微分方程的求解方法整理

总览

类型	方程形式	解法
变量可分离方程	$y'=f(x)g(y)$	分离变量法
一阶线性方程	$y'+p(x)y=q(x)$	积分因子法 / 公式法
全微分方程	$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$	求原函数法
齐次方程	$y'=f(y/x)$	令 $u=y/x$，化为变量可分离
伯努利方程	$y'+p(x)y=q(x)y^\alpha$	令 $z=y^{1-\alpha}$，化为一阶线性
可降阶高阶方程	$y^{(n)}=f(x)$ / 不显含 $x$ 或 $y$	逐次积分 / 降阶法
常系数齐次线性方程	$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots+p_ny=0$	特征方程法
常系数非齐次线性方程	$y''+py'+qy=f(x)$	齐次通解 + 特解（待定系数法）
欧拉方程	$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=f(x)$	令 $x=e^t$，化为常系数线性方程

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一、一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为 $F(x,y,y')=0$ 或 $y'=f(x,y)$。

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（一）基本类型的解法

1. 变量可分离的方程

方程形式：$y'=f(x)g(y)$

求解方法：分离变量法

两边同除 $g(y)$（其中 $g(y)\neq 0$），把变量分离并求积分：

$$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C$$

2. 一阶线性方程

方程形式：$y'+p(x)y=q(x)$

相应的齐次方程为 $y'+p(x)y=0$。

方法一：积分因子法

方程两边同乘积分因子 $\mu=e^{\int p(x)dx}$，改写成：

$$\left[e^{\int p(x)dx}y\right]'=q(x)e^{\int p(x)dx}$$

积分得：

$$ye^{\int p(x)dx}=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C$$

方法二：公式法

非齐次方程的通解为：

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left[C+\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\right]$$

相应的齐次方程的通解为：$y=Ce^{-\int p(x)dx}$

3. 全微分方程

方程形式：$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

若存在 $u(x,y)$，使得 $du=Pdx+Qdy$，则通解为 $u(x,y)=C$。

判定条件：在单连通区域上满足 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$

求原函数的方法：

1. 特殊路径积分法：$u(x,y)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy$

2. 不定积分法：由 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=P(x,y)$ 对 $x$ 积分得 $u(x,y)=\displaystyle\int P(x,y)dx+C(y)$，再由 $\dfrac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)$ 求出 $C'(y)$，积分求出 $C(y)$

3. 凑微分法：将 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 凑成 $du$

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（二）通过变量代换化为基本类型的方程

1. 齐次方程

方程形式：$y'=f\left(\dfrac{y}{x}\right)$

变量代换：令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y'=u+xu'$

化为：$xu'=f(u)-u$（变量可分离的方程）

通解：

$$\int \frac{du}{f(u)-u}=\int \frac{dx}{x}+C=\ln|x|+C$$

2. 伯努利方程

方程形式：$y'+p(x)y=q(x)y^\alpha$（其中 $\alpha\neq 0,1$）

变量代换：令 $z=y^{1-\alpha}$

化为一阶线性方程：

$$\frac{dz}{dx}+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x)$$

3. 可通过自变量与因变量互换求解的方程

类型一：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{h(y)}{p(y)x+q(y)}$

交换自变量与因变量，以 $y$ 为自变量，$x$ 为因变量：

$$\frac{dx}{dy}=\frac{p(y)}{h(y)}x+\frac{q(y)}{h(y)}$$

化为一阶线性方程。

类型二：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{h(y)}{p(y)x+q(y)x^\alpha}$（$\alpha\neq 0,1$）

交换自变量与因变量：

$$\frac{dx}{dy}=\frac{p(y)}{h(y)}x+\frac{q(y)}{h(y)}x^\alpha$$

化为伯努利方程，再作变量代换化为一阶线性方程。

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注

1. 在微分方程中，不定积分 $\displaystyle\int f(x)dx$、$\displaystyle\int \frac{du}{f(u)-u}$、$\displaystyle\int p(x)dx$ 等表示的只是某一个原函数，积分常数总是另外标出。

2. 在变量可分离的方程与齐次方程中，使 $g(y)=0$ 与 $f(u)-u=0$ 的点为原方程的特解，在求全体解过程中不可丢失。

3. 一阶线性齐次方程 $y'+p(x)y=0$ 的通解可通过分离变量的方法得到，而非齐次方程的通解可通过积分因子法得到。

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二、可降阶的高阶方程

类型	通解的求法
$y^{(n)}=f(x)$	经 $n$ 次积分，得 $y=\displaystyle\int\cdots\int f(x)dx\cdots dx+C_1x^{n-1}+C_2x^{n-2}+\cdots+C_n$
不显含 $y$ 的二阶方程 $y''=f(x,y')$	令 $p=y'$，原方程化为 $p'=f(x,p)$（一阶方程）
不显含 $x$ 的二阶方程 $y''=f(y,y')$	令 $p=y'$，原方程化为 $p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$（一阶方程）

其中 $y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$。

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三、常系数齐次线性微分方程

1. 二阶常系数齐次线性微分方程

方程形式：$y''+py'+qy=0$，其中 $p,q$ 为常数。

特征方程：$\lambda^2+p\lambda+q=0$

依判别式 $\Delta=p^2-4q$ 有三种形式：

情形	特征根	通解
$\Delta>0$	两个不相等实根 $\lambda_1,\lambda_2$	$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$
$\Delta=0$	重根 $\lambda_1=\lambda_2$	$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$
$\Delta<0$	一对共轭复根 $\alpha\pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

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2. $n$ 阶常系数齐次线性微分方程

方程形式：$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_ny=0$，其中 $p_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为常数。

特征方程：$\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}+\cdots+p_n=0$

特征根情况	通解中含有的项
若 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $n$ 个相异实根	$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+\cdots+C_ne^{\lambda_nx}$
若 $\lambda=\lambda_0$ 为 $k(k\leq n)$ 重实根	$(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda_0x}$
若 $\alpha\pm i\beta$ 为 $k(2k\leq n)$ 重共轭复根	$e^{\alpha x}\left[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x\right]$

由于我们不能求出一般的三次以上代数方程的根，因此对于三次以上的特征方程一般不能得到其特征根，也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的只是某些特殊情形。

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四、二阶常系数非齐次线性微分方程

方程形式：$y''+py'+qy=f(x)$，其中 $p,q$ 为常数。

其通解为 $y=y^*+Y$，其中 $y^*$ 为非齐次方程的一个特解，$Y$ 为相应齐次方程的通解。

对于自由项 $f(x)$ 为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积的情形，通常使用待定系数法。

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待定系数法

情形一：$f(x)=P_n(x)$（$n$ 次多项式）

• 若 $0$ 不是特征根：$y^*(x)=H_n(x)$
• 若 $0$ 是特征方程的单根：$y^*(x)=xH_n(x)$
• 若 $0$ 是特征方程的重根：$y^*(x)=x^2H_n(x)$

情形二：$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$

• 若 $\alpha$ 不是特征根：$y^*(x)=H_n(x)e^{\alpha x}$
• 若 $\alpha$ 是特征方程的单根：$y^*(x)=xH_n(x)e^{\alpha x}$
• 若 $\alpha$ 是特征方程的重根：$y^*(x)=x^2H_n(x)e^{\alpha x}$

情形三：$f(x)=e^{\alpha x}\left[P_n(x)\sin\beta x+Q_m(x)\cos\beta x\right]$

• 若 $\alpha\pm i\beta$ 不是特征根：$y^*(x)=e^{\alpha x}\left[R_l(x)\cos\beta x+S_l(x)\sin\beta x\right]$
• 若 $\alpha\pm i\beta$ 是特征根：$y^*(x)=xe^{\alpha x}\left[R_l(x)\cos\beta x+S_l(x)\sin\beta x\right]$

其中 $l=\max\{n,m\}$，$H_n(x),R_l(x),S_l(x)$ 分别为特定的 $n$ 次与 $l$ 次多项式。

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五、欧拉方程

形如 $x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)$ 的方程称为欧拉方程。

一般解法：

当 $x>0$ 时，作变换 $x=e^t$ 或 $t=\ln x$，将自变量 $x$ 换成 $t$，并相应地将 $y$ 关于 $x$ 的各阶导数转化为 $y$ 关于 $t$ 的各阶导数，代入原方程，可得一个以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程。解该方程，并把所得解中的 $t$ 换成 $\ln x$，即可得原方程的解。

当 $x<0$ 时，作变换 $x=-e^t$ 或 $t=\ln(-x)$，其余步骤相同。

导数转换关系：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt},\quad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)$$

二阶欧拉方程的标准结果：

二阶欧拉方程 $x^2y''+pxy'+qy=f(x)$ 化成：

$$\frac{d^2y}{dt^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(\pm e^t)$$

其中 $x>0$ 时取 $f(e^t)$，$x<0$ 时取 $f(-e^t)$。