考研避坑：拉氏变换及反变换

• 本节课适用对象 所有学生
• 本节课所授知识点 一个函数乘上单位阶跃函数表示什么 位移定理的使用误区
• 位移定理 若 $L[f(t)]=F(s)$，则 $L\left[f(t-\tau_0)\cdot 1(t-\tau_0)\right]=\text{e}^{-\tau_0 s}F(s)$ $L\left[\text{e}^{\alpha t}f(t)\right]=F(s-\alpha)$ 1、一个函数乘上单位阶跃函数表示什么

• 例

$L\left[\text{e}^{-at}\cdot 1(t)\right]=L\left[\text{e}^{-at}\right]=\frac{1}{s+a}$

$L\left[t\cdot 1(t)\right]=L[t]=\frac{1}{s^2}$ 2、位移定理的使用误区 $L\left[f(t-\tau_0)\cdot 1(t-\tau_0)\right]=\text{e}^{-\tau_0 s}F(s)$ $L\left[(t-2)\cdot 1(t-2)\right]\ne L[t-2]$ $L\left[(t-2)\cdot 1(t-2)\right]=\text{e}^{-2s}\frac{1}{s^2}$ $L[t-2]=L[(t-2)\cdot 1(t)]=L[t\cdot 1(t)]-L[2\cdot 1(t)]=\frac{1}{s^2}-\frac{2}{s}$

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=\left[4\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)\right]\cdot 1\left(t-\frac{\pi}{6}\right)$ 解： $L[\cos 2t]=\frac{s}{s^2+4}$ 根据位移定理，则 $F(s)=\frac{4s}{s^2+4}e^{-\frac{\pi}{6}s}$
• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=\sin\left(5t+\frac{\pi}{3}\right)$ 解： $F(s)=L\left[\sin 5t\cos\frac{\pi}{3}+\cos 5t\sin\frac{\pi}{3}\right]=L\left[\frac{1}{2}(\sin 5t)+\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos 5t)\right]$ $=L\left[\frac{1}{2}(\sin 5t)\right]+L\left[\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos 5t)\right]$ $=\frac{1}{2}\frac{5}{s^2+25}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{s}{s^2+25}$ $=\frac{\sqrt{3}s+5}{2(s^2+25)}$