04-5 随堂练习：列写电路的微分方程

·本节课适用对象 所有学生

·本节课所授知识点 列写电路的微分方程的题目讲解

·重要提示 对于较复杂的题目一般用复阻抗法，后面会讲到这种方法 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到 本节课例题应做尽做 《电路》中针对同一题目的求解方法是多种多样的，同学们只需掌握课程所授方法即可 如果在其他资料中遇到其他求解方法，不必理会，用课程所授方法求解即可 已经掌握《电路》这门课的同学，可自由发挥

·例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 电阻上的电压 $u_1(t) = R i(t)$

电容上的电压与电流 $u_o(t), \quad i(t) = C \frac{du_o(t)}{dt}$

根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得 $u_i(t) = u_1(t) + u_o(t) = R i(t) + u_o(t) = RC \frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t)$

·例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 电阻上的电压 $u_1(t) = R i(t)$

电容上的电压与电流 $u_o(t), \quad i(t) = C \frac{du_o(t)}{dt}$

电感上的电压与电流 $i(t), \quad u_2(t) = L \frac{di(t)}{dt} = LC \frac{d^2u_o(t)}{dt^2}$

根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得

$$\begin{aligned} u_i(t) &= u_1(t) + u_o(t) + u_2(t) = R i(t) + u_o(t) + L \frac{di(t)}{dt} \\ &= LC \frac{d^2u_o(t)}{dt^2} + RC \frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t) \end{aligned}$$

·例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 电阻上的电压 $u_1(t) = R_1 i(t)$ $u_o(t) = R_2 i(t)$

电感上的电压与电流 $i(t), \quad u_2(t) = L \frac{di(t)}{dt} = \frac{L}{R_2} \frac{du_o(t)}{dt}$

根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得

$$\begin{aligned} u_i(t) &= u_1(t) + u_2(t) + u_o(t) = R_1 i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + u_o(t) = \frac{R_1}{R_2} u_o(t) + \frac{L}{R_2} \frac{du_o(t)}{dt} + u_o(t) \\ &= \frac{L}{R_2} \frac{du_o(t)}{dt} + \left(\frac{R_1}{R_2} + 1\right) u_o(t) \end{aligned}$$

·例 求输入电压 $u_i(t)$ 与输出电压 $u_o(t)$ 之间的微分方程。

解： 电阻上的电压 $u_2(t) = R i_2(t)$

电容上的电压与电流 $u_1(t), \quad i_1(t) = C_1 \frac{du_1(t)}{dt} \qquad (1)$ $u_o(t), \quad i(t) = C_2 \frac{du_o(t)}{dt} \qquad (2)$

根据基尔霍夫电压定律（KVL），求得

\begin{cases} u_i(t) = u_2(t) + u_o(t) = R i_2(t) + u_o(t) \\ u_1(t) = u_2(t) = R i_2(t) \end{cases} \qquad (3)$$ 根据基尔霍夫电流定律（KCL），求得 $$i = i_1(t) + i_2(t) \qquad (4)$$ 综合①②③④，求得（化简过程课上推导） $$C_1 \frac{du_i(t)}{dt} + \frac{1}{R} u_i(t) = (C_2 + C_1) \frac{du_o(t)}{dt} + \frac{1}{R} u_o(t)$$ ·本节课应达成的目标 能够熟练运用前面所讲知识点 本节课中的题目能够独立解决 ·重要提示 对于较复杂的题目一般用复阻抗法，后面会讲到这种方法 含有运算放大器的电路会在提升阶段讲到 本节课例题应做尽做 《电路》中针对同一题目的求解方法是多种多样的，同学们只需掌握课程所授方法即可 如果在其他资料中遇到其他求解方法，不必理会，用课程所授方法求解即可 已经掌握《电路》这门课的同学，可自由发挥