技巧方法：复阻抗法

• 本节课适用对象 所有学生
• 本节课所授知识点 电阻元件、电容元件和电感元件的运算电路 利用复阻抗法求解系统的传递函数和微分方程
• 重要提示 本节课例题应做尽做 后面会有专门的习题课 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到 前情回顾
• 电阻元件 理想电阻的图形符号如下： 公式为（电流和电压取关联参考方向） $R=\frac{u}{i}$ 上式称为欧姆定律，$R$ 的单位为 $\Omega$（欧姆）。
• 电容元件 理想电容的图形符号如下所示。 电容器存储的电荷 $q$ 与两端的电压 $u$ 成正比，比例系数为正实数，符号是 $C$，称为电容，基本单位是 $F$（法拉）。 公式为 $C=\frac{q}{u}$ 根据电流定义，求得（电流电压取关联参考方向） $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du}{dt}$
• 电感元件 理想电感的图形符号如下所示。 理想电感的磁场中，磁链 $\psi$ 与电流 $i$ 成正比，比例系数为正实数，称为电感，符号为 $L$，基本单位是 $H$（亨利）。 公式为 $L=\frac{\psi}{i}$ 根据电磁感应定律，求得（电流电压取关联参考方向） $u=\frac{d\psi}{dt}=L\frac{di}{dt}$ 1、运算电路
• 电阻元件 电阻元件的电压电流关系为 $u(t)=Ri(t)$ 两边取拉普拉斯变换，得 $U(s)=RI(s)$ 下图就是电阻的运算电路。
• 电容元件 电容元件的电压电流关系为 $i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$ 两边取拉普拉斯变换，得 $I(s)=CsU(s)\Rightarrow U(s)=\frac{1}{Cs}I(s)$ 式中 $\frac{1}{sC}$ 为电容的阻抗。 下图就是电容的运算电路。
• 电感元件 电感元件的电压电流关系为 $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$ 两边取拉普拉斯变换，得 $U(s)=sLI(s)$ 式中 $sL$ 为电感的阻抗。 下图就是电感的运算电路。 2、复阻抗法
• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$； 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 运算电路如下。 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $U_i(s)=RI(s)+sLI(s)+U_o(s)$ 其中 $U_o(s)=\frac{1}{sC}I(s)$ 联立可得 $U_i(s) = RsCU_o(s) + sLsCU_o(s) + U_o(s)$ $= (LCs^2 + RCs + 1)U_o(s)$ 整理，得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$ $U_i(s) = LCs^2U_o(s) + RCsU_o(s) + U_o(s)$ 针对上式应用拉普拉斯反变换，求得 $u_i(t) = LC\frac{\text{d}^2u_o(t)}{\text{d}t^2} + RC\frac{\text{d}u_o(t)}{\text{d}t} + u_o(t)$
• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 运算电路如下。 电容$C_1$与电阻$R$并联合并，求得 $Z_1 = \frac{R \cdot \frac{1}{sC_1}}{R + \frac{1}{sC_1}} = \frac{R}{RC_1 s + 1}$ 根据分压公式，求得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC_2}}{Z_1 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{\frac{1}{sC_2}}{\frac{R}{RC_1 s + 1} + \frac{1}{sC_2}} = \frac{RC_1 s + 1}{R(C_1 + C_2)s + 1}$ $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{RC_1 s + 1}{R(C_1 + C_2)s + 1}$ 展开上式 $RC_1 s U_i(s) + U_i(s) = R(C_1 + C_2)s U_o(s) + U_o(s)$ 针对上式应用拉普拉斯反变换，求得 $RC_1 \frac{du_i(t)}{dt} + u_i(t) = R(C_1 + C_2)\frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t)$
• 知识点总结 运算电路中，电阻的阻抗是$R$，电容的阻抗是$\frac{1}{sC}$，电感的阻抗是$sL$ 在运算电路中，电阻、电容和电感的串并联与前面所讲的纯电阻的串并联是一样的 如果题目要求输入与输出的微分方程，可以先求传递函数，然后拉氏反变换求微分方程
• 本节课应达成的目标 会应用运算电路求解系统的传递函数与微分方程 本节课中的题目能够独立解决
• 重要提示 本节课例题应做尽做 后面会有专门的习题课 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到