06-4 信号分支法

课程总览

本节课适用对象

• 所有学生

本节课所授知识点

• 在应用梅森增益公式时，如何才能不遗漏前向通路与回路

重要提示

• 本节课例题较少，后面会有专门的习题课

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技巧方法：信号分支法

信号分支法

• 应用梅森增益公式时，最大的痛点就是如何找全前向通路及回路。
• “信号分支法”可以解决该痛点，其主要分三步：标信号，组信号，寻信号。

第一步：标信号（给所有节点标记信号）

第二步：组信号

根据信号流方向，组合信号，同一条路，不能有相同信号，直到遇到相同信号或者无路可走时，才结束该路径，绘制“信号分支图”。

第三步：寻信号

• 有几条从输入到输出的路，即有几条前向通路；
• 根据信号流图中折返支路两端的信号，在“信号分支图”中寻找对应信号，组成回路。

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例（前面课程已经讲过例题）

信号流图如下，试求传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

分析： 根据“信号分支法”寻找前向通路与回路（该部分不体现在答案中）

解：

单独回路有四个，即 $L_1 = -G_1(s), \quad L_2 = -G_2(s), \quad L_3 = -G_3(s), \quad L_4 = -G_1(s)G_2(s)$

两个互不接触的回路有四组，即 $L_1 L_2, \quad L_2 L_3, \quad L_1 L_3, \quad L_3 L_4$

三个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_2 L_3$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + (L_1 L_2 + L_2 L_3 + L_1 L_3 + L_3 L_4) - L_1 L_2 L_3 \\ &= 1 + G_1(s) + G_2(s) + G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_3(s) + G_2(s)G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s)G_3(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s)G_3(s)K, & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= G_2(s)G_3(s)K, & \Delta_2 &= 1 + G_1(s) \\ P_3 &= G_1(s)G_3(s)K, & \Delta_3 &= 1 + G_2(s) \\ P_4 &= -G_1(s)G_2(s)G_3(s)K, & \Delta_4 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2 + P_3\Delta_3 + P_4\Delta_4}{\Delta} \\ &= \frac{G_2(s)G_3(s)K + G_1(s)G_3(s)K + 2G_1(s)G_2(s)G_3(s)K}{1 + G_1(s) + G_2(s) + G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_3(s) + G_2(s)G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s)G_3(s)} \end{aligned}$$

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总结

• 信号分支法
  • 第一步：标信号（给所有节点标记信号）
  • 第二步：组信号（根据信号流方向，组合信号，同一条路，不能有相同信号，直到遇到相同信号或者无路可走时，才结束该路径），绘制“信号分支图”
  • 第三步：寻信号
    • 有几条从输入到输出的路，即有几条前向通路；
    • 根据信号流图中折返支路两端的信号，在“信号分支图”中寻找对应信号，组成回路。
• 提示： 系统的信号流图越复杂，该方法的优势越明显。