随堂练习：求解电路的传递函数（1）

• 本节课适用对象 所有学生
• 本节课所授知识点 求解无源网络的微分方程和传递函数的题目讲解
• 重要提示 本节课例题应做尽做 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到
• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 运算电路如下。 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $U_i(s)=R_1I(s)+sLI(s)+U_o(s)$ 其中 $U_o(s)=R_2I(s)$ 联立求得 $U_i(s)=R_1\frac{U_o(s)}{R_2}+sL\frac{U_o(s)}{R_2}+U_o(s)=\left(\frac{L}{R_2}s+\frac{R_1}{R_2}+1\right)U_o(s)$ 整理可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{R_2}{Ls+R_1+R_2}$ $U_i(s)=\frac{R_1}{R_2}U_o(s)+\frac{L}{R_2}sU_o(s)+U_o(s)$ 针对上式进行拉普拉斯反变换，可得 $u_i(t)=\frac{L}{R_2}\frac{du_o(t)}{dt}+\left(\frac{R_1}{R_2}+1\right)u_o(t)$
• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 运算电路如下。 电容 $C$ 和电阻 $R_2$ 并联合并，可得 $Z_1=\frac{R_2\cdot\frac{1}{sC}}{R_2+\frac{1}{sC}}=\frac{R_2}{R_2Cs+1}$ 电阻 $R_1$ 和电感 $L$ 串联合并，可得 $Z_2=R_1+sL$ 根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} = \frac{\frac{R_2}{R_2Cs+1}}{\frac{R_2}{R_2Cs+1}+R_1+sL} = \frac{R_2}{R_2LCs^2+(L+R_1R_2C)s+R_1+R_2}$ $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_2}{R_2LCs^2+(L+R_1R_2C)s+R_1+R_2}$ 整理，可得 $R_2U_i(s) = R_2LCs^2U_o(s)+(L+R_1R_2C)sU_o(s)+(R_1+R_2)U_o(s)$ 针对上式进行拉普拉斯反变换，可得 $R_2u_i(t) = R_2LC\frac{\mathrm{d}^2u_o(t)}{\mathrm{d}t^2}+(L+R_1R_2C)\frac{\mathrm{d}u_o(t)}{\mathrm{d}t}+(R_1+R_2)u_o(t)$
• 例 求该无源网络的传递函数$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解： 电阻 $R_1$ 和电容 $C_1$ 并联合并，可得 $Z_1 = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{sC_1}}{R_1 + \frac{1}{sC_1}} = \frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1}$ 电阻 $R_2$ 和电容 $C_2$ 串联合并，可得 $Z_2 = R_2 + \frac{1}{sC_2} = \frac{R_2 C_2 s + 1}{sC_2}$ 根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = \frac{\frac{R_2 C_2 s + 1}{sC_2}}{\frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1} + \frac{R_2 C_2 s + 1}{sC_2}} = \frac{R_1 C_1 R_2 C_2 s^2 + (R_1 C_1 + R_2 C_2)s + 1}{R_1 C_1 R_2 C_2 s^2 + (R_1 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_2)s + 1}$
• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解： 电阻 $R_1$ 和电容 $C_1$ 并联合并，可得 $Z_1 = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{sC_1}}{R_1 + \frac{1}{sC_1}} = \frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1}$ 电阻 $R_2$ 和电容 $C_2$ 并联合并，可得 $Z_2 = \frac{R_2 \cdot \frac{1}{sC_2}}{R_2 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{R_2}{R_2 C_2 s + 1}$ 根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = \frac{\frac{R_2}{R_2 C_2 s + 1}}{\frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1} + \frac{R_2}{R_2 C_2 s + 1}} = \frac{R_1 R_2 C_1 s + R_2}{(R_1 R_2 C_2 + R_1 R_2 C_1)s + R_1 + R_2}$ ・例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解： 电阻 $R_1$ 和电容 $C_1$ 串联合并，可得 $Z_1 = R_1 + \frac{1}{sC_1} = \frac{R_1 C_1 s + 1}{sC_1}$ 电阻 $R_2$ 和电感 $L$ 串联合并，可得 $Z_2 = R_2 + sL$ 阻抗 $Z_2$ 和电容 $C_2$ 并联合并，可得 $Z_3 = \frac{Z_2 \cdot \frac{1}{sC_2}}{Z_2 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{(R_2 + sL) \cdot \frac{1}{sC_2}}{R_2 + sL + \frac{1}{sC_2}} = \frac{Ls + R_2}{LC_2 s^2 + R_2 C_2 s + 1}$ 根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_3}{Z_1 + Z_3} = \frac{LC_1 s^2 + R_2 C_1 s}{R_1 C_1 C_2 L s^3 + (LC_1 + LC_2 + R_1 R_2 C_1 C_2)s^2 + (R_2 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_1)s + 1}$
• 雷, 雷, 雷 使用分压公式时, 必须保证对应阻抗是串联关系
• 本节课应达成的目标 本节课中的题目能够独立解决
• 重要提示 本节课例题应做尽做 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到