力”；当分子分母同为一次齐次式时优先配凑，只有当分子分母幂次更高、无法表示为一次组合时才回到判据 (3)。

四、三角函数积分考场决策树

graph TD
    Start["遇到三角函数不定积分 ∫ R(sin x, cos x) dx"] --> PreCheck["先化同角化简 (如 sin 2x = 2sin x cos x)"]
    PreCheck --> Q1{"是否为线性组合齐次式<br/>(C sin x + D cos x) / (A sin x + B cos x) ?"}

    Q1 -- "是，且 A² + B² ≠ 0" --> ActionLinear["【线性组合配凑法】<br/>分子 = M·分母 + N·(分母)'<br/>结果 = M x + N ln|分母| + C"]
    Q1 -- "否" --> Q2{"检查三大奇偶性"}

    Q2 -- "关于 sin x 为奇函数<br/>R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)" --> ActionSin["【凑 d(cos x)】<br/>分子分母同乘 sin x，令 u = cos x"]
    Q2 -- "关于 cos x 为奇函数<br/>R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)" --> ActionCos["【凑 d(sin x)】<br/>分子分母同乘 cos x，令 u = sin x"]
    Q2 -- "关于两者均为同号偶函数<br/>R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)" --> ActionTan["【凑 d(tan x) / 三角恒等变形】<br/>令 u = tan x 或分子配 (sin²x+cos²x)"]

    Q2 -- "均不满足" --> Q3{"分母能否化成单项式？<br/>(分母有理化 / 二倍角降幂)"}
    Q3 -- "能" --> ActionEasy["【恒等变形 / 降幂】<br/>如 1+sin x 乘 (1-sin x) 让分母变单项"]
    Q3 -- "不能" --> ActionUniversal["【万能代换（保底）】<br/>令 t = tan(x/2)，转为普通有理真分式"]

我的总结

这一节的解题顺序我固定成三步：先化同角（有倍角、半角就先统一）→ 再验三条奇偶性判据 → 都不成立才用万能代换。顺序不能颠倒，因为万能代换必然把分母抬高一次幂，能避免就避免。
三条判据我是按”提出一个因子”来记的：关于 $\sin x$ 为奇就提 $\sin x$ （连带 $-\mathrm{d}(\cos x)$ ），关于 $\cos x$ 为奇就提 $\cos x$ （连带 $\mathrm{d}(\sin x)$ ），两者同为偶或同奇就同除 $\cos^n x$ 换成 $\tan x$ 。验证只需做替换，不必真的积分。
万能代换我把它当作验算工具和兜底：它保证结果一定算得出来，但裂项量大。例 3.11 那种 $\sin x$ 、 $\cos x$ 系数对称的情形是例外，代入后 $t^2$ 项自动抵消，反而很快。
判据 (2) 做完之后常常还剩一个根式（如例 3.8 的 $\sqrt{\sin x}$ ），需要再补一次”整个根式设为 $t$ “，这说明判据只负责把被积函数降为单一三角函数的有理式，不一定一步到位。
分子分母都是一次齐次式时，我优先用 $M\cdot$ 分母 $+$ $N\cdot$ 分母的导数配凑：只解两个未知数，对数项直接读出。成立条件是分母不恒为零（ $A^2+B^2\ne 0$ ）且分子必须是一次齐次组合，分子出现常数项或二次项时不能直接套。
我错过的地方集中在两处符号： $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}u}{1-u^2}$ 的对数符号，以及凑微分时漏掉括号内变量变化的系数（例 3.10 方法二要配 $2\,\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$ ）。回代后凡 $\cos x$ 、 $\sin x$ 可正可负的对数项，绝对值都不能省。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）
常见考研数学教材与辅导资料
本人课程学习笔记；三条奇偶性判据的检验顺序与”分子 $=$ $M\cdot$ 分母 $+$ $N\cdot$ 分母的导数”这一配凑格式、以及”让分母尽可能简单”的化简取向，参考自某考研数学课程讲义

ギターと孤独と蒼い惑星

3.1.3 三角函数的不定积分

3.1.3 三角函数的不定积分

一、三角有理式积分 $R(\sin x, \cos x)$ 的求解体系

1. 特殊性质优先判定法（三大奇偶性判别）

2. 通用方法：万能代换（半角代换）

二、三角有理式典型题型与求解范例

1. 满足奇偶性：凑微分与直接换元

2. 不满足奇偶性：万能代换与多解比较

三、三角函数特殊类型：分子线性组合配凑法

1. 经典模型与秒杀公式

2. 典型例题

四、三角函数积分考场决策树

我的总结

参考资料

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3.1.3 三角函数的不定积分

一、 三角有理式积分 R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x, \cos x)R(sinx,cosx) 的求解体系

1. 特殊性质优先判定法（三大奇偶性判别）

2. 通用方法：万能代换（半角代换）

二、 三角有理式典型题型与求解范例

1. 满足奇偶性：凑微分与直接换元

2. 不满足奇偶性：万能代换与多解比较

三、 三角函数特殊类型：分子线性组合配凑法

1. 经典模型与秒杀公式

2. 典型例题

四、 三角函数积分考场决策树

我的总结

参考资料

一、三角有理式积分 $R(\sin x, \cos x)$ 的求解体系

二、三角有理式典型题型与求解范例

三、三角函数特殊类型：分子线性组合配凑法

四、三角函数积分考场决策树