06-3 应用梅森增益公式求传递函数

课程总览

本节课适用对象

• 零基础的学生
• 基础薄弱的学生

本节课所授知识点

• 应用梅森增益公式求传递函数

重要提示

• 本节课例题应做尽做
• 后面会有专门的习题课

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应用梅森增益公式求传递函数

梅森增益公式

• 梅森（Mason）增益公式又称梅逊增益公式，简称梅森公式或梅逊公式。
• 在信号流图中，应用梅森增益公式可直接求取从源节点到阱节点的传递函数。
• 结构图与信号流图除去记号体系不同以外，并没有实质的差别，因此梅森增益公式也可直接用于系统结构图。

求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为：

$P = \frac{1}{\Delta}\sum_{k=1}^n P_k \Delta_k$

• $P$ 为从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）；
• $n$ 为从源节点到阱节点的前向通路总数；
• $P_k$ 为从源节点到阱节点的第 $k$ 条前向通路增益；
• $\Delta$ 为信号流图的特征式，公式如下：

$\Delta = 1 - \sum L_a + \sum L_b L_c - \sum L_d L_e L_f + \dots$

$\sum L_a$ 为所有单独回路的增益之和；$\sum L_b L_c$ 为每两个互不接触回路增益乘积之和；$\sum L_d L_e L_f$ 为每三个互不接触回路增益乘积之和。

• $\Delta_k$ 为在 $\Delta$ 中除去与第 $k$ 条前向通路相接触的（即共有节点）回路后的特征式，称为第 $k$ 条前向通路特征式的余因子式。

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例

信号流图如下，试求传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。

解：

单独回路有四个，即 $L_1 = -G_1(s), \quad L_2 = -G_2(s), \quad L_3 = -G_3(s), \quad L_4 = -G_1(s)G_2(s)$

两个互不接触的回路有四组，即 $L_1 L_2, \quad L_2 L_3, \quad L_1 L_3, \quad L_3 L_4$

三个互不接触的回路有一组，即 $L_1 L_2 L_3$

信号流图的特征式为

$$\begin{aligned} \Delta &= 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + (L_1 L_2 + L_2 L_3 + L_1 L_3 + L_3 L_4) - L_1 L_2 L_3 \\ &= 1 + G_1(s) + G_2(s) + G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_3(s) + G_2(s)G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s)G_3(s) \end{aligned}$$

前向通路增益及其余因子式分别为

$$\begin{aligned} P_1 &= G_1(s)G_2(s)G_3(s)K, & \Delta_1 &= 1 \\ P_2 &= G_2(s)G_3(s)K, & \Delta_2 &= 1 + G_1(s) \\ P_3 &= G_1(s)G_3(s)K, & \Delta_3 &= 1 + G_2(s) \\ P_4 &= -G_1(s)G_2(s)G_3(s)K, & \Delta_4 &= 1 \end{aligned}$$

系统的传递函数为

$$\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)} &= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2 + P_3\Delta_3 + P_4\Delta_4}{\Delta} \\ &= \frac{G_2(s)G_3(s)K + G_1(s)G_3(s)K + 2G_1(s)G_2(s)G_3(s)K}{1 + G_1(s) + G_2(s) + G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s) + G_1(s)G_3(s) + G_2(s)G_3(s) + 2G_1(s)G_2(s)G_3(s)} \end{aligned}$$

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总结

• 梅森增益公式
  • 在信号流图中，应用梅森增益公式可直接求取从源节点到阱节点的传递函数。
  • 结构图与信号流图除去记号体系不同以外，并没有实质的差别，因此梅森增益公式也可直接用于系统结构图。