3.1.1 常见函数的积分公式和处理手法 + 表格法

总目录 · 第3章知识点索引

一、 不定积分的概念与性质

💡 【PROPERTY】 1. 互逆运算性质

微分与不定积分是互逆运算，运算次序决定结果形式：

• 先积后导 / 先积后微： $(\int f(x)\,\mathrm{d}x)' = f(x), \qquad \mathrm{d}\left(\int f(x)\,\mathrm{d}x\right) = f(x)\,\mathrm{d}x$
• 先导后积 / 先微后积（必须加常数 $C$）： $\int f'(x)\,\mathrm{d}x = f(x) + C, \qquad \int \mathrm{d}f(x) = f(x) + C$

判断依据：求导运算会把函数族中的任意常数抹掉，所以先积后导的结果是确定的 $f(x)$；而”求原函数”这一运算得到的是函数族，族内任意两个成员相差常数，所以先导后积必须补上 $C$ 才完整。

易错点：只在计算不定积分时要求补 $C$。若题目是定积分或变限积分，结果中不得出现任意常数。

💡 【PROPERTY】 2. 线性性质

• 常数可提：$\displaystyle\int k f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x \quad (k \ne 0 \text{ 为常数})$
• 和差可拆：$\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,\mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x$

使用条件：和差可拆针对的是有限个被积函数之和。被积函数中出现”本身不是待积变量”的字母时（例如对 $x$ 积分而式中含参数 $a$），该字母按常数处理，可以直接提到积分号外；若题设说明它是待求的函数，则不能提。

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二、 基本积分公式分类速记

记忆基本积分表的方法是按导数公式反查：每一个积分公式都对应一条求导公式，忘记时把右边求导验算一遍即可确认，这比死背形状更可靠。

1. 幂函数与指数函数

$$\begin{aligned} &\int x^\alpha\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1} + C \quad (\alpha \ne -1), \qquad \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln|x| + C \\ &\int e^x\,\mathrm{d}x = e^x + C, \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0,\,a\ne 1) \end{aligned}$$

判断依据：幂函数公式的系数 $\dfrac{1}{\alpha+1}$ 来自对 $x^{\alpha+1}$ 求导时落下来的因子 $\alpha+1$；$\alpha=-1$ 时该因子为 $0$，公式失效，此时原函数是对数函数。$\ln|x|$ 中的绝对值不可省，因为 $\dfrac{1}{x}$ 在 $x<0$ 上也有定义。

2. 常见三角函数积分

$$\begin{aligned} &\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C \\ &\int \tan x\,\mathrm{d}x = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C, \qquad \int \cot x\,\mathrm{d}x = \ln|\sin x| + C \\ &\int \sec^2 x\,\mathrm{d}x = \tan x + C, \qquad \int \csc^2 x\,\mathrm{d}x = -\cot x + C \\ &\int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x = \sec x + C, \qquad \int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x = -\csc x + C \end{aligned}$$

推导思路：$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，分子恰为 $-\cos x$ 的导数，故写成 $-\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x}$ 后即为对数；$\cot x$ 同理。含 $\sec x\tan x$、$\csc x\cot x$ 的两式直接由 $(\sec x)'=\sec x\tan x$、$(\csc x)'=-\csc x\cot x$ 反查得到。

3. 正割与余割积分（重点难点）

$$\begin{aligned} \int \sec x\,\mathrm{d}x &= \ln|\sec x + \tan x| + C = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right| + C \\ \int \csc x\,\mathrm{d}x &= -\ln|\csc x + \cot x| + C = \ln|\csc x - \cot x| + C = \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C \end{aligned}$$

4. 含有二次式 / 根式的必背五大公式（$a>0$）

序号	积分公式	备注 / 记忆特征
(1)	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$	无根号，平方和，前有系数 $\dfrac{1}{a}$
(2)	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left\|\frac{a+x}{a-x}\right\| + C$	无根号，平方差，因式分解裂项，前有系数 $\dfrac{1}{2a}$
(3)	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$	有根号，$a^2-x^2$，反三角函数（注意无 $\dfrac{1}{a}$）
(4)	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$	有根号，平方和，对数形式（绝对值可省略）
(5)	$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left\|x+\sqrt{x^2-a^2}\right\| + C$	有根号，$x^2-a^2$，对数形式（必须加绝对值）

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三、 换元积分法

三类根式的三角代换总结

被积式含根式	推荐代换	主值区间 / 变量范围	三角恒等式与微分关系
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x = a\sin t$ （或 $x = a\cos t$）	$t \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ （$\cos$ 取 $t\in[0,\pi]$）	$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ $\mathrm{d}x = a\cos t\,\mathrm{d}t$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x = a\tan t$	$t \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$	$\sqrt{a^2+x^2} = a\sec t$ $\mathrm{d}x = a\sec^2 t\,\mathrm{d}t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a\sec t$	$x > 0 \implies t \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ $x < 0 \implies t \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$	$\sqrt{x^2-a^2} = a\tan t$ $\mathrm{d}x = a\sec t\tan t\,\mathrm{d}t$

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四、 分部积分法

1. 选 $u$ 与 $v$ 的黄金法则：“反对幂指三”

• 顺序：反（反三角）$\to$ 对（对数）$\to$ 幂（多项式/幂函数）$\to$ 指（指数）$\to$ 三（三角）
• 选取原则：
  • 越靠左 $\implies$ 越优先选作 $u(x)$（难以直接积分，通过求导降低求积难度 / 化为代数式）；
  • 越靠右 $\implies$ 越容易凑入微分号选作 $v'(x)$（积分简便，即 $\int v\,\mathrm{d}u$ 比原式更易积）。

2. 常见题型与处理策略

1. 形如 $\displaystyle\int P_n(x)e^{ax}\,\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int P_n(x)\sin ax\,\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int P_n(x)\cos ax\,\mathrm{d}x$：
   • 设 $u = P_n(x)$（求导降次），指数/三角函数凑入 $\mathrm{d}$。
   • 终止条件：多项式求导 $n$ 次后归零，所以这类积分总能用有限次分部积完，不存在循环项。
2. 形如 $\displaystyle\int P_n(x)\ln x\,\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int P_n(x)\arctan x\,\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int P_n(x)\arcsin x\,\mathrm{d}x$：
   • 设 $u = \ln x$ 或反三角函数，多项式 $P_n(x)$ 凑入 $\mathrm{d}$ 积分升次。
   • 判断依据：这里多出来的一次分部会让多项式升次，但代价是 $u$ 的导数变简单，总体仍然化简；所以顺序与第 1 类相反。
3. 形如 $\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,\mathrm{d}x$：
   • 连续两次分部积分使原积分重现（循环），通过移项解出原积分（或直接使用表格法/待定系数法）。
   • 注意事项：两次分部必须都取同类因子作 $u$（都取三角函数，或都取指数函数），否则第二次会积回原式而无法得到方程。

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五、 表格法（分部积分快速运算）

1. 理论公式与操作机制（横排法）

分部积分多次展开的一般形式为：

$$\int u v^{(4)}\,\mathrm{d}x = u v^{(3)} - u' v'' + u'' v' - u^{(3)} v + \int u^{(4)} v\,\mathrm{d}x$$

横排表格构建与计算规则：

• 上行（$u$ 序列）：依次向右写出 $u$ 及其逐阶导数：$u \to u' \to u'' \to u^{(3)} \to \cdots$
• 下行（$v$ 序列）：依次向右写出 $v'$ 及其逐阶原函数：$v' \to v \to v_1 \to v_2 \to \cdots$
• 错位相乘与符号：从上行第 1 项向右下方（下行第 2 项）错位连线相乘，各项符号按 $+$、$-$、$+$、$-$ 相间交替；
• 末项处理：若上行未归零，则最后一列上下垂直相乘并带积分号（即 $\pm\int u^{(n)} v_n\,\mathrm{d}x$）。

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2. 典型题型示例

类型一：多项式 $\times$ 指数/三角函数（有限步终止到 0）

横排表格：

序列项	初始项	1阶	2阶	3阶	4阶
$u$ 的各阶导数（向右求导）	$x^3+2x+6$	$3x^2+2$	$6x$	$6$	$0$
错位连线与符号	$\searrow\ (+)$	$\searrow\ (-)$	$\searrow\ (+)$	$\searrow\ (-)$	导数为 0 终止
$v$ 的各阶原函数（向右积分）	$e^{2x}$	$\dfrac{1}{2}e^{2x}$	$\dfrac{1}{4}e^{2x}$	$\dfrac{1}{8}e^{2x}$	$\dfrac{1}{16}e^{2x}$

错位相乘展开与整理：

$$\begin{aligned} \int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\mathrm{d}x &= +(x^3+2x+6)\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - (3x^2+2)\cdot\frac{1}{4}e^{2x} + (6x)\cdot\frac{1}{8}e^{2x} - (6)\cdot\frac{1}{16}e^{2x} + C \\ &= \left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{7}{4}x + \frac{17}{8}\right)e^{2x} + C \end{aligned}$$

结果检验：对 $\left(\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{7}{4}x + \dfrac{17}{8}\right)e^{2x}$ 求导，$e^{2x}$ 会带出因子 $2$，三阶项系数恰为 $1$，二次项与一次项在求导后相互配合消去，可核回原被积函数——这类多项式乘指数的结果总可以这样验算。

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类型二：指数函数 $\times$ 三角函数（循环移项型）

横排表格：

序列项	初始项	1阶	2阶（出现循环项）
$u$（三角向右求导）	$\sin x$	$\cos x$	$-\sin x$
连线与符号	$\searrow\ (+)$	$\searrow\ (-)$	$\downarrow\ (+)$（垂直同列相乘带积分）
$v$（指数向右积分）	$e^x$	$e^x$	$e^x$

列式计算与移项：

$$\begin{aligned} \int e^x\sin x\,\mathrm{d}x &= +(\sin x)\cdot e^x - (\cos x)\cdot e^x + \int (-\sin x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x \\ &= e^x(\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

移项合并得：

$$\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$$

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横排表格（设 $u = \cos 2x$）：

序列项	初始项	1阶	2阶（出现循环项）
$u$（三角求导）	$\cos 2x$	$-2\sin 2x$	$-4\cos 2x$
连线与符号	$\searrow\ (+)$	$\searrow\ (-)$	$\downarrow\ (+)$（垂直同列相乘带积分）
$v$（指数积分）	$e^x$	$e^x$	$e^x$

列式计算与移项：

$$\begin{aligned} \int e^x\cos 2x\,\mathrm{d}x &= +(\cos 2x)\cdot e^x - (-2\sin 2x)\cdot e^x + \int (-4\cos 2x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x \\ &= e^x\cos 2x + 2e^x\sin 2x - 4\int e^x\cos 2x\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

移项解得：

$$5\int e^x\cos 2x\,\mathrm{d}x = e^x(\cos 2x + 2\sin 2x) \implies \int e^x\cos 2x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}e^x(\cos 2x + 2\sin 2x) + C$$

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3. 指三乘积统一公式（可作验算备用）

我的总结

• 本节所有公式都是从求导公式”倒着读”得来的。忘记积分公式时，与其回忆形状，不如把右边求导一遍验算，这个方法对幂函数系数、$\sec$ 与 $\csc$ 的正负号都适用。
• 含二次式与根式的五个公式，我按两个维度区分：有没有根号决定系数是 $\dfrac{1}{a}$ 类还是 $1$，是平方差还是平方和决定用反三角还是对数、以及要不要加绝对值。其中 $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 无系数这一点我错过，需要单独标出。
• 两类换元我按”能不能直接凑出导数”来选：能凑就用第一类，不必改写自变量；不能凑且含根式或 $\ln x$、$e^x$ 就用第二类，但必须把 $\mathrm{d}x$ 与上下限一起换掉。
• 分部积分的选 $u$ 顺序（反对幂指三）背后只有一条标准：$u$ 求导后要变简单，$\mathrm{d}v$ 要容易积。遇到常规顺序不适用的题目，回到这条标准判断，比硬套顺序可靠。
• 表格法我掌握到”能写出表格并正确配符号”即可，重点是符号交替来自每一次分部的 $-1$，末列垂直相乘要带积分号。多项式乘指数用表格法可以一次写到底，指数乘三角则要用表格法导出方程再移项。
• 指三乘积统一公式我只作验算用：先按表格法算出结果，再用公式核对系数，防止解答题里因公式记错而丢分。

参考资料

• 考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）：2024 年二重积分大题（用到 $\ln\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|+C$ 的化简）
• 常见考研数学教材与辅导资料
• 本人课程学习笔记；其中”表格法逐阶求导—逐阶积分、错位连线配符号”的书写格式与选 $u$ 顺序”反对幂指三”的归纳，参考自某考研数学课程讲义