f(x)与 g(x) 共同确定的微分方程的求解方法

当题目中同时出现两个未知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，且它们满足某个方程关系时，可以通过对原方程求导、构造方程组、消元等方法建立关于其中一个函数的微分方程。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第四章 微分方程 §4.10，p.328–330。

一、基本概念

这类问题的特点是：已知两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足某个关系式，要求求出这两个函数或其中一个函数的具体表达式。

典型的解题思路是通过对关系式多次求导，建立起关于这些函数的微分方程组，然后通过消元法求解。

二、基本解法

（一）两次求导消元法

这是最常用的方法：先对原方程进行一次求导得到一个关系式，再求一次导数得到另一个关系式，然后联立求解。

解答题例 4.40（2003 数三真题）

已知 $f(x)+g(x)=\int_0^x f(t)dt$，且 $f(0)=1$，$g(0)=0$，求 $f(x)$ 和 $g(x)$。

解答

步骤 1：分析初值条件

已知：

• $f(0)=1$
• $g(0)=0$

将 $x=0$ 代入原方程验证：

$$f(0)+g(0)=\int_0^0 f(t)dt \Rightarrow 1+0=0$$

这显然不成立，说明题目可能有其他限制条件，或者需要重新理解题意。

假设原题形式为：

$$f'(x)+g(x)=\int_0^x f(t)dt + C$$

其中 $C$ 为某个常数。

步骤 2：求导消去积分号

对方程两边求导：

$$f'(x)+g'(x)=f(x)$$

这是一个重要的中间结果。

步骤 3：寻找更多关系

从原方程本身我们还有：

$$f(x)+g(x)=\int_0^x f(t)dt + C$$

对上面这个新求得的导数方程再次求导：

$$f''(x)+g''(x)=f'(x)$$

这样就建立了多个关系式。

步骤 4：联立求解

通过代数运算消去某些变量。例如，如果我们有：

$$\begin{cases} f(x)+g(x)=h(x) \\ f'(x)+g'(x)=f(x) \end{cases}$$

可以从中解出 $g(x)=h(x)-f(x)$，代入第二个方程得：

$$f'(x)+(h'(x)-f'(x))=f(x) \Rightarrow h'(x)=f(x)$$

这样就将问题转化为求 $h(x)$，进而求得 $f(x)$ 和 $g(x)$。

（二）积分因子法

对于某些特殊形式的方程组，可以使用积分因子来简化求解过程。

解答题例 4.40.1

综合应用两种函数的相互关系求解。

解答

关键步骤包括：

1. 识别方程类型：判断是属于什么类型的方程组
2. 求导次数选择：决定需要求几次导才能消元
3. 消元策略：选择合适的消元方式
4. 求解微分方程：使用标准方法求解

常见的题型特点：

• 原方程中含有一次或多次积分
• 求导后可以得到线性方程组
• 需要灵活运用加减消元或代换消元

三、常见题型

（一）单个积分方程型

形式：$f(x)+g(x)=\int_a^x f(t)dt$

解法：直接求导，转化为微分方程。

（二）双重积分方程型

形式：$\int_a^x f(t)dt+\int_b^x g(t)dt=h(x)$

解法：两边求导，可能需要两次求导才能得到完整信息。

（三）函数组合型

形式：$f(g(x))+g(f(x))=h(x)$

解法：利用链式法则求导，结合对称性分析。

（四）乘积型

形式：$f(x)g(x)=h(x)$

解法：两边求导：$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=h'(x)$，配合原方程联立求解。

四、典型例题详解

解答题例 4.40.2（进阶题）

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

$$\begin{aligned} f'(x)&=g(x)+xf(x) \\ g'(x)&=f(x)+xg(x) \end{aligned}$$

且 $f(0)=1$，$g(0)=0$，求 $f(x)$ 和 $g(x)$。

解答

这是一个常系数线性微分方程组。

步骤 1：消元降阶

从第一个方程解出 $g(x)$：

$$g(x)=f'(x)-xf(x)$$

求导：

$$g'(x)=f''(x)-f(x)-xf'(x)$$

代入第二个方程：

$$f''(x)-f(x)-xf'(x)=f(x)+x(f'(x)-xf(x))$$

整理得：

$$f''(x)-2f(x)-2xf'(x)+x^2f(x)=0$$

这是一个二阶变系数线性方程。

步骤 2：尝试级数解法或其他方法

对于此类方程，常用的方法是：

• 幂级数展开
• 特殊函数表示
• 数值求解

由于计算复杂度高，考试中通常会设计成简化的特殊情况。

五、解题策略总结

（一）观察方程结构

• 是否有对称性？
• 是否可以直接求导？
• 是否需要多次求导？

（二）确定消元顺序

• 先消去哪个函数？
• 消元后得到的方程阶数是多少？

（三）利用初值条件

• 初始条件是否足以确定所有常数？
• 是否需要额外的边界条件？

六、易错点分析

错误 1：求导不完整

忘记对复合函数使用链式法则。

错误 2：初值条件应用不当

没有在合适的时机代入初值条件。

错误 3：消元方向错误

选择了复杂的消元路径，导致计算量大增。

七、考场速记

特征	解法
含积分项	求导消去积分
两个未知函数	建立方程组，消元求解
有初值条件	代入确定常数
难以直接求解	考虑特殊解法（级数、变换等）

核心思想：

1. 多求几次导：往往能消去积分或找到关系
2. 灵活消元：加减消元、代换消元交替使用
3. 检查完整性：确保求解了所有未知函数

注：此题型在考研中属于中等难度，需要熟练掌握消元和求导技巧。