2.5 渐近线

渐近线是极限计算与函数作图的基本功。曲线 $y=f(x)$ 的渐近线分三类：铅直渐近线（曲线沿某个方向趋向竖直直线）、水平渐近线、斜渐近线。三者的共同点是”曲线上一点沿某个方向无限远离原点时，到某条定直线的距离趋于 $0$ “；区别只在于这条直线是竖直、水平还是倾斜的。其中水平渐近线可以看成斜渐近线在斜率 $k=0$ 时的特例。

核心结论与求法

类型	判定条件	求解顺序
铅直渐近线 $x=x_0$	$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$	先找可疑点（无定义点、区间端点、分段点），再逐个算单侧极限
水平渐近线 $y=y_0$	$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=y_0$ 或 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=y_0$	算两个方向的极限，注意左右可以不同
斜渐近线 $y=ax+b$	$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\ (\ne0)$ 且 $\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-ax]=b$	先算 $a$ ， $a$ 存在且非零后再算 $b$ ；如果 $a=0$ ，退回看水平渐近线

判据的来源：斜渐近线的定义要求”曲线与直线的距离趋于 $0$ “，即 $f(x)-(ax+b)\to0$ ，两边除以 $x$ 得 $a=\lim\frac{f(x)}{x}$ ；再由 $b=\lim[f(x)-ax]$ 得到截距。所以两步是有先后顺序的： $a$ 必须先存在，否则 $b$ 的表达式本身无意义。
$x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 要分开算：同一条曲线在两个方向上可以有不同（甚至个数不同）的渐近线；只有两个方向的 $a$ 、 $b$ 都存在且相等时，才只写一条。
三类渐近线可以并存：例如 $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ 有铅直渐近线 $x=1$ ，同时在两个方向上共有一条斜渐近线 $y=x+1$ 。题目问”共有几条渐近线”时必须三类都查一遍，只算斜渐近线会漏。

1 铅直渐近线

若

\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty \quad\text{（或）}\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty,

则 $x=x_0$ 为一条铅直渐近线。

判断依据：铅直渐近线刻画的是”函数值在某点附近无界”，只需单侧极限为 $\infty$ 即可，不要求双侧。
使用条件： $x_0$ 必须是函数”与外界断开”的位置，即去心邻域内有定义、而 $x_0$ 本身无定义或属于边界（无定义点、定义区间端点、分段点）。在这些位置上逐个算 $\lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x)$ ；若极限为有限数，则只是间断点而不是渐近线。
注意点：分子分母同为 $0$ 的可去间断点（如 $y=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处）不算铅直渐近线；含绝对值的点如 $y=\frac{1}{|x|-1}$ 在 $x=\pm1$ 处要按左右分别验算。

2 水平渐近线

若

\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_1,

则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线；若

\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_2,

则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线。

若

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_0,

则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线。

3 斜渐近线

若

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=a_1\quad(a_1\ne0), \qquad \lim_{x\to+\infty}[f(x)-a_1x]=b_1,

则 $y=a_1x+b_1$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线；

若

\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=a_2\quad(a_2\ne0), \qquad \lim_{x\to-\infty}[f(x)-a_2x]=b_2,

则 $y=a_2x+b_2$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线；

若

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x =\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=a\quad(a\ne0),

\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax] =\lim_{x\to-\infty}[f(x)-ax]=b,

则 $y=ax+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线。

判断依据： $a\ne0$ 是”斜”的要求（ $a=0$ 时退化为水平渐近线）； $b$ 的存在性要单独验证， $a$ 存在不能保证 $b$ 存在（详见例 2.61 的第 ③ 条）。
使用条件：先算 $a=\lim\frac{f(x)}{x}$ 。若 $a$ 不存在，不必再算 $b$ ，该方向无斜渐近线；若 $a$ 存在但为 $0$ ，改判水平渐近线。
注意点：算 $b=\lim[f(x)-ax]$ 时先做恒等变形（提公因式、通分、取对数还原），不要把极限拆成两个各自不存在的极限之差。这类题的 $b$ 常常形如 $\lim x\cdot(\text{趋于}0\text{ 的量})$ ，要用等价无穷小或泰勒展开处理。

典型例题

设斜渐近线为 $y=kx+b$ 。

\begin{aligned} k &=\lim_{x\to+\infty}\frac yx\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-1)e^{\frac\pi2+\arctan x}}x =e^\pi. \end{aligned}

直接计算

\lim_{x\to+\infty}(y-kx)

时，发现其中的极限不能直接求出，因此

\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(y-e^\pi x)\\ &=\lim_{x\to+\infty}\left[(x-1)e^{\frac\pi2+\arctan x}-e^\pi x\right]\\ &=-e^\pi+\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\arctan x-\frac\pi2}-e^0\right)\\ &=-e^\pi+e^\pi\lim_{x\to+\infty} x\left(e^{\arctan x-\frac\pi2}-1\right)\\ &=-e^\pi+e^\pi \lim_{x\to+\infty} x\left(\arctan x-\frac\pi2\right)\\ &=-e^\pi-e^\pi=-2e^\pi. \end{aligned}

其中

\lim_{x\to+\infty}x\left(\arctan x-\frac\pi2\right)=-1.

故斜渐近线为

y=e^\pi x-2e^\pi.

直接计算 $b$ 的过程中，不能把不存在的极限拆开；先整体变形，再利用

\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2,\qquad \arctan x=\frac\pi2-\frac1x+o\left(\frac1x\right).

具体地说： $\lim\limits_{x\to+\infty}(x-1)e^{\frac\pi2+\arctan x}$ 与 $\lim\limits_{x\to+\infty}e^\pi x$ 各自都是 $\infty$ ，相减属于 $\infty-\infty$ ，必须先提取 $e^\pi x$ 、把 $e^{\arctan x-\frac\pi2}-1$ 用等价无穷小 $\arctan x-\frac\pi2$ 替换后再求极限。

设斜渐近线方程为 $y=kx+b$ 。

k = \lim_{x\to+\infty}\frac yx = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^x}{(1+x)^x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(1+\frac1x\right)^x} = \frac1e.

\begin{aligned} b &= \lim_{x\to+\infty}\left(y - \frac xe\right) \\ &= \lim_{x\to+\infty} x\left[\left(1+\frac1x\right)^{-x} - \frac1e\right] \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left[e^{1 - x\ln\left(1+\frac1x\right)} - 1\right] \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left[1 - x\ln\left(1+\frac1x\right)\right] \quad (\text{因 } e^u - 1 \sim u,\ u \to 0) \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left\{1 - x\left[\frac1x - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]\right\} \\ &= \frac1e \lim_{x\to+\infty} x\left[\frac{1}{2x} + o\left(\frac1x\right)\right] \\ &= \frac{1}{2e}. \end{aligned}

故斜渐近线为

y=\frac1e x+\frac{1}{2e}.

3．已知函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上可导，则以下结论

①若 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$ ，则 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=0$ ；

②若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=0$ ，则 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$ ；

③若 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x\to+\infty$ 时有渐近线；

④若 $f(x)$ 在 $x\to+\infty$ 时有渐近线，则 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在。

正确结论的个数为

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

正确结论仅有 ①，共 1 个，答案选 (A)。

1. 命题 ① 正确（洛必达法则 $\frac{*}{\infty}$ 型 / 拉格朗日中值定理）

视角一（洛必达法则）：当 $x\to+\infty$ 时，分母 $x\to+\infty$ ，且导数之比 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{(x)'}=\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$ 存在。由分母趋于无穷大的洛必达法则（只要求分母 $\to\infty$ ）： $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0.$
视角二（拉格朗日中值定理）：对任意 $x>1$ ，在区间 $[1,x]$ 上应用拉格朗日中值定理： $f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)\ (\xi\in(1,x))$ ，两边同除以 $x$ ： $\frac{f(x)}{x}=\frac{f(1)}{x}+f'(\xi)\cdot\frac{x-1}{x}.$ 当 $x\to+\infty$ 时， $\xi\to+\infty$ ，由已知 $f'(\xi)\to 0$ ，故 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$ 。

2. 命题 ② 错误（“洛前有极限 $\centernot\implies$ 洛后有极限” / 导数振荡）

反例：取 $f(x)=\sin x$ $f (x) = sin x$ 。
- $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ （有界量 $\times$ 无穷小量）；
- 但 $f'(x)=\cos x$ ，当 $x\to+\infty$ 时极限振荡发散不存在。

3. 命题 ③ 错误（斜渐近线需斜率 $k$ 与截距 $b$ 同时存在且有限）

原因剖析：斜渐近线 $y=kx+b$ 要求 $k=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ 与 $b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]$ 均存在且为有限实数。虽然 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f'(x)=k$ 存在时由命题 ① 可推得斜率 $k$ 存在，但截距 $b$ 不一定存在（可能发散到 $\infty$ ）。
反例：取 $f(x)=\ln x$ $f (x) = ln x$ 。
- $f'(x)=\dfrac1x\to 0$ （导数极限存在，若有渐近线则必为 $k=0$ 的水平渐近线）；
- 但截距 $b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[\ln x-0\cdot x]=+\infty$ 发散，故 $f(x)=\ln x$ 无渐近线。

4. 命题 ④ 错误（有渐近线不可反推导数极限存在）

反例：取 $f(x)=\dfrac{\sin(x^2)}{x}$ $f (x) = \frac{sin ( x ^{2} )}{x}$ 。
- 当 $x\to+\infty$ 时， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ ，曲线显然有水平渐近线 $y=0$ ；
- 但其导数 $f'(x)=2\cos(x^2)-\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}$ ，当 $x\to+\infty$ 时因高频振荡而不存在极限。

3．设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（　　）

A．当 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在时， $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在；

B．当 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在时， $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在；

C．当 $\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_0^xf(t)\,\mathrm dt}{x}$ 存在时， $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在；

D．当 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在时， $\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_0^xf(t)\,\mathrm dt}{x}$ 存在。

正确答案为 (D)。

1. 正选（D 正确）

当 $x\to+\infty$ 时分母 $x\to+\infty$ ，直接应用 $\frac{*}{\infty}$ 型洛必达法则：

\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_0^xf(t)\,\mathrm dt}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{1} = \lim_{x\to+\infty}f(x)\quad(\text{极限存在}).

2. 逐项排除（经典反例）

A 错（高频振荡）：取 $f(x)=\dfrac{\sin(x^2)}{x}\to 0$ ，但 $f'(x)=2\cos(x^2)-\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}$ 振荡发散。
B 错（累积发散）：取 $f(x)=x$ （或 $\ln x$ ），导数 $f'(x)=1\to 1$ ，但原函数 $f(x)\to+\infty$ 发散。
C 错（洛必达不可逆推）：取 $f(x)=\sin x$ ，均值 $\dfrac{\int_0^x\sin t\,\mathrm dt}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x}\to 0$ ，但原函数 $\sin x$ 振荡不存在极限。

$x\to+\infty\Longleftrightarrow t\to-1$ ，即当自变量 $t\to-1$ 时， $x\to+\infty$ 。

\begin{aligned} k &=\lim_{x\to+\infty}\frac yx =\lim_{t\to-1}\frac{t^2}{1+t^3}\cdot\frac{1+t^3}{t} =\lim_{t\to-1}t=-1. \end{aligned}

\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(y-kx) =\lim_{t\to-1}(y+x)\\ &=\lim_{t\to-1}\frac{t^2+t}{1+t^3} =\lim_{t\to-1}\frac{1+2t}{3t^2} =-\frac13. \end{aligned}

所以

y=-x-\frac13.

当 $x\to+\infty$ 时， $\theta\to\dfrac\pi3$ ，即当自变量 $\theta\to\dfrac\pi3$ 时， $x\to+\infty$ 。

x=r\cos\theta=\frac{\cos\theta}{3\theta-\pi}, \qquad y=r\sin\theta=\frac{\sin\theta}{3\theta-\pi}.

斜率

a=\lim_{x\to+\infty}\frac yx =\lim_{\theta\to\frac\pi3}\tan\theta =\sqrt3.

截距

\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(y-\sqrt3x)\\ &=\lim_{\theta\to\frac\pi3} \frac{\sin\theta-\sqrt3\cos\theta}{3\theta-\pi}\\ &=\lim_{\theta\to\frac\pi3} \frac{\cos\theta+\sqrt3\sin\theta}{3} =\frac23. \end{aligned}

故斜渐近线为

y=\sqrt3x+\frac23.

练习册与模拟卷中会出现用参数方程或极坐标方程给出的曲线，要求求斜渐近线，目前真题尚未考过。处理方式是固定的： $k$ 、 $b$ 的定义式不变，只需把限定条件 $x\to+\infty$ 翻译成参数的趋近方式。

参数方程：先由 $x=x(t)\to+\infty$ 确定 $t\to t_0$ （如例 2.61.1 中 $t\to-1$ ），再把 $\frac yx=\frac{y(t)}{x(t)}$ 、 $y-kx$ 化为 $t\to t_0$ 的极限（通常是 $\frac00$ 型，可用洛必达）。
极坐标方程：先用 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ 化为以 $\theta$ 为参数的参数方程，再由 $x\to+\infty$ 定出 $\theta\to\theta_0$ （如例 2.61.2 中 $\theta\to\frac\pi3$ ）。
共同注意点：定 $t_0$ （或 $\theta_0$ ）时要检查是否有多个方向， $x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 可能对应不同的参数值，从而得到不同的渐近线。

易错点

只算斜渐近线，漏掉铅直与水平：题目问”所有渐近线”时三类都要查。漏铅直渐近线最常见，因为它的候选点（无定义点、分段点）不会出现在 $x\to\pm\infty$ 的计算里。
在 $a$ 不存在时硬算 $b$ ：先算 $a=\lim\frac{f(x)}{x}$ ， $a$ 不存在就没有斜渐近线， $b$ 不必算。
$a=0$ 时仍写斜渐近线： $a=0$ 时是水平渐近线，不是斜渐近线。
把 $\infty-\infty$ 拆成两个极限相减：算 $b$ 时这是最常见的错误，必须先恒等变形（提公因式、通分、幂指化 $e^{\cdot}$ ），见例 2.59 与例 2.60。
误认为”极限为无穷即无渐近线”： $\lim f(x)=\infty$ 只说明没有水平渐近线，仍可能有斜渐近线；反过来，有水平渐近线时一定没有同方向的斜渐近线（同一方向 $a$ 唯一）。
由 $f'$ 的极限存在性反推渐近线： $\lim f'(x)$ 存在只给出斜率，截距可能发散（ $f(x)=\ln x$ ，见例 2.61）；有渐近线也不能反推 $\lim f'(x)$ 存在。

我的总结

渐近线这一节的关键是顺序：先处理 $x\to x_0$ 的竖直方向（找无定义点、分段点），再处理 $x\to\pm\infty$ 的两个方向，每个方向上先算 $k$ （或判断是否 $k=0$ ），再算 $b$ 。把顺序固定下来，就不会出现”算了半天斜渐近线，结果题目问的是共有几条”这种亏。
$b$ 的计算是这一节真正的计算量所在，而它的难点几乎全是 $\infty-\infty$ 型： $y-kx$ 总是”两个大项相减”，所以我一律先做恒等变形。例 2.59 用的是提取 $e^\pi x$ 后对 $\left(e^{\arctan x-\frac\pi2}-1\right)$ 用等价无穷小 $\arctan x-\frac\pi2$ ；例 2.60 用的是把幂指结构化成 $e^{1-x\ln(1+\frac1x)}$ 再展开 $\ln(1+t)$ 。两个动作值得单独记下来。
例 2.61 与例 1.24 这一组题的价值不在渐近线本身，而在洛必达法则的方向性： $\lim\frac{f(x)}{x}$ 与 $\lim f'(x)$ 之间只有单向的推出关系。我固定准备三个反例（ $\sin x$ 、 $\frac{\sin x^2}{x}$ 、 $\ln x$ ），遇到”由 A 能否推出 B”的选项就逐个套。
参数方程与极坐标求渐近线的题目真题还没考过，但套路就是”把 $x\to+\infty$ 换成 $t\to t_0$ （或 $\theta\to\theta_0$ ）“，练过例 2.61.1、例 2.61.2 之后应该够了。要做但还没做的是：把” $x\to-\infty$ 时对应哪个参数值”逐题核一遍，尤其是极坐标题里 $\theta$ 的取值范围会决定另一个方向是否存在渐近线。
还没整理的是”给出 $f'(x)$ 或 $f(x)$ 的抽象条件，判断渐近线条数”这一小类题，等复习 2.6 零点个数时一并补。

参考资料

考研数学历年真题（年份与卷种随题标注）：例 2.60 为 2020 数二真题，例 1.24 为 2025 数一真题，例 2.59、例 2.61 与第 1 章的同号例题同源
常见考研数学教材与辅导资料
本人课程学习笔记。其中” $\lim f'(x)$ 存在不能保证截距 $b$ 存在”这一判据的表述，参考自某考研数学课程讲义
例题与练习中涉及的具名题集：张宇模拟卷（例 2.61.2），以及各年份真题

ギターと孤独と蒼い惑星

2.5 渐近线

2.5 渐近线

核心结论与求法

1 铅直渐近线

2 水平渐近线

3 斜渐近线

典型例题

易错点

我的总结

参考资料

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