随堂练习：列写电路的微分方程

• 本节课适用对象 所有学生
• 本节课所授知识点 列写电路的微分方程的题目讲解
• 重要提示 对于较复杂的题目一般用复阻抗法，后面会讲到这种方法 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到 本节课例题应做尽做 《电路》中针对同一题目的求解方法是多种多样的，同学们只需掌握课程所授方法即可 如果在其他资料中遇到其他求解方法，不必理会，用课程所授方法求解即可 已经掌握《电路》这门课的同学，可自由发挥
• 例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解: 电阻上的电压 $u_1(t) = Ri(t)$ 电容上的电压与电流 $u_o(t),\ i(t) = C\frac{du_o(t)}{dt}$ 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $u_i(t) = u_1(t) + u_o(t) = Ri(t) + u_o(t) = RC\frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t)$
• 例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 电阻上的电压 $u_1(t) = Ri(t)$ 电容上的电压与电流 $u_o(t),\ i(t) = C\frac{du_o(t)}{dt}$ 电感上的电压与电流 $i(t),\ u_2(t) = L\frac{di(t)}{dt} = LC\frac{d^2u_o(t)}{dt^2}$ 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $u_i(t) = u_1(t) + u_o(t) + u_2(t) = Ri(t) + u_o(t) + L\frac{di(t)}{dt}$ $= LC\frac{d^2u_o(t)}{dt^2} + RC\frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t)$
• 例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 电阻上的电压 $u_1(t) = R_1i(t)$ $u_o(t) = R_2i(t)$ 电感上的电压与电流 $i(t),\ u_2(t) = L\frac{di(t)}{dt} = \frac{L}{R_2}\frac{du_o(t)}{dt}$ 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $u_i(t)=u_1(t)+u_2(t)+u_o(t)=R_1i(t)+L\frac{di(t)}{dt}+u_o(t)=\frac{R_1}{R_2}u_o(t)+\frac{L}{R_2}\frac{du_o(t)}{dt}+u_o(t)$ $=\frac{L}{R_2}\frac{du_o(t)}{dt}+\left(\frac{R_1}{R_2}+1\right)u_o(t)$
• 例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。 解： 电阻上的电压 $u_2(t)=R i_2(t)$ 电容上的电压与电流 $u_1(t),\ i_1(t)=C_1\frac{du_1(t)}{dt} \qquad (1)$ $u_o(t),\ i(t)=C_2\frac{du_o(t)}{dt} \qquad (2)$ 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得