05-2 化简结构图的基本方法

课程总览

本节课适用对象

• 零基础的学生
• 基础薄弱的学生

本节课所授知识点

• 串联、并联与反馈结构的化简
• 引出点的前移与后移
• 比较点的前移与后移

重要提示

• 本节课例题应做尽做
• 后面会有专门的习题课

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化简结构图的基本方法

等效原则

所谓等效原则是指化简前后两个变量之间的数学关系不变，即传递函数不变，而这两个变量之外的其它信号允许发生改变。

串联环节的化简

\begin{cases} X_2(s) = G_1(s)X_1(s) \\ X_3(s) = G_2(s)X_2(s) \end{cases} \implies X_3(s) = G_1(s)G_2(s)X_1(s)$$ 上述结论可以推广到任意 $n$ 个环节串联的情形：$n$ 个环节串联，其等效的传递函数是各串联环节传递函数的乘积，即： $$G(s) = G_1(s)G_2(s)\cdots G_n(s)$$ ### 并联环节的化简 

\begin{cases} X_1(s) = G_1(s)X_0(s) \ X_2(s) = G_2(s)X_0(s) \ X_3(s) = G_3(s)X_0(s) \ X_4(s) = \pm X_1(s) \pm X_2(s) \pm X_3(s) \end{cases} \implies X_4(s) = [\pm G_1(s) \pm G_2(s) \pm G_3(s)]X_0(s)$$

上述结论可以推广到任意 $n$ 个环节并联的情形：$n$ 个环节并联，其等效的传递函数是各并联环节传递函数的代数和。

单回路反馈的化简

\begin{cases} C(s) = G(s)E(s) \\ E(s) = R(s) \mp B(s) \\ B(s) = H(s)C(s) \end{cases} \implies \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 \pm G(s)H(s)}$$ （负反馈取“$+$”号，正反馈取“$-$”号） ### 比较点的前后移动  - **比较点前移**（越过方框 $G(s)$）：支路上需串入方框 $\frac{1}{G(s)}$ - **比较点后移**（越过方框 $G(s)$）：支路上需串入方框 $G(s)$ ### 引出点的前后移动  - **引出点前移**（越过方框 $G(s)$）：引出支路上需串入方框 $G(s)$ - **引出点后移**（越过方框 $G(s)$）：引出支路上需串入方框 $\frac{1}{G(s)}$ ### 比较点之间的移动，引出点之间的移动  - **比较点之间的移动**：相邻比较点可以任意互换位置或合并为一个综合比较点 - **引出点之间的移动**：相邻引出点可以任意互换位置或合并为一个引出点 --- ## 举例 **例** 试化简如图所示系统的结构图，并求出系统的传递函数 $\frac{C(s)}{R(s)}$。  **解**： 1. **引出点前移**： 将反馈回路 $H_1(s)$ 的引出点前移到方框 $G_3(s)$ 之后，支路需乘以 $G_3(s)$：  2. **串联与并联的化简**： 内部形成 $G_2(s)$ 与 $G_3(s)$ 串联后再与 $G_4(s)$ 并联的结构：  3. **比较点前移**： 将反馈通道的比较点前移越过方框 $G_1(s)$，支路上需乘以 $\frac{1}{G_1(s)}$：  4. **串联、并联与单回路反馈的化简**： 合并前向通道及并联反馈通道：  5. **求得传递函数为**： $$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1(s)[G_2(s)G_3(s) + G_4(s)]}{1 + G_2(s)G_3(s)H_1(s) + [G_2(s)G_3(s) + G_4(s)] + G_1(s)[G_2(s)G_3(s) + G_4(s)]H_2(s)}$$ 整理得： $$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1(s)G_2(s)G_3(s) + G_1(s)G_4(s)}{1 + G_2(s)G_3(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s) + G_1(s)G_4(s)H_2(s) + G_2(s)G_3(s) + G_4(s)}$$ --- ## 总结 ### 化简结构图注意事项 - 同类点向同类点方向移动，不同类点之间不可交换位置 - 移动比较点或引出点的目的是构造典型串联、并联或反馈结构