5.1 重极限：极坐标、二级结论与取路径

重极限要求邻域内沿任意路径趋近时极限都存在且相等；见到 $x^2+y^2$ 时，优先考虑极坐标。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第五章“多元微分”，资料页 339—342。本文保留资料中的定理、例题、原解与手写批注。

一、重极限的定义

重极限的定义：邻域内沿任意路径趋近，极限都存在且相等。

关于二元函数的极限，有两种定义。下面第一种定义是大部分数学分析教材从点集角度出发的，第二种定义是大部分高等数学教材从邻域角度出发的。

第一种定义

定义 1　设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当点

$$P(x,y)\in D\cap\mathring{U}(P_0,\delta)$$

时，都有

$$|f(x,y)-A|<\varepsilon$$

成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的极限，记作

$$\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=A$$

或

$$f(x,y)\to A\quad((x,y)\to(x_0,y_0)).$$

以上是按集合论知识（以点集趋向方式）定义多元函数的极限，通俗说来，只要 $f(x,y)$ 是“有定义的”，且满足 $|f(x,y)-A|<\varepsilon$，则

$$\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=A.$$

这里自然“排除”了 $(x_0,y_0)$ 邻域内的无定义点，所以

$$\begin{aligned} \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} &=\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{xy+1-1}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}\\ &=\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1} =\frac12. \end{aligned}$$

第二种定义

定义 $1'$　若二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的去心邻域内有定义，且 $(x,y)$ 以任意方式趋向于 $(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 均趋向于 $A$，则

$$\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=A.$$

根据定义 $1'$，由于函数

$$f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$$

在原点邻域内的坐标轴上处处无定义，所以

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$$

不存在。

按照两种定义，会得到

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x+y} = \begin{cases} 0,&\text{第一种定义},\\ \text{不存在},&\text{第二种定义}. \end{cases}$$

所以，为避免这种教材定义不同导致的“矛盾”，命题人目前处理得比较恰当，只考那些无论在哪种定义下极限都存在或都不存在的函数，比如

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0.$$

在研究原点处的重极限时，可以令某一个变量严格等于 $0$，此时为“沿坐标轴趋近于原点”，只要不让两个变量同时为 $0$ 即可。

若已知

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,$$

则沿任意路径趋近时极限都为 $0$。特别地：

$$\lim_{\substack{x\to0\\y=0}} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{|x|}=0, \qquad \lim_{\substack{x=0\\y\to0}} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{|y|}=0.$$

二、重极限中的极坐标换元

重极限中，见到 $x^2+y^2$，可以无脑使用极坐标。令

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,$$

则 $r\to0^+$，$\theta\in[0,2\pi]$，$\theta$ 为任意取值的变量。若无论 $\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 上如何取值，极限都存在且相等，则重极限存在。（考研考过的涉及判断重极限的几乎所有题目，都会出现 $x^2+y^2$。）

1. 如果最终结果可以化简成“无穷小乘以有界量”的形式，则无论 $\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 上如何取值，最终极限一定存在且为 $0$。如 $r\sin^2\theta$、$r^2\sin\theta\cos^3\theta$ 等。
2. 如果最终结果仅是 $\theta$ 的函数，由于 $\theta$ 是 $0$ 到 $2\pi$ 上任意取值的变量，故最终结果会随着 $\theta$ 的变化而变化，此时极限不存在。如 $\sin^2\theta$、$\sin\theta\cos^2\theta$ 等。
3. 如果最终结果是 $\dfrac{\cos\theta}{r}$ 这类“有界量比无穷小”的形式，最终结果显然可能趋于无穷，极限显然不存在。
4. 如果最终结果无法写成“无穷小乘以有界量”的形式，如 $\dfrac{r}{\sin\theta}$，此时由于 $\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 上任意取值，所以 $\sin\theta$ 可能趋于 $0$，极限形式为“无穷小比无穷小”，这是一个未定式，故此时无法通过极坐标判断结果是否存在。（无论是真题还是练习题，这种情况都极少见。）

在考研数学当中，判断重极限是否存在，只会出现在小题当中，所以见到 $x^2+y^2$，无脑使用极坐标，又快又准。

三、重极限中的二级结论

小题可以直接使用：

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{x^py^q}{x^m+y^n}.$$

1. 若 $m,n$ 至少有一个为奇数，只讨论极限不存在（有歧义，考研不会考）。
2. 当 $m,n$ 均为偶数时：

$$\frac{p}{m}+\frac{q}{n}>1 \quad\Longrightarrow\quad \text{收敛，极限为 }0;$$ $$\frac{p}{m}+\frac{q}{n}\le1 \quad\Longrightarrow\quad \text{发散，极限不存在}.$$

例如：

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{xy^3}{x^2+y^4}=0, \qquad \frac12+\frac34>1.$$

而

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{x^2}{x^4+y^4}$$

不存在，因为

$$\frac24+\frac04\le1.$$

当分母的幂为奇数时可能存在无定义路径。例如

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{x^4y^6}{x^7+y^3}$$

的分母存在无定义路径 $y^3=-x^7$，有歧义，考研不会考。

四、典型例题

解答题例 5.1（武忠祥高数讲义）

求下列极限：

$$(1)\ \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{x^2y}{x^2+y^2}; \qquad (2)\ \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{x^2+y^2}{|x|+|y|};$$ $$(3)\ \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{xy^2\sin xy}{x^2+y^4}.$$

解答

这种题答案给的都是“放缩 + 夹逼”，但小题中，见到 $x^2+y^2$，可以无脑极坐标；同时若符合二级结论的形式，也可以直接用结论去秒杀。

在重极限中，若“狗”趋于 $0$，则 $\sin\text{狗}\sim\text{狗}$，只要是整体的因式，就可以等价。但实际上这个方法严格来说并不严谨，因为思维课讲过，整体等价的本质是恒等变形，故此题的第 (3) 问在等价时，本质是构造了恒等变形，但恒等变形的分母出现了无定义路径，所以此题这个方法严格来说不严谨；但很多讲义和练习题的答案都是这么做的，所以考生无需纠结，直接用就行。

(1) 方法一：二级结论

$$\frac22+\frac12>1,$$

所以极限为 $0$。

(1) 方法二：极坐标

令 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，则

$$\frac{x^2y}{x^2+y^2} =\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} =r\cos^2\theta\sin\theta\to0.$$

(1) 原资料夹逼解法

由于

$$0\le\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|,$$

而 $\lim|y|=0$，由夹逼原理知

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.$$

(2) 极坐标

$$\frac{x^2+y^2}{|x|+|y|} =\frac{r^2}{r|\cos\theta|+r|\sin\theta|} =r\frac{1}{|\cos\theta|+|\sin\theta|}\to0,$$

其中 $\dfrac{1}{|\cos\theta|+|\sin\theta|}$ 为有界量。

(2) 原资料夹逼解法

$$0\le\frac{x^2+y^2}{|x|+|y|} =\frac{x^2}{|x|+|y|}+\frac{y^2}{|x|+|y|} \le\frac{x^2}{|x|}+\frac{y^2}{|y|} =|x|+|y|.$$

而 $\lim(|x|+|y|)=0$，由夹逼原理知极限为 $0$。

(3) 二级结论与等价无穷小

由于 $\sin xy\sim xy$，

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{xy^2\sin xy}{x^2+y^4} = \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{x^2y^3}{x^2+y^4}=0,$$

因为

$$\frac22+\frac34>1.$$

(3) 原资料方法一

由于

$$0\le\left|\frac{xy^2}{x^2+y^4}\right|\le\frac12,$$

即为有界量，而 $\lim\sin xy=0$，即为无穷小量，则原式为 $0$。

(3) 原资料方法二

$$0\le \left| \frac{xy^2\sin xy}{x^2+y^4} \right| \le\frac12|\sin xy|.$$

而 $\lim\dfrac12|\sin xy|=0$，由夹逼原理知极限为 $0$。

(3) 原资料方法三

由 $\sin xy\sim xy$，

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{xy^2\sin xy}{x^2+y^4} = \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{x^2y^3}{x^2+y^4}.$$

又

$$0\le \left| \frac{x^2y^3}{x^2+y^4} \right| \le|y^3|,$$

由夹逼原理知极限为 $0$。

解答题例 5.2（武忠祥高数讲义）

判断重极限

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{(x^2+y^2)^2}{xy}$$

是否存在。

解答

极坐标换元后，

$$\frac{(x^2+y^2)^2}{xy} =\frac{r^4}{r^2\cos\theta\sin\theta} =r^2\frac{1}{\frac12\sin2\theta},$$

不是无穷小乘以有界量的形式，故无法通过极坐标判断极限是否存在。

实际上此重极限不存在。例如沿 $y=x^8$ 趋近：

$$\lim_{x\to0}\frac{(x^2+x^{16})^2}{x\cdot x^8} =\lim_{x\to0}\frac{x^4+2x^{18}+x^{32}}{x^9} =\infty.$$

此题原点邻域内还存在无定义路径 $x=0$ 和 $y=0$，属于有歧义的题目（详见本小节第一页手稿），考研不会考这种题。

解答题例 5.3（武忠祥高数讲义）

判断函数

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0),\\ a,&(x,y)=(0,0) \end{cases}$$

的连续性。

解答

因为

$$0\le \left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le|y|,$$

则

$$\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.$$

若 $a=0$，则 $f(x,y)$ 处处连续；若 $a\ne0$，则 $f(x,y)$ 除点 $(0,0)$ 外处处连续。

手写极坐标核对：

$$\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r} =r\cos\theta\sin\theta\to0.$$

解答题例 5.4（判断可微当中的某一步）

判断极限

$$\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}} \frac{ [f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)] -[f_x'(0,0)\Delta x+f_y'(0,0)\Delta y] }{\rho}$$

在化为

$$\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}} \frac{\Delta y(\Delta x)^2} {\left[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\right]^{3/2}}$$

之后是否存在。

解答

不存在。令 $\Delta y=k\Delta x$，则

$$\begin{aligned} \lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y=k\Delta x}} \frac{\Delta y(\Delta x)^2} {\left[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\right]^{3/2}} &= \lim_{\Delta x\to0} \frac{k(\Delta x)^3} {\left[(\Delta x)^2+k^2(\Delta x)^2\right]^{3/2}}\\ &=\frac{k}{(1+k^2)^{3/2}}. \end{aligned}$$

结果与 $k$ 有关，故极限不存在。

极坐标下，该式为

$$\frac{r\sin\theta\cdot r^2\cos^2\theta}{r^3} =\sin\theta\cos^2\theta,$$

也可一眼看出极限不存在。

解答题例 5.5

证明下列重极限不存在：

$$(1)\ \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{xy}{x^2+y^2}; \qquad (2)\ \lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{xy^2}{x^2+y^4}.$$

解答

用二级结论可以一眼看出重极限不存在。但若要严格证明重极限不存在，则处理手法叫做：取路径。取路径的核心在于让分母的 $x$ 和 $y$“同阶”。

(1) 因为分母为 $x^2+y^2$，令

$$y^2=k^2x^2,$$

即取路径 $y=kx$，其中 $k$ 为任意常数。则

$$\lim_{x\to0}\frac{x\cdot kx}{x^2+k^2x^2} =\frac{k}{1+k^2}.$$

结果随 $k$ 的变化而变化，故极限不存在。

(2) 因为分母为 $x^2+y^4$，令

$$y^4=k^2x^2,$$

即取路径 $y^2=kx$。则

$$\lim_{x\to0}\frac{x\cdot kx}{x^2+k^2x^2} =\frac{k}{1+k^2}.$$

结果随 $k$ 的变化而变化，故极限不存在。