06-5 应用梅森增益公式求传递函数-1

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本节课适用对象

• 所有学生

本节课所授知识点

• 应用梅森增益公式求系统传递函数

重要提示

• 系统结构越复杂，“信号分支法”的优势越大

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随堂练习：应用梅森增益公式求传递函数（1）

例 1

系统信号流图如下，求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

解：

单回路有四个，即 $L_1 = -G_4(s)H_1(s), \quad L_2 = -G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)H_2(s)$ $L_3 = -G_4(s)G_5(s)G_6(s)H_2(s), \quad L_4 = -G_2(s)G_7(s)H_2(s)$

两个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_4$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + L_1 L_4 \\ &= 1 + G_4(s)H_1(s) + G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)H_2(s) + G_4(s)G_5(s)G_6(s)H_2(s) \\ &\quad + G_2(s)G_7(s)H_2(s) + G_2(s)G_4(s)G_7(s)H_1(s)H_2(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s), & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= G_1(s)G_4(s)G_5(s)G_6(s), & \Delta_2 &= 1 \\ P_3 &= G_1(s)G_2(s)G_7(s), & \Delta_3 &= 1 + G_4(s)H_1(s) \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2 + P_3\Delta_3}{\Delta} \\ &= \frac{\begin{aligned}&G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s) + G_1(s)G_4(s)G_5(s)G_6(s) + G_1(s)G_2(s)G_7(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)G_4(s)G_7(s)H_1(s)\end{aligned}}{\begin{aligned}&1 + G_4(s)H_1(s) + G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)H_2(s) + G_4(s)G_5(s)G_6(s)H_2(s) \\ &+ G_2(s)G_7(s)H_2(s) + G_2(s)G_4(s)G_7(s)H_1(s)H_2(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

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例 2

系统结构图如下，试绘制其信号流图，并求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

解： 绘制信号流图如下：

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

单独回路有五个，即 $L_1 = -G_1(s)G_2(s)H_2(s), \quad L_2 = G_2(s)H_1(s), \quad L_3 = -G_3(s)H_3(s)$ $L_4 = -G_1(s)G_2(s)H_3(s), \quad L_5 = -G_2(s)G_3(s)H_1(s)H_2(s)$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5) \\ &= 1 + G_1(s)G_2(s)H_2(s) - G_2(s)H_1(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)H_3(s) + G_2(s)G_3(s)H_1(s)H_2(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s), & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= G_3(s), & \Delta_2 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_2(s) + G_3(s)}{1 + G_1(s)G_2(s)H_2(s) - G_2(s)H_1(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)H_3(s) + G_2(s)G_3(s)H_1(s)H_2(s)} \end{aligned}$$

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例 3

系统结构图如下，试绘制其信号流图，并求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

解： 绘制信号流图如下：

分析： 根据“信号分析法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

单独回路有四个，即 $L_1 = -G_1(s)G_5(s), \quad L_2 = -G_2(s), \quad L_3 = -G_1(s)G_2(s)G_3(s), \quad L_4 = -G_3(s)G_4(s)$

两个互不接触的回路有三组，即 $L_1 L_2, \quad L_1 L_4, \quad L_2 L_4$

三个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_2 L_4$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + (L_1 L_2 + L_1 L_4 + L_2 L_4) - L_1 L_2 L_4 \\ &= 1 + G_1(s)G_5(s) + G_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) + G_3(s)G_4(s) + G_1(s)G_2(s)G_5(s) \\ &\quad + G_1(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s) + G_2(s)G_3(s)G_4(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s)G_3(s), & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= G_3(s)G_4(s), & \Delta_2 &= 1 + G_1(s)G_5(s) + G_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_5(s) \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{\begin{aligned}&G_1(s)G_2(s)G_3(s) + G_3(s)G_4(s) + G_1(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s) + G_2(s)G_3(s)G_4(s) \\ &+ G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)\end{aligned}}{\begin{aligned}&1 + G_1(s)G_5(s) + G_2(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) + G_3(s)G_4(s) + G_1(s)G_2(s)G_5(s) \\ &+ G_1(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s) + G_2(s)G_3(s)G_4(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)\end{aligned}} \end{aligned}$$

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例 4

系统结构图如下，试用梅森增益公式求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

解：

单独回路有四个，即 $L_1 = -G_1(s)H_1(s), \quad L_2 = -G_2(s)H_2(s), \quad L_3 = -G_3(s)H_3(s), \quad L_4 = -G_1(s)G_2(s)G_3(s)$

两个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_3$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + L_1 L_3 \\ &= 1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为 $P_1 = G_1(s)G_2(s)G_3(s), \quad \Delta_1 = 1$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_2(s)G_3(s)}{1 + G_1(s)H_1(s) + G_2(s)H_2(s) + G_3(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s) + G_1(s)G_3(s)H_1(s)H_3(s)} \end{aligned}$$

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例 5

系统结构图如下，试用梅森增益公式求系统传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

解：

单独回路有三个，即 $L_1 = -G_3(s)H_2(s), \quad L_2 = -G_1(s)G_2(s)H_1(s), \quad L_3 = -G_2(s)H_3(s)$

两个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_2$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3) + L_1 L_2 \\ &= 1 + G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)H_1(s) + G_2(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_1(s)H_2(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s)G_3(s), & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= -G_3(s)G_4(s), & \Delta_2 &= 1 + G_1(s)G_2(s)H_1(s) \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} \\ &= \frac{G_1(s)G_2(s)G_3(s) - G_3(s)G_4(s) - G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)H_1(s)}{1 + G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_2(s)H_1(s) + G_2(s)H_3(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_1(s)H_2(s)} \end{aligned}$$

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总结

• 梅森增益公式
  • 在信号流图中，应用梅森增益公式可直接求取从源节点到阱节点的传递函数。
  • 结构图与信号流图除去记号体系不同以外，并没有实质的差别，因此梅森增益公式也可直接用于系统结构图。