随堂练习：求解电路的传递函数（2）

• 本节课适用对象 所有学生
• 本节课所授知识点 求解无源网络的微分方程和传递函数的题目讲解
• 重要提示 本节课例题应做尽做 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到
• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解： 列写 KCL 方程 $I = I_1 + I_2$ 列写 KVL 方程

$$\begin{cases} U_i(s) = I_2 \cdot \dfrac{1}{sC_1} + I \cdot R_2 \\ I_2 \cdot \dfrac{1}{sC_1} = I_1 \cdot R_1 + I_1 \cdot \dfrac{1}{sC_2} \\ U_o(s) = I_1 \cdot \dfrac{1}{sC_2} + I \cdot R_2 \end{cases}$$

整理化简可得（化简过程课上讲解） $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2 + (R_2 C_1 + R_2 C_2) s + 1}{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2 + (R_2 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_2) s + 1}$

• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解： 列写 KCL 方程 $I = I_1 + I_2$ 列写 KVL 方程

$$\begin{cases} U_i(s) = I_2 \cdot R_1 + I \cdot \frac{1}{sC_2} \\ I_2 \cdot R_1 = I_1 \cdot \frac{1}{sC_1} + I_1 R_2 \\ U_o(s) = I_1 R_2 + I \cdot \frac{1}{sC_2} \end{cases}$$

整理化简可得（化简过程课上讲解） $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2 + (R_1 C_1 + R_2 C_1)s + 1}{R_1 R_2 C_1 C_2 s^2 + (R_2 C_1 + R_1 C_2 + R_1 C_1)s + 1}$

• 例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解法一： 列写 KCL 方程 $I = I_1 + I_2$ 列写 KVL 方程

$$\begin{cases} U_i(s)=I\cdot R_1+I_2\cdot\frac{1}{sC} \\ I_2\cdot\frac{1}{sC}=I_1\cdot sL+I_1\cdot R_2 \\ U_o(s)=I_1\cdot R_2 \end{cases}$$

整理化简可得（化简过程课上讲解）

$$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{R_2}{R_1CLs^2+(R_1R_2C+L)s+R_1+R_2}$$

解法二（建议观看视频学习）： 设电阻 $R_1$ 右侧的电位为 $u(t)$ 电感 $L$ 与电阻 $R_2$ 串联，然后再与电容 $C$ 并联

$$Z_1=\frac{(R_2+Ls)\cdot\frac{1}{Cs}}{R_2+Ls+\frac{1}{Cs}}=\frac{Ls+R_2}{LCs^2+R_2Cs+1}$$

根据分压公式

$$\frac{U(s)}{U_i(s)}=\frac{Z_1}{Z_1+R_1}=\frac{Ls+R_2}{R_1CLs^2+(R_1R_2C+L)s+R_1+R_2}$$ $$\frac{U_o(s)}{U(s)}=\frac{R_2}{R_2+Ls}$$

整理可得

$$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{U_o(s)}{U(s)}\cdot\frac{U(s)}{U_i(s)}=\frac{R_2}{R_1CLs^2+(R_1R_2C+L)s+R_1+R_2}$$

・例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。 解法一： 列写 KCL 方程 $I = I_1 + I_2$ 列写 KVL 方程

$$\begin{cases} U_i(s) = I \cdot R_1 + I_2 \cdot sL \\ I_2 \cdot sL = I_1 \cdot \frac{1}{sC} + I_1 \cdot R_2 \\ U_o(s) = I_1 \cdot R_2 \end{cases}$$

整理化简可得（化简过程课上讲解） $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_2 CLs^2}{(R_1 + R_2)CLs^2 + (R_1 R_2 C + L)s + R_1}$ 解法二（建议观看视频学习）： 设电阻 $R_1$ 右侧的电位为 $u(t)$ 电容 $C$ 与电阻 $R_2$ 串联，然后再与电感 $L$ 并联 $Z_1 = \frac{\left(R_2 + \frac{1}{Cs}\right) \cdot Ls}{R_2 + \frac{1}{Cs} + Ls} = \frac{R_2 LCs^2 + Ls}{LCs^2 + R_2 Cs + 1}$ 根据分压公式 $\frac{U(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_1}{Z_1 + R_1} = \frac{R_2 LCs^2 + Ls}{(R_1 + R_2)CLs^2 + (R_1 R_2 C + L)s + R_1}$ $\frac{U_o(s)}{U(s)} = \frac{R_2}{R_2 + \frac{1}{Cs}} = \frac{R_2 Cs}{R_2 Cs + 1}$ 整理可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{U_o(s)}{U(s)} \cdot \frac{U(s)}{U_i(s)} = \frac{R_2 CLs^2}{(R_1 + R_2)CLs^2 + (R_1 R_2 C + L)s + R_1}$

• 雷，雷，雷 使用分压公式时，必须保证对应阻抗是串联关系
• 本节课应达成的目标 本节课中的题目能够独立解决
• 重要提示 本节课例题应做尽做 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到