抽象矩阵的行列式：从列运算、矩阵乘法到特征值的系统方法

来源：邂逅遗憾 26考研数学思维课

在线性代数中，有一类题目并不给出矩阵的全部元素，而是给出矩阵的列向量关系、伴随矩阵关系，或特征值与特征向量关系，要求计算某个行列式。这类题通常称为“抽象矩阵行列式”问题。

这类题目的核心不是直接展开行列式，而是把已知条件转化为可以使用的矩阵结构，例如列向量矩阵、矩阵乘法、相似关系或特征值关系。本文按照三类典型方法展开：利用行列式基本性质、构建矩阵乘法、利用相似与特征值。

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一、预备知识

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$A^*$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 表示单位矩阵。常用结论如下。

第一，行列式对每一列分别具有线性性。若矩阵的某一列可以写成两个列向量之和，则行列式可以按该列拆开；若某一列含有数量因子，则该因子可以从行列式中提出。

例如：

$$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+2\gamma| = |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta| + 2|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\gamma|.$$

第二，矩阵乘法与行列式满足：

$$|AB|=|A||B|.$$

第三，对 $n$ 阶矩阵，有：

$$|kA|=k^n|A|.$$

第四，若 $A$ 可逆，则：

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}.$$

第五，伴随矩阵满足：

$$AA^*=A^*A=|A|E.$$

若 $A$ 可逆，则：

$$A^*=|A|A^{-1}.$$

因此，对于 $n$ 阶矩阵，

$$|A^*|=|A|^{n-1}.$$

另外，若 $k\neq 0$，则：

$$(kA)^*=k^{n-1}A^*.$$

第六，相似矩阵具有相同的行列式和相同的特征值。若存在可逆矩阵 $P$，使得

$$A=PBP^{-1},$$

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$，并有

$$|A|=|B|.$$

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二、题型一：利用行列式和矩阵的基本运算法则

这一类题通常给出若干列向量构成的矩阵，并要求计算由矩阵加法、数乘、逆矩阵或伴随矩阵构成的新行列式。

关键思想是：矩阵按列相加时，行列式要按列向量处理，而不能把矩阵行列式当成普通数值直接相加。

解答题例 1：列向量形式下的矩阵加法

设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta,\gamma$ 均为 4 维列向量，且

$$A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta],\qquad B=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\gamma].$$

已知

$$|A|=3,\qquad |B|=2.$$

求

$$|A+2B|.$$

解答

由矩阵加法和数乘的定义，

$$2B=[2\alpha_1,2\alpha_2,2\alpha_3,2\gamma].$$

所以

$$A+2B = [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta] + [2\alpha_1,2\alpha_2,2\alpha_3,2\gamma].$$

逐列相加得

$$A+2B=[3\alpha_1,3\alpha_2,3\alpha_3,\beta+2\gamma].$$

因此

$$|A+2B|=|3\alpha_1,3\alpha_2,3\alpha_3,\beta+2\gamma|.$$

前三列都含有因子 3，于是

$$|A+2B|=3^3|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+2\gamma|.$$

即

$$|A+2B|=27|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+2\gamma|.$$

由行列式对第四列的线性性，

$$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+2\gamma| = |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta| +2|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\gamma|.$$

即

$$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+2\gamma| =|A|+2|B|.$$

代入已知条件：

$$|A|+2|B|=3+2\cdot 2=7.$$

所以

$$|A+2B|=27\cdot 7=189.$$

因此，

$$\boxed{|A+2B|=189}.$$

解答题例 2：逆矩阵与伴随矩阵的混合计算

设 $A$ 是 3 阶矩阵，且

$$|A|=\frac13.$$

求

$$\left| \left(\frac32 A\right)^{-1}-(2A)^* \right|.$$

解答

因为

$$|A|=\frac13\neq 0,$$

所以 $A$ 可逆。

先处理第一项。由

$$(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1},$$

可得

$$\left(\frac32 A\right)^{-1}=\frac23 A^{-1}.$$

再处理第二项。因为 $A$ 是 3 阶矩阵，所以

$$(2A)^*=2^{3-1}A^*=4A^*.$$

又由伴随矩阵公式

$$A^*=|A|A^{-1},$$

得

$$A^*=\frac13 A^{-1}.$$

因此

$$(2A)^*=4A^*=\frac43 A^{-1}.$$

于是原式中的矩阵为

$$\left(\frac32 A\right)^{-1}-(2A)^* = \frac23A^{-1}-\frac43A^{-1} = -\frac23A^{-1}.$$

所以

$$\left| \left(\frac32 A\right)^{-1}-(2A)^* \right| =\left|-\frac23A^{-1}\right|.$$

由于这是 3 阶矩阵，故

$$\left|-\frac23A^{-1}\right| =\left(-\frac23\right)^3|A^{-1}|.$$

而

$$|A^{-1}|=\frac1{|A|}=3.$$

因此

$$\left(-\frac23\right)^3|A^{-1}| =-\frac8{27}\cdot 3 =-\frac89.$$

故

$$\boxed{ \left| \left(\frac32 A\right)^{-1}-(2A)^* \right| =-\frac89 }.$$

解答题例 3：利用伴随矩阵方程求行列式

设

$$A= \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},$$

矩阵 $B$ 满足

$$ABA^*=2BA^*+E,$$

其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。求

$$|2B^T|.$$

解答

先计算 $|A|$。由于 $A$ 是分块形式，

$$|A| = \begin{vmatrix} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{vmatrix}\cdot 1 =3.$$

由伴随矩阵基本公式

$$A^*A=|A|E=3E.$$

对已知方程

$$ABA^*=2BA^*+E$$

右乘 $A$，得

$$ABA^*A=(2BA^*+E)A.$$

展开右侧：

$$ABA^*A=2BA^*A+A.$$

利用

$$A^*A=3E,$$

可得

$$AB(3E)=2B(3E)+A,$$

即

$$3AB=6B+A.$$

整理得

$$3(A-2E)B=A.$$

两边取行列式：

$$|3(A-2E)B|=|A|.$$

因为矩阵阶数为 3，所以

$$|3(A-2E)B|=3^3|A-2E||B|.$$

于是

$$27|A-2E||B|=|A|.$$

下面计算 $|A-2E|$：

$$A-2E= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$|A-2E| = \begin{vmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&-1 \end{vmatrix} =1.$$

代入

$$27\cdot 1\cdot |B|=3$$

得

$$|B|=\frac19.$$

最后，由

$$|B^T|=|B|$$

以及 $B$ 为 3 阶矩阵，有

$$|2B^T|=2^3|B^T|=8|B|.$$

因此

$$|2B^T|=8\cdot \frac19=\frac89.$$

故

$$\boxed{|2B^T|=\frac89}.$$

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三、题型二：构建矩阵乘法

当题目给出一个矩阵的列向量由另一个矩阵的列向量线性组合得到时，应优先把这种关系写成矩阵乘法。

设

$$A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3].$$

若矩阵 $B$ 的每一列都是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的线性组合，则通常可以写成

$$B=AC,$$

其中 $C$ 的每一列就是对应线性组合的系数列。

解答题例 4：由列向量线性组合构造乘法

设

$$A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]$$

是 3 阶矩阵，且

$$|A|=5.$$

若

$$B=[\alpha_1-3\alpha_2+2\alpha_3,\ \alpha_2-2\alpha_3,\ 2\alpha_2+\alpha_3],$$

求 $|B|$。

解答

矩阵 $B$ 的三列均由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性组合而成。因此可写成

$$B=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]C=AC.$$

下面确定系数矩阵 $C$。

第一列为

$$\alpha_1-3\alpha_2+2\alpha_3,$$

对应的系数列为

$$\begin{pmatrix} 1\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}.$$

第二列为

$$\alpha_2-2\alpha_3,$$

对应的系数列为

$$\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}.$$

第三列为

$$2\alpha_2+\alpha_3,$$

对应的系数列为

$$\begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$C= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -3&1&2\\ 2&-2&1 \end{pmatrix}.$$

于是

$$B=A \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -3&1&2\\ 2&-2&1 \end{pmatrix}.$$

两边取行列式：

$$|B|=|A| \begin{vmatrix} 1&0&0\\ -3&1&2\\ 2&-2&1 \end{vmatrix}.$$

计算系数矩阵的行列式：

$$\begin{vmatrix} 1&0&0\\ -3&1&2\\ 2&-2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot \begin{vmatrix} 1&2\\ -2&1 \end{vmatrix} =1\cdot(1\cdot 1-2\cdot(-2))=5.$$

所以

$$|B|=|A|\cdot 5=5\cdot 5=25.$$

故

$$\boxed{|B|=25}.$$

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四、题型三：利用相似和特征值

当题目给出 $A\alpha_i$ 与若干列向量 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 的线性组合关系时，可以考虑构造

$$P=[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n].$$

如果 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 线性无关，则 $P$ 可逆。此时若能得到

$$AP=PB,$$

则

$$A=PBP^{-1},$$

从而 $A\sim B$。于是 $A$ 与 $B$ 有相同的行列式和特征值。

解答题例 5：由向量关系构造相似矩阵

设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是 3 维线性无关列向量，且

$$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3,$$ $$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3,$$ $$A\alpha_3=\alpha_1+3\alpha_2+2\alpha_3.$$

求 $|A^*|$。

解答

令

$$P=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3].$$

由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以 $P$ 可逆。

根据已知条件，

$$AP=[A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3].$$

代入三组关系：

$$AP=[\alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_1+\alpha_3,\ \alpha_1+3\alpha_2+2\alpha_3].$$

把右侧写成 $P$ 乘一个系数矩阵。第一列

$$\alpha_2+\alpha_3$$

对应系数列

$$\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

第二列

$$\alpha_1+\alpha_3$$

对应系数列

$$\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.$$

第三列

$$\alpha_1+3\alpha_2+2\alpha_3$$

对应系数列

$$\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}.$$

因此

$$AP= P \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&3\\ 1&1&2 \end{pmatrix}.$$

记

$$B= \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&3\\ 1&1&2 \end{pmatrix}.$$

则

$$AP=PB.$$

由于 $P$ 可逆，

$$A=PBP^{-1}.$$

所以

$$A\sim B.$$

于是

$$|A|=|B|.$$

计算 $|B|$：

$$|B|= \begin{vmatrix} 0&1&1\\ 1&0&3\\ 1&1&2 \end{vmatrix}.$$

按第一行展开：

$$|B| = -1\begin{vmatrix} 1&3\\ 1&2 \end{vmatrix} +1\begin{vmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{vmatrix}.$$

其中

$$\begin{vmatrix} 1&3\\ 1&2 \end{vmatrix}=2-3=-1,$$ $$\begin{vmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{vmatrix}=1.$$

因此

$$|B|=-(-1)+1=2.$$

所以

$$|A|=2.$$

因为 $A$ 是 3 阶矩阵，伴随矩阵满足

$$|A^*|=|A|^{3-1}=|A|^2.$$

故

$$|A^*|=2^2=4.$$

因此

$$\boxed{|A^*|=4}.$$

::: written 例 6：由 $A$ 的特征值求 $|A+2A^*|$

设 $A$ 是 3 阶矩阵，特征值为

$$-1,\quad 2,\quad 3.$$

$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。求

$$|A+2A^*|.$$

:::

解答

由特征值与行列式的关系，

$$|A|=(-1)\cdot 2\cdot 3=-6.$$

因为 $|A|\neq 0$，所以 $A$ 可逆。

由伴随矩阵公式

$$A^*=|A|A^{-1}.$$

设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$x\neq 0$ 是对应特征向量，则

$$Ax=\lambda x.$$

由于 $A$ 可逆，

$$A^{-1}x=\frac1\lambda x.$$

于是

$$A^*x=|A|A^{-1}x=\frac{|A|}{\lambda}x.$$

所以，在同一特征向量 $x$ 上，

$$(A+2A^*)x=\left(\lambda+2\frac{|A|}{\lambda}\right)x.$$

即 $A+2A^*$ 的对应特征值为

$$\lambda+2\frac{|A|}{\lambda}.$$

代入 $|A|=-6$。

当 $\lambda=-1$ 时，

$$\lambda+2\frac{|A|}{\lambda} =-1+2\cdot\frac{-6}{-1}=11.$$

当 $\lambda=2$ 时，

$$\lambda+2\frac{|A|}{\lambda} =2+2\cdot\frac{-6}{2}=-4.$$

当 $\lambda=3$ 时，

$$\lambda+2\frac{|A|}{\lambda} =3+2\cdot\frac{-6}{3}=-1.$$

因此 $A+2A^*$ 的三个特征值为

$$11,\quad -4,\quad -1.$$

行列式等于特征值之积，所以

$$|A+2A^*|=11\cdot(-4)\cdot(-1)=44.$$

故

$$\boxed{|A+2A^*|=44}.$$

::: written 例 7：由 $A^*$ 的特征值反求 $A$ 的特征值

设 $A$ 是 4 阶矩阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。已知 $A^*$ 的特征值为

$$1,\quad -1,\quad -2,\quad 4.$$

求

$$|A^3+2A^2-A-3E|.$$

:::

解答

先由 $A^*$ 的特征值求 $|A^*|$：

$$|A^*|=1\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot 4=8.$$

因为

$$|A^*|\neq 0,$$

所以 $A^*$ 可逆，从而 $A$ 也可逆。

对于 4 阶矩阵，有

$$|A^*|=|A|^{4-1}=|A|^3.$$

因此

$$|A|^3=8,$$

所以

$$|A|=2.$$

下面由 $A^*$ 的特征值求 $A$ 的特征值。

由于

$$A^*=|A|A^{-1},$$

若 $\mu$ 是 $A^*$ 的特征值，则相应地 $A$ 的特征值为

$$\lambda=\frac{|A|}{\mu}.$$

代入 $|A|=2$，当

$$\mu=1,-1,-2,4$$

时，对应的 $A$ 的特征值为

$$2,\quad -2,\quad -1,\quad \frac12.$$

令

$$f(x)=x^3+2x^2-x-3.$$

则矩阵

$$A^3+2A^2-A-3E$$

可以写成 $f(A)$。

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的对应特征值。因此

$$|A^3+2A^2-A-3E| =f(2)f(-2)f(-1)f\left(\frac12\right).$$

逐一计算：

$$f(2)=2^3+2\cdot 2^2-2-3=11.$$ $$f(-2)=(-2)^3+2(-2)^2-(-2)-3=-1.$$ $$f(-1)=(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-3=-1.$$ $$f\left(\frac12\right) =\left(\frac12\right)^3+2\left(\frac12\right)^2-\frac12-3 =\frac18-3 =-\frac{23}{8}.$$

因此

$$|A^3+2A^2-A-3E| =11\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot\left(-\frac{23}{8}\right) =-\frac{253}{8}.$$

故

$$\boxed{ |A^3+2A^2-A-3E| =-\frac{253}{8} }.$$

解答题例 8：特征值、特征向量与线性无关

设 $A$ 是 2 阶矩阵，且有两个不同的特征值。设 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关特征向量，并且满足

$$A^2(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2.$$

求

$$|A|.$$

解答

由于 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关特征向量，可设

$$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,\qquad A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2.$$

又因为 $A$ 有两个不同的特征值，而 $A$ 是 2 阶矩阵，所以

$$\lambda_1\neq \lambda_2.$$

对特征向量继续作用一次 $A$，有

$$A^2\alpha_1=\lambda_1^2\alpha_1,\qquad A^2\alpha_2=\lambda_2^2\alpha_2.$$

因此

$$A^2(\alpha_1+\alpha_2) =\lambda_1^2\alpha_1+\lambda_2^2\alpha_2.$$

由题设

$$A^2(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2,$$

可得

$$(\lambda_1^2-1)\alpha_1+(\lambda_2^2-1)\alpha_2=0.$$

由于 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，根据线性无关向量组的定义，只有所有系数同时为零，才能使线性组合为零。因此

$$\lambda_1^2-1=0,\qquad \lambda_2^2-1=0.$$

于是

$$\lambda_1^2=1,\qquad \lambda_2^2=1.$$

所以

$$\lambda_1,\lambda_2\in\{1,-1\}.$$

又因为

$$\lambda_1\neq\lambda_2,$$

故两个特征值只能分别为

$$1,\quad -1.$$

对于 2 阶矩阵，行列式等于两个特征值之积，因此

$$|A|=\lambda_1\lambda_2=1\cdot(-1)=-1.$$

故

$$\boxed{|A|=-1}.$$

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五、方法总结

抽象矩阵行列式问题的关键在于识别题目中隐藏的结构。

当矩阵由列向量组成，且出现矩阵加法或列向量线性组合时，应优先使用行列式的列线性性。例如：

$$|\alpha_1,\alpha_2,\beta+\gamma| = |\alpha_1,\alpha_2,\beta| +|\alpha_1,\alpha_2,\gamma|.$$

当一个矩阵的列向量全部由另一个矩阵的列向量线性组合得到时，应构造矩阵乘法：

$$B=AC.$$

此时

$$|B|=|A||C|.$$

当题目给出

$$A\alpha_i$$

与 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 的关系时，应构造

$$P=[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n],$$

并尝试写成

$$AP=PB.$$

若 $P$ 可逆，则

$$A=PBP^{-1},$$

从而 $A$ 与 $B$ 相似。

当题目涉及伴随矩阵时，应牢牢记住：

$$AA^*=A^*A=|A|E,$$ $$A^*=|A|A^{-1},$$ $$|A^*|=|A|^{n-1}.$$

当题目涉及特征值时，应利用以下事实：

$$|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$$

若 $f(x)$ 是多项式，则 $f(A)$ 的特征值为

$$f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots,f(\lambda_n).$$

因此

$$|f(A)|=f(\lambda_1)f(\lambda_2)\cdots f(\lambda_n).$$

对于伴随矩阵与特征值的关系，若 $A$ 可逆，且 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则 $A^*$ 的对应特征值为

$$\frac{|A|}{\lambda}.$$

反过来，若 $A^*$ 的特征值为 $\mu$，则 $A$ 的对应特征值为

$$\frac{|A|}{\mu}.$$

总之，抽象矩阵行列式的计算并不依赖复杂展开，而是依赖结构转化。只要能把题目中的列向量关系、伴随矩阵关系、特征值关系转化为标准矩阵语言，行列式的计算通常会大幅简化。