随堂练习：拉氏变换及反变换

・本节课适用对象 所有学生 ・本节课所授知识点 拉氏变换的相关题目 拉氏反变换的相关题目 求解线性常微分方程 ・重要提示 本节课题目应做尽做 常用对照表

原函数 $f(t)$	象函数 $F(s)$	原函数 $f(t)$	象函数 $F(s)$
$\delta(t)$	$1$		$\frac{1}{s+a}$
$1(t)$	$\frac{1}{s}$	$\sin\omega t$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$	$\cos\omega t$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$	$\frac{1}{s^n}$
・微分定理
若 $L[f(t)]=F(s)$，则
$L\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0)$
$L\left[\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right]=s^n F(s)-\left[s^{n-1}f(0)+s^{n-2}f'(0)+\cdots+f^{(n-1)}(0)\right]$
・位移定理
若 $L[f(t)]=F(s)$，则
$L[f(t-\tau_0)\cdot 1(t-\tau_0)]=e^{-\tau_0 s}F(s)\quad L[e^{\alpha t}f(t)]=F(s-\alpha)$
1、拉普拉斯变换

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=e^{-0.5t}\cos 10t$ 解： $L[\cos 10t]=\frac{s}{s^2+100}$ 根据位移定理，则 $F(s)=\frac{s+0.5}{(s+0.5)^2+100}$
• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=1(t)+t^2+e^{-2t}$ 解： $F(s)=L[1(t)+t^2+e^{-2t}]=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^3}+\frac{1}{s+2}$
• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=1(t)+2e^{-t}\sin(2t)$ 解： $L[\sin(2t)]=\frac{2}{s^2+4}$ 根据位移定理，则 $F(s)=\frac{1}{s}+\frac{4}{(s+1)^2+4}$
• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=te^{-2t}$ 解： $L[t]=\frac{1}{s^2}$ 根据位移定理，则 $F(s)=\frac{1}{(s+2)^2}$

2、拉普拉斯反变换

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s+2}{s^2+4s+3}$ 解： $F(s)=\frac{s+2}{s^2+4s+3}=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{a}{s+1}+\frac{b}{s+3}=\frac{as+3a+bs+b}{(s+1)(s+3)}$ 根据 $\left.\begin{aligned} a+b=1 \\ 3a+b=2 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} a=0.5 \\ b=0.5 \end{aligned}\right.$ $F(s)=0.5\left[\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+3}\right]$ $\therefore f(t)=0.5(e^{-t}+e^{-3t})$
• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$ 解： $F(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}=\frac{a}{s+2}+\frac{b}{s+3}=\frac{as+3a+bs+2b}{(s+2)(s+3)}$ 根据

$$$$

$F(s)=\frac{-1}{s+2}+\frac{2}{s+3}$ $f(t)=-e^{-2t}+2e^{-3t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{5s+2}{(s+1)(s+2)}$ 解： $F(s)=\frac{5s+2}{(s+1)(s+2)}=\frac{a}{s+1}+\frac{b}{s+2}=\frac{as+2a+bs+b}{(s+1)(s+2)}$ 根据

$$$$

$F(s)=\frac{-3}{s+1}+\frac{8}{s+2}$ $f(t)=-3e^{-t}+8e^{-2t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{1}{s^2+4}$ 解： $f(t)=\frac{1}{2}\sin 2t$
• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s}{s^2-2s+5}$ 解： $F(s)=\frac{s}{s^2-2s+5}=\frac{s-1+1}{(s-1)^2+2^2}=\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2}+\frac{0.5\times 2}{(s-1)^2+2^2}$ $L[\cos(2t)]=\frac{s}{s^2+2^2}$ $L[\sin(2t)]=\frac{2}{s^2+2^2}$ 根据位移定理 $f(t)=e^t\cos(2t)+0.5e^t\sin(2t)$ ・例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s+1}{s^3+s^2+s}$ 解： $F(s)=\frac{s+1}{s^3+s^2+s}=\frac{s+1}{s(s^2+s+1)}=\frac{a}{s}+\frac{bs+c}{s^2+s+1}=\frac{as^2+as+a+bs^2+cs}{s(s^2+s+1)}$ 根据 $\left\{\begin{aligned} a+b&=0 \\ a+c&=1 \\ a&=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} a&=1 \\ b&=-1 \\ c&=0 \end{aligned}\right.$ $F(s)=\frac{1}{s}+\frac{-s}{s^2+s+1}=\frac{1}{s}-\frac{s+0.5}{(s+0.5)^2+0.75}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s+0.5)^2+0.75}$ $f(t)=1(t)-e^{-0.5t}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}e^{-0.5t}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$ ・例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s}{(s+2)(s+1)^2}$ 解： $F(s)=\frac{s}{(s+2)(s+1)^2}=\frac{a}{s+2}+\frac{b}{(s+1)^2}+\frac{c}{s+1}$ $=\frac{a(s+1)^2+b(s+2)+c(s+2)(s+1)}{(s+2)(s+1)^2}$ $=\frac{(a+c)s^2+(2a+b+3c)s+a+2b+2c}{(s+2)(s+1)^2}$ 根据

$$$$

$F(s) = \frac{-2}{s+2} + \frac{-1}{(s+1)^2} + \frac{2}{s+1}$ $f(t) = -2e^{-2t} - te^{-t} + 2e^{-t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s) = \frac{5s+2}{(s+1)(s+2)^3}$ 解： $F(s) = \frac{5s+2}{(s+1)(s+2)^3} = \frac{a}{s+1} + \frac{b}{(s+2)^3} + \frac{c}{(s+2)^2} + \frac{d}{s+2}$ $= \frac{a(s+2)^3 + b(s+1) + c(s+1)(s+2) + d(s+1)(s+2)^2}{(s+1)(s+2)^3}$ $= \frac{(a+d)s^3 + (6a+c+5d)s^2 + (12a+b+3c+8d)s + 8a+b+2c+4d}{(s+1)(s+2)^3}$ 根据

$$$$

$F(s) = \frac{-3}{s+1} + \frac{8}{(s+2)^3} + \frac{3}{(s+2)^2} + \frac{3}{s+2}$ $f(t) = -3e^{-t} + 4e^{-2t}t^2 + 3e^{-2t}t + 3e^{-2t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s) = \frac{s+2}{s(s+1)^2(s+3)}$ 解： $F(s)=\frac{a}{s}+\frac{b}{{{(s+1)}^{2}}}+\frac{c}{s+1}+\frac{d}{s+3}$ $=\frac{a{{(s+1)}^{2}}(s+3)+bs(s+3)+cs(s+1)(s+3)+ds{{(s+1)}^{2}}}{s{{(s+1)}^{2}}(s+3)}$ $=\frac{(a+c+d){{s}^{3}}+(5a+b+4c+2d){{s}^{2}}+(7a+3b+3c+d)s+3a}{s{{(s+1)}^{2}}(s+3)}$ 根据

& a+c+d=0 \\ & 5a+b+4c+2d=0 \\ & 7a+3b+3c+d=1 \\ & 3a=2 \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=\frac{2}{3},b=-\frac{1}{2} \\ & c=-\frac{3}{4},d=\frac{1}{12} \\ \end{aligned} \right.$$ $$F(s)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{{(s+1)}^{2}}}-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{s+1}+\frac{1}{12}\cdot \frac{1}{s+3}$$ $$f(t)=\frac{2}{3}\cdot 1(t)-\frac{1}{2}{{e}^{-t}}t-\frac{3}{4}{{e}^{-t}}+\frac{1}{12}{{e}^{-3t}}$$ 3、求解线性常微分方程 - 例 已知微分方程 $$\frac{{{\text{d}}^{2}}y(t)}{\text{d}{{t}^{2}}}+3\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+2y(t)=5$$ 利用拉普拉斯变换来求解线性常微分方程。其中，初始条件为 $y(0)=-1$，$\dot{y}(0)=2$。 解：方程两端取拉氏变换，得 $${{s}^{2}}Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s)=\frac{5}{s}$$ 带入初始条件，得 $${{s}^{2}}Y(s)+s-2+3sY(s)+3+2Y(s)=\frac{5}{s}$$ 整理，得 $$({{s}^{2}}+3s+2)Y(s)+s+1=\frac{5}{s}$$ $$Y(s) = \frac{-s^2 - s + 5}{s(s^2 + 3s + 2)} = \frac{-s^2 - s + 5}{s(s + 1)(s + 2)} = \frac{a}{s} + \frac{b}{s + 1} + \frac{c}{s + 2}$$ $$= \frac{a(s + 1)(s + 2) + bs(s + 2) + cs(s + 1)}{s(s + 1)(s + 2)}$$ $$= \frac{(a + b + c)s^2 + (3a + 2b + c)s + 2a}{s(s + 1)(s + 2)}$$ 根据 $$\left. \begin{aligned} a + b + c &= -1 \\ 3a + 2b + c &= -1 \\ 2a &= 5 \end{aligned} \right\} \Rightarrow a = \frac{5}{2}, b = -5, c = \frac{3}{2}$$ $$Y(s) = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{s} - \frac{5}{s + 1} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s + 2}$$ 拉氏反变换后，得 $$y(t) = \frac{5}{2} - 5e^{-t} + \frac{3}{2}e^{-2t}$$ - 例 已知微分方程 $$\ddot{c}(t) + 2\dot{c}(t) + c(t) = r(t)$$ 利用拉普拉斯变换来求解线性常微分方程。其中，$r(t) = 1(t)$，$c(0) = \dot{c}(0) = 0$。 解：方程两端取拉氏变换，得 $$s^2C(s) - sc(0) - \dot{c}(0) + 2[sC(s) - c(0)] + C(s) = \frac{1}{s}$$ 带入初始条件，得 $$s^2C(s) + 2sC(s) + C(s) = \frac{1}{s}$$ 整理，得 $$(s^2 + 2s + 1)C(s) = \frac{1}{s}$$ $$C(s) = \frac{1}{s(s^2 + 2s + 1)} = \frac{a}{s} + \frac{b}{(s + 1)^2} + \frac{c}{s + 1} = \frac{a(s + 1)^2 + bs + cs(s + 1)}{s(s + 1)^2}$$ $$= \frac{(a + c)s^2 + (2a + b + c)s + a}{s(s + 1)^2}$$ 根据

\left.\begin{aligned} a+c=0 \ 2a+b+c=0 \ a=1 \end{aligned}\right} \Rightarrow a=1,\ b=-1,\ c=-1

$$$$

C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{(s+1)^2}-\frac{1}{s+1}

$$拉氏反变换后，得$$

c(t)=1-te^{-t}-e^{-t},\ t>0

$$- 本节课应达成的目标 本节课中的题目能够独立解决 - 重要提示 本节课题目应做尽做$$