04-6 复阻抗法

技巧方法：复阻抗法

·本节课适用对象 所有学生

·本节课所授知识点 电阻元件、电容元件和电感元件的运算电路 利用复阻抗法求解系统的传递函数和微分方程

·重要提示 本节课例题应做尽做 后面会有专门的习题课 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到

前情回顾 ·电阻元件 理想电阻的图形符号如下：

公式为（电流和电压取关联参考方向）

上式称为欧姆定律，R 的单位为 $\Omega$（欧姆）。

·电容元件 理想电容的图形符号如下所示。

电容器存储的电荷 $q$ 与两端的电压 $u$ 成正比，比例系数为正实数，符号是 $C$，称为电容，基本单位是 $F$（法拉）。 公式为 $C = \frac{q}{u}$

根据电流定义，求得（电流电压取关联参考方向） $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du}{dt}$

·电感元件 理想电感的图形符号如下所示。

理想电感的磁场中，磁链 $\psi$ 与电流 $i$ 成正比，比例系数为正实数，称为电感，符号为 $L$，基本单位是 $H$（亨利）。 公式为 $L = \frac{\psi}{i}$

根据电磁感应定律，求得（电流电压取关联参考方向） $u = \frac{d\psi}{dt} = L \frac{di}{dt}$

1、运算电路 ·电阻元件 电阻元件的电压电流关系为 $u(t) = R i(t)$

两边取拉普拉斯变换，得 $U(s) = R I(s)$

下图就是电阻的运算电路。

·电容元件 电容元件的电压电流关系为 $i(t) = C \frac{du(t)}{dt}$

两边取拉普拉斯变换，得 $I(s) = C s U(s) \implies U(s) = \frac{1}{Cs} I(s)$

式中 $\frac{1}{sC}$ 为电容的阻抗。

下图就是电容的运算电路。

·电感元件 电感元件的电压电流关系为 $u(t) = L \frac{di(t)}{dt}$

两边取拉普拉斯变换，得 $U(s) = sL I(s)$

式中 $sL$ 为电感的阻抗。

下图就是电感的运算电路。

2、复阻抗法 ·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 运算电路如下。 根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $U_i(s) = R I(s) + sL I(s) + U_o(s)$

其中 $U_o(s) = \frac{1}{sC} I(s)$

联立可得

$$\begin{aligned} U_i(s) &= R s C U_o(s) + s L s C U_o(s) + U_o(s) \\ &= (LC s^2 + RC s + 1) U_o(s) \end{aligned}$$

整理，得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{1}{LC s^2 + RC s + 1}$

$U_i(s) = LC s^2 U_o(s) + RC s U_o(s) + U_o(s)$

针对上式应用拉普拉斯反变换，求得 $u_i(t) = LC \frac{d^2 u_o(t)}{dt^2} + RC \frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t)$

·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 运算电路如下。 电容 $C_1$ 与电阻 $R$ 并联合并，求得 $Z_1 = \frac{R \cdot \frac{1}{sC_1}}{R + \frac{1}{sC_1}} = \frac{R}{R C_1 s + 1}$

根据分压公式，求得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC_2}}{Z_1 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{\frac{1}{sC_2}}{\frac{R}{R C_1 s + 1} + \frac{1}{sC_2}} = \frac{R C_1 s + 1}{R(C_1 + C_2) s + 1}$

$\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R C_1 s + 1}{R(C_1 + C_2) s + 1}$

展开上式 $R C_1 s U_i(s) + U_i(s) = R(C_1 + C_2) s U_o(s) + U_o(s)$

针对上式应用拉普拉斯反变换，求得 $R C_1 \frac{du_i(t)}{dt} + u_i(t) = R(C_1 + C_2) \frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t)$

·知识点总结 运算电路中，电阻的阻抗是 $R$，电容的阻抗是 $\frac{1}{sC}$，电感的阻抗是 $sL$

在运算电路中，电阻、电容和电感的串并联与前面所讲的纯电阻的串并联是一样的

如果题目要求输入与输出的微分方程，可以先求传递函数，然后拉氏反变换求微分方程

·本节课应达成的目标 会应用运算电路求解系统的传递函数与微分方程 本节课中的题目能够独立解决

·重要提示 本节课例题应做尽做 后面会有专门的习题课 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到