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5.7 高维度看待考研多元微分新颖大题——偏微分方程

从偏微分方程与初值条件的角度，完整整理多元微分新颖大题的偏积分方法，并收录例 5.65 至例 5.67 及手写推导。

5.7 高维度看待考研多元微分新颖大题——偏微分方程

多元微分题中一旦出现 f(u,0)f(u,0)、f(0,v)f(0,v)、z(x,0)z(x,0)、z(0,y)z(0,y) 一类条件，就应把它看作偏微分方程的“初值条件”：偏积分产生的不是常数，而是关于另一个变量的任意函数。

来源：逍遥遗憾 27 考研数学思维课，第五章“多元微分”，资料页 404—408。本文保留资料中的例题、原解与红蓝手写批注。

近几年，数二在多元微分部分屡次出现新题型。小题方面，2020 年和 2024 年考查过“分段函数的多元微分概念题”（见 5.3）；大题方面，2022 年和 2024 年都考查了带附加条件的偏积分问题（见例 5.38 和例 5.34）。

回看这两道题会发现，它们都会涉及“偏积分”。若对 xx 偏积分，最后加的不是常数 CC，而是 C(y)C(y)；若对 yy 偏积分，最后加的是 C(x)C(x)。从更高的角度看，这类题的本质是偏微分方程，只是考研题额外给出了一些条件，使问题仍能用考研范围内的知识解决。

一、把附加条件看作初值条件

若题中给出

f(u,0)=u2e−uf(u,0)=u^2e^{-u}

或

f(0,v)=150v2−1,f(0,v)=\frac1{50}v^2-1,

这类条件的地位相当于微分方程中的初值条件。普通微分方程中的初值条件用来确定常数 CC；多元微分中进行偏积分，产生的是 C(x)C(x) 或 C(y)C(y)，所以这些条件正是用来确定该任意函数的。

因此，看到这类条件时应立即想到：

  1. 题目一定会涉及偏积分；
  2. 先利用已知偏导关系进行偏积分；
  3. 再代入初值条件，确定 C(x)C(x) 或 C(y)C(y)；
  4. 最后再做求导、极值等后续问题。

辅助结构图：偏积分与初值条件

下图是依据本节方法补充的辅助图，不属于原资料中的题图。

flowchart LR
  A["识别偏导关系或一阶偏微分方程"] --> B["对指定变量偏积分"]
  B --> C["保留另一变量的任意函数<br/>C(x) 或 C(y)"]
  C --> D["代入 f(u,0)、f(0,v)、z(x,0)、z(0,y) 等初值条件"]
  D --> E["确定任意函数"]
  E --> F["得到原函数，再求偏导或极值"]

二、初值条件确定任意函数

解答题例 5.32（李艳芳 900）

设函数 z(x,y)z(x,y) 满足

∂2z∂x∂y=ex+2y,\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=e^x+2y,

且

z(x,0)=x,z(0,y)=2y,z(x,0)=x,\qquad z(0,y)=2y,

则 z(x,y)=z(x,y)= ______。

解答

资料手写解法先对 yy 偏积分。此时加的不是常数 CC，而是关于 xx 的函数 φ(x)\varphi(x)：

zxy′′=ex+2y⇒zx′=∫zxy′′ dy=yex+y2+φ(x).z_{xy}''=e^x+2y \Rightarrow z_x'=\int z_{xy}''\,dy =ye^x+y^2+\varphi(x).

由

z(x,0)=xz(x,0)=x

得

zx′(x,0)=1.z_x'(x,0)=1.

代入上式：

0⋅ex+0+φ(x)=1⇒φ(x)=1.0\cdot e^x+0+\varphi(x)=1 \Rightarrow \varphi(x)=1.

所以

zx′=yex+y2+1.z_x'=ye^x+y^2+1.

再对 xx 偏积分：

z=∫zx′ dx=yex+xy2+x+g(y).z=\int z_x'\,dx =ye^x+xy^2+x+g(y).

令 x=0x=0，有

z(0,y)=y+g(y).z(0,y)=y+g(y).

又因为 z(0,y)=2yz(0,y)=2y，所以

g(y)=y.g(y)=y.

故

z(x,y)=yex+xy2+x+y.\boxed{z(x,y)=ye^x+xy^2+x+y}.

资料手写批注强调：对 yy 偏积分时，加的不是 CC，而是 φ(x)\varphi(x)。

三、直接偏积分解题

解答题例 5.65（李播模拟卷）

设函数 f(x,y)f(x,y) 具有连续的偏导数且满足

fx′(x,y)f(x,y)=1x−y−2x\frac{f_x'(x,y)}{f(x,y)} =\frac1{x-y}-2x

及

f(x,−x)=2xe−2x2.f(x,-x)=2xe^{-2x^2}.

（Ⅰ）求 f(x,y)f(x,y)；

（Ⅱ）求 f(x,y)f(x,y) 的极值。

解答

（Ⅰ）求 f(x,y)f(x,y)

由题意，

fx′(x,y)f(x,y) dx=(1x−y−2x)dx,\frac{f_x'(x,y)}{f(x,y)}\,dx =\left(\frac1{x-y}-2x\right)dx,

即

ln⁡∣f(x,y)∣=ln⁡∣x−y∣−x2+C(y),\ln|f(x,y)| =\ln|x-y|-x^2+C(y),

其中 C(y)C(y) 为任意可微函数。

等式两边取以 ee 为底的指数：

∣f(x,y)∣=∣x−y∣e−x2+C(y).|f(x,y)|=|x-y|e^{-x^2+C(y)}.

进而

f(x,y)=±eC(y)(x−y)e−x2.f(x,y)=\pm e^{C(y)}(x-y)e^{-x^2}.

将前面的任意函数仍记为 C1(y)C_1(y)，可写成

f(x,y)=C1(y)(x−y)e−x2.f(x,y)=C_1(y)(x-y)e^{-x^2}.

由

f(x,−x)=2xe−2x2,f(x,-x)=2xe^{-2x^2},

得

C1(−x)⋅2xe−x2=2xe−2x2,C_1(-x)\cdot 2x e^{-x^2}=2xe^{-2x^2},

所以

C1(−x)=e−x2.C_1(-x)=e^{-x^2}.

于是

C1(y)=e−y2.C_1(y)=e^{-y^2}.

故

f(x,y)=(x−y)e−x2−y2.\boxed{f(x,y)=(x-y)e^{-x^2-y^2}}.

（Ⅱ）求极值

先求驻点：

fx′(x,y)=(1−2x2+2xy)e−x2−y2=0,f_x'(x,y)=(1-2x^2+2xy)e^{-x^2-y^2}=0, fy′(x,y)=(−1−2xy+2y2)e−x2−y2=0.f_y'(x,y)=(-1-2xy+2y^2)e^{-x^2-y^2}=0.

解得

(12,−12),(−12,12).\left(\frac12,-\frac12\right), \qquad \left(-\frac12,\frac12\right).

二阶偏导为

fxx′′=−2x(1−2x2+2xy)e−x2−y2+(−4x+2y)e−x2−y2,f_{xx}'' =-2x(1-2x^2+2xy)e^{-x^2-y^2} +(-4x+2y)e^{-x^2-y^2}, fxy′′=−2y(1−2x2+2xy)e−x2−y2+2xe−x2−y2,f_{xy}'' =-2y(1-2x^2+2xy)e^{-x^2-y^2} +2xe^{-x^2-y^2}, fyy′′=−2y(−1−2xy+2y2)e−x2−y2+(−2x+4y)e−x2−y2.f_{yy}'' =-2y(-1-2xy+2y^2)e^{-x^2-y^2} +(-2x+4y)e^{-x^2-y^2}.

对驻点 (12,−12)\left(\frac12,-\frac12\right)：

A=−3e−1/2,B=e−1/2,C=−3e−1/2.A=-3e^{-1/2},\qquad B=e^{-1/2},\qquad C=-3e^{-1/2}.

因此

AC−B2>0,A<0,AC-B^2>0,\qquad A<0,

故

f(12,−12)=e−1/2\boxed{f\left(\frac12,-\frac12\right)=e^{-1/2}}

为极大值。

对驻点 (−12,12)\left(-\frac12,\frac12\right)：

A=3e−1/2,B=−e−1/2,C=3e−1/2.A=3e^{-1/2},\qquad B=-e^{-1/2},\qquad C=3e^{-1/2}.

因此

AC−B2>0,A>0,AC-B^2>0,\qquad A>0,

故

f(−12,12)=−e−1/2\boxed{f\left(-\frac12,\frac12\right)=-e^{-1/2}}

为极小值。

四、从一阶偏微分方程的公式法重审例 5.65

题干中的等式涉及一阶导数，可以把它改写为

fx′−(1x−y−2x)f=0.f_x'-\left(\frac1{x-y}-2x\right)f=0.

把 yy 暂时看作参数，这是一阶线性微分方程。公式法给出

f=e∫(1x−y−2x)dx[∫0⋅e−∫(1x−y−2x)dx dx+C(y)].f =e^{\int\left(\frac1{x-y}-2x\right)dx} \left[ \int 0\cdot e^{-\int\left(\frac1{x-y}-2x\right)dx}\,dx +C(y) \right].

计算得

f=eln⁡∣x−y∣−x2C(y)=∣x−y∣e−x2C(y).f=e^{\ln|x-y|-x^2}C(y) =|x-y|e^{-x^2}C(y).

把符号并入任意函数，仍可写成

f=(x−y)e−x2C(y),f=(x-y)e^{-x^2}C(y),

与直接偏积分所得结果一致。需要注意：这里加的不是常数 CC，而是 C(y)C(y)；又因为 ∫1x−y dx=ln⁡∣x−y∣\int \frac1{x-y}\,dx=\ln|x-y|，绝对值不宜在中间步骤中随意省略。

五、一阶偏微分方程的公式法

解答题例 5.66（改编自李林 880）

设可微函数 f(x,y)f(x,y) 满足

∂f(x,y)∂x+f(x,y)=0,\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+f(x,y)=0,

且

f(0,y)=1+y2,f(0,y)=1+y^2,

则 f(x,y)=f(x,y)= ______。

解答

官方解答先将等式变形为

fx′(x,y)f(x,y)=−1.\frac{f_x'(x,y)}{f(x,y)}=-1.

两端同时对 xx 积分：

ln⁡∣f(x,y)∣=−x+C1(y).\ln|f(x,y)|=-x+C_1(y).

所以

f(x,y)=±eC1(y)e−x=C(y)e−x.f(x,y)=\pm e^{C_1(y)}e^{-x} =C(y)e^{-x}.

代入 f(0,y)=1+y2f(0,y)=1+y^2，得

C(y)=1+y2.C(y)=1+y^2.

因此

f(x,y)=e−x(1+y2).\boxed{f(x,y)=e^{-x}(1+y^2)}.

资料红色手写解法指出：若掌握偏微分方程方法，可把 yy 看作参数，对

fx′+f=0f_x'+f=0

直接套一阶线性微分方程公式：

f=e∫−1 dx[∫0⋅e−∫−1 dx dx+C(y)]=C(y)e−x,f=e^{\int-1\,dx} \left[ \int0\cdot e^{-\int-1\,dx}\,dx+C(y) \right] =C(y)e^{-x},

后续再按官方答案代入初值条件即可。

六、第一问为第二问铺垫

解答题例 5.67（李播模拟卷，本题满分 12 分）

设函数 f(x,y)f(x,y) 具有连续的偏导数且满足

fx′(x,y)−f(x,y)=3exx2f_x'(x,y)-f(x,y)=3e^xx^2

及

f(x,x)=ex(x3+x2).f(x,x)=e^x(x^3+x^2).

（Ⅰ）令

g(x,y)=e−xf(x,y),g(x,y)=e^{-x}f(x,y),

求 ∂g∂x\dfrac{\partial g}{\partial x}；

（Ⅱ）求 f(x,y)f(x,y) 并求 f(x,y)f(x,y) 的极值。

解答

（Ⅰ）求 ∂g∂x\dfrac{\partial g}{\partial x}

由题意：

∂g∂x=e−xfx′(x,y)−e−xf(x,y)=e−x[fx′(x,y)−f(x,y)]=3x2.\frac{\partial g}{\partial x} =e^{-x}f_x'(x,y)-e^{-x}f(x,y) =e^{-x}\left[f_x'(x,y)-f(x,y)\right] =3x^2.

（Ⅱ）求 f(x,y)f(x,y) 并求极值

由（Ⅰ）得

g(x,y)=∫3x2 dx=x3+C(y),g(x,y)=\int3x^2\,dx=x^3+C(y),

其中 C(y)C(y) 为任意可微函数。于是

f(x,y)=exg(x,y)=ex[x3+C(y)].f(x,y)=e^xg(x,y) =e^x[x^3+C(y)].

代入

f(x,x)=ex(x3+x2),f(x,x)=e^x(x^3+x^2),

得

ex[x3+C(x)]=ex(x3+x2),e^x[x^3+C(x)]=e^x(x^3+x^2),

所以

C(x)=x2.C(x)=x^2.

从而

f(x,y)=ex(x3+y2).\boxed{f(x,y)=e^x(x^3+y^2)}.

驻点满足

fx′(x,y)=ex(x3+3x2+y2)=0,f_x'(x,y)=e^x(x^3+3x^2+y^2)=0, fy′(x,y)=2yex=0.f_y'(x,y)=2ye^x=0.

解得

(0,0),(−3,0).(0,0),\qquad(-3,0).

二阶偏导为

fxx′′=ex(x3+6x2+6x+y2),f_{xx}'' =e^x(x^3+6x^2+6x+y^2), fxy′′=2yex,fyy′′=2ex.f_{xy}''=2ye^x, \qquad f_{yy}''=2e^x.

对驻点 (−3,0)(-3,0)：

A=9e−3,B=0,C=2e−3.A=9e^{-3},\qquad B=0,\qquad C=2e^{-3}.

于是

AC−B2>0,A>0,AC-B^2>0,\qquad A>0,

故

f(−3,0)=−27e−3\boxed{f(-3,0)=-27e^{-3}}

为极小值。

在驻点 (0,0)(0,0) 处，AC−B2=0AC-B^2=0，二阶判别法失效。令 y=0y=0，则

f(x,0)=exx3.f(x,0)=e^xx^3.

当 x>0x>0 时 f(x,0)>0f(x,0)>0；当 x<0x<0 时 f(x,0)<0f(x,0)<0。因此在 (0,0)(0,0) 的任一去心邻域内，既有函数值大于 f(0,0)f(0,0) 的点，也有函数值小于 f(0,0)f(0,0) 的点，故 (0,0)(0,0) 不是极值点。

综上，

f(−3,0)=−27e−3 为极小值.\boxed{f(-3,0)=-27e^{-3}\text{ 为极小值}}.

资料红色手写批注补充：偏微分方程方法也可作为验算。由

fx′−f=3exx2f_x'-f=3e^xx^2

套一阶线性微分方程公式：

f=ex[∫3x2ex⋅e−x dx+C(y)]=ex[x3+C(y)],f=e^x\left[\int3x^2e^x\cdot e^{-x}\,dx+C(y)\right] =e^x[x^3+C(y)],

与第二问答案解析的第一行完全相同。若第一问先按公式法完整求出 f(x,y)f(x,y)，再回头求 gx′g_x'，反而属于走弯路；第一问的结论本来就是为第二问求 f(x,y)f(x,y) 铺垫。

七、本节结论

普通微分方程与偏微分方程在本节题型中的区别是：

  • 普通不定积分产生常数 CC；
  • 偏积分产生关于另一个变量的任意函数 C(x)C(x) 或 C(y)C(y)；
  • f(u,0)f(u,0)、f(0,v)f(0,v)、z(x,0)z(x,0)、z(0,y)z(0,y) 等条件用来确定这个任意函数；
  • 得到原函数后，再按常规方法求偏导、驻点和极值。

无论是先看见偏导数才想到偏积分，还是先把题目识别为偏微分方程，最后的处理手法是一致的。把函数与偏导数联系起来的最直接桥梁，就是偏积分。

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