04-7 求解电路的传递函数-1

随堂练习：求解电路的传递函数（1）

·本节课适用对象 所有学生

·本节课所授知识点 求解无源网络的微分方程和传递函数的题目讲解

·重要提示 本节课例题应做尽做 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到

·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 运算电路如下。

根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $U_i(s) = R_1 I(s) + sL I(s) + U_o(s)$

其中 $U_o(s) = R_2 I(s)$

联立求得 $U_i(s) = R_1 \frac{U_o(s)}{R_2} + sL \frac{U_o(s)}{R_2} + U_o(s) = \left(\frac{L}{R_2} s + \frac{R_1}{R_2} + 1\right) U_o(s)$

整理可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_2}{Ls + R_1 + R_2}$

$U_i(s) = \frac{R_1}{R_2} U_o(s) + \frac{L}{R_2} s U_o(s) + U_o(s)$

针对上式进行拉普拉斯反变换，可得 $u_i(t) = \frac{L}{R_2} \frac{du_o(t)}{dt} + \left(\frac{R_1}{R_2} + 1\right) u_o(t)$

·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 运算电路如下。 电容 $C$ 和电阻 $R_2$ 并联合并，可得 $Z_1 = \frac{R_2 \cdot \frac{1}{sC}}{R_2 + \frac{1}{sC}} = \frac{R_2}{R_2 C s + 1}$

电阻 $R_1$ 和电感 $L$ 串联合并，可得 $Z_2 = R_1 + sL$

根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} = \frac{\frac{R_2}{R_2 C s + 1}}{\frac{R_2}{R_2 C s + 1} + R_1 + sL} = \frac{R_2}{R_2 L C s^2 + (L + R_1 R_2 C) s + R_1 + R_2}$

$\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{R_2}{R_2 L C s^2 + (L + R_1 R_2 C) s + R_1 + R_2}$

整理，可得 $R_2 U_i(s) = R_2 L C s^2 U_o(s) + (L + R_1 R_2 C) s U_o(s) + (R_1 + R_2) U_o(s)$

针对上式进行拉普拉斯反变换，可得 $R_2 u_i(t) = R_2 L C \frac{d^2 u_o(t)}{dt^2} + (L + R_1 R_2 C) \frac{du_o(t)}{dt} + (R_1 + R_2) u_o(t)$

·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

解： 电阻 $R_1$ 和电容 $C_1$ 并联合并，可得 $Z_1 = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{sC_1}}{R_1 + \frac{1}{sC_1}} = \frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1}$

电阻 $R_2$ 和电容 $C_2$ 串联合并，可得 $Z_2 = R_2 + \frac{1}{sC_2} = \frac{R_2 C_2 s + 1}{sC_2}$

根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = \frac{\frac{R_2 C_2 s + 1}{sC_2}}{\frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1} + \frac{R_2 C_2 s + 1}{sC_2}} = \frac{R_1 C_1 R_2 C_2 s^2 + (R_1 C_1 + R_2 C_2) s + 1}{R_1 C_1 R_2 C_2 s^2 + (R_1 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_2) s + 1}$

·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

解： 电阻 $R_1$ 和电容 $C_1$ 并联合并，可得 $Z_1 = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{sC_1}}{R_1 + \frac{1}{sC_1}} = \frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1}$

电阻 $R_2$ 和电容 $C_2$ 并联合并，可得 $Z_2 = \frac{R_2 \cdot \frac{1}{sC_2}}{R_2 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{R_2}{R_2 C_2 s + 1}$

根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = \frac{\frac{R_2}{R_2 C_2 s + 1}}{\frac{R_1}{R_1 C_1 s + 1} + \frac{R_2}{R_2 C_2 s + 1}} = \frac{R_1 R_2 C_1 s + R_2}{(R_1 R_2 C_2 + R_1 R_2 C_1) s + R_1 + R_2}$

·例 求该无源网络的传递函数 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)}$。

解： 电阻 $R_1$ 和电容 $C_1$ 串联合并，可得 $Z_1 = R_1 + \frac{1}{sC_1} = \frac{R_1 C_1 s + 1}{sC_1}$

电阻 $R_2$ 和电感 $L$ 串联合并，可得 $Z_2 = R_2 + sL$

阻抗 $Z_2$ 和电容 $C_2$ 并联合并，可得 $Z_3 = \frac{Z_2 \cdot \frac{1}{sC_2}}{Z_2 + \frac{1}{sC_2}} = \frac{(R_2 + sL) \cdot \frac{1}{sC_2}}{R_2 + sL + \frac{1}{sC_2}} = \frac{Ls + R_2}{L C_2 s^2 + R_2 C_2 s + 1}$

根据分压公式，可得 $\frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{Z_3}{Z_1 + Z_3} = \frac{L C_1 s^2 + R_2 C_1 s}{R_1 C_1 C_2 L s^3 + (L C_1 + L C_2 + R_1 R_2 C_1 C_2) s^2 + (R_2 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_1) s + 1}$

·雷，雷，雷

使用分压公式时，必须保证对应阻抗是串联关系

·本节课应达成的目标 本节课中的题目能够独立解决

·重要提示 本节课例题应做尽做 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到