06-7 多输入多输出系统求传递函数

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本节课适用对象

• 所有学生

本节课所授知识点

• 应用梅森增益公式求多输入多输出系统传递函数

重要提示

• 系统结构越复杂，“信号分支法”的优势越大

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专题：多输入多输出系统求传递函数

例 1

系统结构图如下，试绘制其信号流图，并求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$，$\frac{C(s)}{N(s)}$。

解： 绘制信号流图如下：

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

单独回路有三个，即 $L_1 = -G_2(s)H(s), \quad L_2 = -G_1(s)G_3(s), \quad L_3 = -G_1(s)G_2(s)$

两个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_2$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3) + L_1 L_2 \\ &= 1 + G_2(s)H(s) + G_1(s)G_3(s) + G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H(s) \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$，令 $N(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s), & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= G_1(s)G_3(s), & \Delta_2 &= 1 + G_2(s)H(s) \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H(s)}{1 + G_2(s)H(s) + G_1(s)G_3(s) + G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H(s)} \end{aligned}$$

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

求系统传递函数 $\frac{C(s)}{N(s)}$，令 $R(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_3 &= 1, & \Delta_3 &= 1 \\ P_4 &= G_0(s)G_1(s)G_3(s), & \Delta_4 &= 1 + G_2(s)H(s) \\ P_5 &= G_0(s)G_1(s)G_2(s), & \Delta_5 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{N(s)} &= \frac{P_3\Delta_3 + P_4\Delta_4 + P_5\Delta_5}{\Delta} \\ &= \frac{1 + G_0(s)G_1(s)G_2(s) + G_0(s)G_1(s)G_3(s) + G_0(s)G_1(s)G_2(s)G_3(s)H(s)}{1 + G_2(s)H(s) + G_1(s)G_3(s) + G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H(s)} \end{aligned}$$

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例 2

系统结构图如下，试绘制其信号流图，并求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$，$\frac{E(s)}{R(s)}$，$\frac{C(s)}{N(s)}$，$\frac{E(s)}{N(s)}$。

解： 绘制信号流图如下：

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

单独回路有三个，即 $L_1 = G_2(s)H_1(s), \quad L_2 = -G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s), \quad L_3 = -G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s)$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3) \\ &= 1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s) \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$，令 $N(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为 $P_1 = G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s), \quad \Delta_1 = 1$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s)}{1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s)} \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{E(s)}{R(s)}$，令 $N(s) = 0$

前向通路及其余因子式分别为 $P_2 = 1, \quad \Delta_2 = 1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s)$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{E(s)}{R(s)} &= \frac{P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s)}{1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s)} \end{aligned}$$

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

求系统传递函数 $\frac{C(s)}{N(s)}$，令 $R(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_3 &= G_3(s)G_5(s), & \Delta_3 &= 1 - G_2(s)H_1(s) \\ P_4 &= G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s), & \Delta_4 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{N(s)} &= \frac{P_3\Delta_3 + P_4\Delta_4}{\Delta} \\ &= \frac{G_3(s)G_5(s) - G_2(s)G_3(s)G_5(s)H_1(s) + G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)}{1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s)} \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{E(s)}{N(s)}$，令 $R(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_5 &= -G_3(s)G_5(s), & \Delta_5 &= 1 - G_2(s)H_1(s) \\ P_6 &= -G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s), & \Delta_6 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{E(s)}{N(s)} &= \frac{P_5\Delta_5 + P_6\Delta_6}{\Delta} \\ &= \frac{-G_3(s)G_5(s) + G_2(s)G_3(s)G_5(s)H_1(s) - G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)}{1 - G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_5(s)} \end{aligned}$$

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例 3

系统结构图如下，试绘制其信号流图，并求系统传递函数 $\frac{C_1(s)}{R_1(s)}$，$\frac{C_2(s)}{R_1(s)}$，$\frac{C_1(s)}{R_2(s)}$，$\frac{C_2(s)}{R_2(s)}$。

解： 绘制信号流图如下：

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

单独回路有六个，即 $L_1 = -G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s), \quad L_2 = -G_1(s)H_1(s), \quad L_3 = -G_4(s)H_4(s)$ $L_4 = -G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s), \quad L_5 = G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s), \quad L_6 = H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s)$

两个互不接触的回路有两组，即 $L_2 L_3, \quad L_5 L_6$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5 + L_6) + (L_2 L_3 + L_5 L_6) \\ &= 1 + G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)H_1(s) + G_4(s)H_4(s) \\ &\quad + G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s) - G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s) - H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s) \\ &\quad + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s) \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{C_1(s)}{R_1(s)}$，令 $R_2(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)H_1(s), & \Delta_1 &= 1 + G_4(s)H_4(s) \\ P_2 &= G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s), & \Delta_2 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C_1(s)}{R_1(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)H_1(s) + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) + G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s)}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)H_1(s) + G_4(s)H_4(s) - G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s) \\ &+ G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s) - H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{C_2(s)}{R_1(s)}$，令 $R_2(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_3 &= G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_4(s), & \Delta_3 &= 1 \\ P_4 &= G_1(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s), & \Delta_4 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C_2(s)}{R_1(s)} &= \frac{P_3\Delta_3 + P_4\Delta_4}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_4(s) + G_1(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s)}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)H_1(s) + G_4(s)H_4(s) - G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s) \\ &+ G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s) - H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

求系统传递函数 $\frac{C_1(s)}{R_2(s)}$，令 $R_1(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_5 &= G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s), & \Delta_5 &= 1 \\ P_6 &= G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s), & \Delta_6 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C_1(s)}{R_2(s)} &= \frac{P_5\Delta_5 + P_6\Delta_6}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s) + G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s)}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)H_1(s) + G_4(s)H_4(s) - G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s) \\ &+ G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s) - H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{C_2(s)}{R_2(s)}$，令 $R_1(s) = 0$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_7 &= G_4(s)H_4(s), & \Delta_7 &= 1 + G_1(s)H_1(s) \\ P_8 &= G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s), & \Delta_8 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C_2(s)}{R_2(s)} &= \frac{P_7\Delta_7 + P_8\Delta_8}{\Delta} \\ &= \frac{G_4(s)H_4(s) + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) + G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s)}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)G_2(s)G_4(s)H_1(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)H_1(s) + G_4(s)H_4(s) - G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s) \\ &+ G_1(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_4(s) - H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s) + G_1(s)G_4(s)H_1(s)H_4(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)H_2(s)H_3(s)H_4(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

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总结

• 梅森增益公式
  • 在信号流图中，应用梅森增益公式可直接求取从源节点到阱节点的传递函数。
  • 但是任意一个混合节点都可以引出一个新的节点作为阱节点，故梅森增益公式同样适用于求取源节点到混合节点的传递函数。
  • 结构图与信号流图除去记号体系不同以外，并没有实质的差别，因此梅森增益公式也可直接用于系统结构图。