06-8 求系统混合节点到阱节点的传递函数

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本节课适用对象

• 所有学生

本节课所授知识点

• 求系统混合节点到阱节点的传递函数

重要提示

• 求系统混合节点到阱节点的传递函数，不可直接使用梅森增益公式

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专题：求系统混合节点到阱节点的传递函数

例 1

系统信号流图如下，求系统传递函数 $\frac{Y_6(s)}{Y_1(s)}$，$\frac{Y_2(s)}{Y_1(s)}$，$\frac{Y_6(s)}{Y_2(s)}$。

解：

单独回路有四个，即 $L_1 = -cg, \quad L_2 = -eh, \quad L_3 = -cdei, \quad L_4 = -bei$

两个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_2$

信号流图的特征式为 $\Delta = 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + L_1 L_2 = 1 + cg + eh + cdei + bei + cgeh$

求系统传递函数 $\frac{Y_6(s)}{Y_1(s)}$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= acdef, & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= abef, & \Delta_2 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为 $\frac{Y_6(s)}{Y_1(s)} = \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} = \frac{acdef + abef}{1 + cg + eh + cdei + bei + cgeh}$

求系统传递函数 $\frac{Y_2(s)}{Y_1(s)}$

前向通路增益及其余因子式分别为 $P_3 = a, \quad \Delta_3 = 1 + eh$

系统的传递函数为 $\frac{Y_2(s)}{Y_1(s)} = \frac{P_3\Delta_3}{\Delta} = \frac{a + aeh}{1 + cg + eh + cdei + bei + cgeh}$

求系统的传递函数 $\frac{Y_6(s)}{Y_2(s)}$（混合节点到阱节点的传递函数）

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{Y_6(s)}{Y_2(s)} &= \frac{Y_6(s)}{Y_1(s)} \cdot \frac{Y_1(s)}{Y_2(s)} \\ &= \frac{acdef + abef}{1 + cg + eh + cdei + bei + cgeh} \cdot \frac{1 + cg + eh + cdei + bei + cgeh}{a + aeh} \\ &= \frac{acdef + abef}{a + aeh} = \frac{cdef + bef}{1 + eh} \end{aligned}$$

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例 2

系统结构图如下，试用梅森公式求系统传递函数 $\frac{F(s)}{R(s)}$，$\frac{E(s)}{R(s)}$，$\frac{F(s)}{E(s)}$。

解：

单独回路有四个，即 $L_1 = -G_1(s)H_1(s), \quad L_2 = -G_2(s)H_2(s), \quad L_3 = -G_3(s)H_3(s), \quad L_4 = -G_1(s)G_2(s)G_3(s)$

两个互不接触的回路有两组，即 $L_1 L_2, \quad L_1 L_3$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + (L_1 L_2 + L_1 L_3) \\ &= 1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) \\ &\quad + G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s) \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{F(s)}{R(s)}$

前向通路增益及其余因子式分别为 $P_1 = G_1(s), \quad \Delta_1 = 1 + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s)$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{F(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s) + G_1(s)G_2(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_3(s)}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{E(s)}{R(s)}$

前向通路增益及其余因子式分别为 $P_2 = 1$ $\Delta_2 = 1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{E(s)}{R(s)} &= \frac{P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

求系统传递函数 $\frac{F(s)}{E(s)}$（混合节点到阱节点的传递函数）

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{F(s)}{E(s)} &= \frac{F(s)}{R(s)} \cdot \frac{R(s)}{E(s)} \\ &= \frac{G_1(s) + G_1(s)G_2(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_3(s)}{\Delta} \cdot \frac{\Delta}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)\end{aligned}} \\ &= \frac{G_1(s) + G_1(s)G_2(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_3(s)}{1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)H_1(s)H_2(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)} \\ &= \frac{G_1(s) \cdot [1 + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s)]}{[1 + G_1(s)H_1(s)] \cdot [1 + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s)]} \\ &= \frac{G_1(s)}{1 + G_1(s)H_1(s)} \end{aligned}$$

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总结

• 梅森增益公式
  • 在信号流图中，应用梅森增益公式可直接求取从源节点到阱节点的传递函数。
  • 但是任意一个混合节点都可以引出一个新的节点作为阱节点，故梅森增益公式同样适用于求取源节点到混合节点的传递函数。
  • 但是混合节点到混合节点或阱节点的传递函数，不可直接使用梅森增益公式，需要通过两传递函数作比来求得。