2.7 构造辅助函数（小题）

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构造辅助函数只有一个目的：把题设中的抽象条件（或待证结论）搬到某个函数 $F(x)$ 的导数上。搬过去之后，题目就只剩下两件事——若目标是比较大小或判断单调性，就读 $F'(x)$ 的符号；若目标是证明”存在某个 $\xi$“，就找 $F$ 的两个相等端点值然后用罗尔定理。本节的场景是选择、填空题中的比较大小；面向解答题的完整证明版本放在 2.8 中值定理。

一、核心思想与本质原理

二、核心万能公式：积分因子法（解决 90% 的疑难）

关键细节说明：

1. 同号与同解性：由于指数因子恒正（$e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x} > 0$）：
   • $F'(x)$ 的正负号与 $f'(x) + g(x)f(x)$ 完全一致（直接用于判定单调性与大小比较）；
   • $F'(x) = 0 \iff f'(x) + g(x)f(x) = 0$（直接用于罗尔定理证明中值点存在性）。
2. 积分常数处理：只需构造一个特解，不定积分 $\int g(x)\,\mathrm{d}x$ 中的常数 $C$ 通常取 $0$。理由是 $e^{C}$ 只是给 $F$ 乘一个恒正常数，既不改 $F$ 的零点与端点是否相等，也不改 $F'$ 的符号，取 $C=0$ 只是让表达式最简。
3. 对数绝对值处理：出现对数时要看区间上自变量的符号，不能一律丢绝对值。
   • 若区间上 $x>0$（如 $0<a<b$ 上的讨论）：$\int \frac{n}{x}\,\mathrm{d}x = n\ln x \implies e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x} = e^{n\ln x} = x^n$；
   • 若区间上 $x<0$：$\int\frac{n}{x}\,\mathrm{d}x = n\ln|x|$，此时 $|x|=-x$，应代入具体表达式；
   • 一般地，$\int\frac{a}{x-b}\,\mathrm{d}x = a\ln|x-b|$，必须先写绝对值，再由 $x$ 与 $b$ 的大小把它化成 $a\ln(x-b)$ 或 $a\ln(b-x)$ 才能取指数（见 2.8 例 2.73）。

三、考研高频经典构造速查表

目标表达式 / 题干特征	积分因子 / 识别规律	辅助函数 $F(x)$	导数展开式 $F'(x)$	典型应用
$f'(x) - f(x)$	$g(x) = -1$	$F(x) = e^{-x}f(x) = \dfrac{f(x)}{e^x}$	$e^{-x}[f'(x)-f(x)]$	例 2.69
$f'(x) + f(x)$	$g(x) = 1$	$F(x) = e^{x}f(x)$	$e^x[f'(x)+f(x)]$	单调性/中值定理
$f'(x) + kf(x)$	$g(x) = k$	$F(x) = e^{kx}f(x)$	$e^{kx}[f'(x)+kf(x)]$	线性递推型
$xf'(x) + nf(x)$	同除以 $x \implies f'(x)+\frac{n}{x}f(x)$	$F(x) = x^n f(x)$	$x^{n-1}[xf'(x)+nf(x)]$	2.8 例 2.72 (Ⅰ)
$xf'(x) - nf(x)$	同除以 $x \implies f'(x)-\frac{n}{x}f(x)$	$F(x) = \dfrac{f(x)}{x^n}$	$\dfrac{xf'(x)-nf(x)}{x^{n+1}}$	单调性/中值定理
$f'(x) + f(x)\tan x$	$g(x) = \tan x \implies \int\tan x\,\mathrm{d}x = -\ln\cos x$	$F(x) = \dfrac{f(x)}{\cos x} = f(x)\sec x$	$\dfrac{f'(x)+f(x)\tan x}{\cos x}$	三角导数构造
$f'(x) - f(x)\cot x$	$g(x) = -\cot x \implies \int(-\cot x)\,\mathrm{d}x = -\ln\sin x$	$F(x) = \dfrac{f(x)}{\sin x} = f(x)\csc x$	$\dfrac{f'(x)-f(x)\cot x}{\sin x}$	三角导数构造
$f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	乘积求导法则 $[f(x)g(x)]'$	$F(x) = f(x)g(x)$	$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$	例 2.70（注）
$f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$	商求导法则 $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$	$F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$	$\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$	例 2.70
$f(x)f'(x)$	复合二次求导 $\frac{1}{2}[f^2(x)]'$	$F(x) = f^2(x)$	$2f(x)f'(x)$	例 2.71
$f''(x) + kf'(x)$	把 $f'$ 视为整体，$g(x) = k$	$F(x) = e^{kx}f'(x)$	$e^{kx}[f''(x)+kf'(x)]$	2.8 例 2.75 (Ⅱ)
$f''(x) - f(x)$	加减中间项裂项：$[f'(x)-f(x)]'+[f'(x)-f(x)]$	$F(x) = e^{x}[f'(x)-f(x)]$（两层构造）	$e^{x}[f''(x)-f(x)]$	2.8 例 2.76

四、解题场景与套路

1. 选择题 / 填空题（比较大小 / 单调性）：
   • 识别特征式 $\to$ 构造 $F(x)$；
   • 由已知条件定出 $F'(x)$ 正负 $\to$ 确定 $F(x)$ 单调性 $\to$ 代入特殊点比较大小；
   • 排除法的适用范围：抽象函数的选择题可以取满足全部题设条件的特殊函数（如 $f(x)=e^{kx}$、$f(x)=e^x$、$f(x)=-e^x$）逐项代入。这只是把选项否掉的手段，不能代替证明，因此只适合有选项的题；一旦题目改为”证明”或选项中出现”无法确定”，必须以构造辅助函数的方法为准。
2. 解答题（中值定理证明题）：
   • 移项整理为 $f'(x)+g(x)f(x)=0$；
   • 构造 $F(x) = e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}f(x)$ 并验证端点 $F(a)=F(b)=0$；
   • 应用罗尔定理得出 $\exists\,\xi\in(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即证得结论。

典型例题

易错点

我的总结

• 这一节我记住的核心只有一句：辅助函数的导数要出现题目给的那个表达式。做题的固定动作是先把待证式或题设移项整理成一阶线性组合的形式，再对照速查表取原函数。
• 速查表我按”形状”记，而不是按结论记：$f'+kf$ 配 $e^{kx}$；$xf'+nf$ 配 $x^n$（先同除 $x$）；$f'g\pm fg'$ 先看中间是加还是减，加配乘积、减配商；$ff'$ 配 $f^2$。这四类是绝大多数题的起点。
• 判断”能不能构造出来”的标准很实用：待证式必须能写成一个函数的导数（乘上恒正因子）。带非齐次常数项时我会先想办法把常数写成某个函数的导数；完全写不出来时，说明该换工具了（零点定理、积分中值定理，或者像 2.8 例 2.76 那样先加减中间项裂项）。
• 例 2.69、例 2.71 都有一个共同点：题目用抽象函数给条件，正确选项的形式（比值与 $e$ 的幂、绝对值大小）就已经暗示了辅助函数。所以我现在会先看选项形式再选辅助函数，比从条件硬推快。
• 还没做完的两件事：一是把速查表里”三角型”的两行（含 $\tan x$、$\cot x$）补一道对应的练习，目前只有公式没有例题；二是把例 2.70 的”加号配乘积、减号配商”对照表整理成常备模板。

参考资料

• 考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）：例 2.69 为 2020 数二真题，例 2.71 为 2017 数一、数三真题，例 2.70 为 2000 年真题
• 常见考研数学教材与辅导资料
• 本人课程学习笔记。其中”积分因子 $e^{\int g(x)\mathrm dx}$ 作为辅助函数”这一方法的整理，参考自某考研数学课程讲义中”构造辅助函数令其导数出现目标表达式”的提法
• 例题与练习中涉及的具名题集：各年份真题

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