02-5 随堂练习：拉氏变换及反变换

• 本节课适用对象 所有学生

• 本节课所授知识点 拉氏变换的相关题目 拉氏反变换的相关题目 求解线性常微分方程

• 重要提示 本节课题目应做尽做

常用对照表

原函数 $f(t)$	象函数 $F(s)$	原函数 $f(t)$	象函数 $F(s)$
$\delta(t)$	$1$	$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
$1(t)$	$\frac{1}{s}$	$\sin\omega t$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$	$\cos\omega t$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$	$\frac{1}{s^n}$

• 微分定理 若 $\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$，则 $\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0)$ $\mathcal{L}\left[\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right]=s^n F(s)-\left[s^{n-1}f(0)+s^{n-2}f'(0)+\cdots+f^{(n-1)}(0)\right]$

• 位移定理 若 $\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$，则 $\mathcal{L}[f(t-\tau_0)\cdot 1(t-\tau_0)]=e^{-\tau_0 s}F(s)\quad \mathcal{L}[e^{\alpha t}f(t)]=F(s-\alpha)$

1、拉普拉斯变换

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=e^{-0.5t}\cos 10t$

解： $\mathcal{L}[\cos 10t]=\frac{s}{s^2+100}$

根据位移定理，则 $F(s)=\frac{s+0.5}{(s+0.5)^2+100}$

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=1(t)+t^2+e^{-2t}$

解： $F(s)=\mathcal{L}[1(t)+t^2+e^{-2t}]=\frac{1}{s}+\frac{2}{s^3}+\frac{1}{s+2}$

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=1(t)+2e^{-t}\sin(2t)$

解： $\mathcal{L}[\sin(2t)]=\frac{2}{s^2+4}$

根据位移定理，则 $F(s)=\frac{1}{s}+\frac{4}{(s+1)^2+4}$

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=te^{-2t}$

解： $\mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}$

根据位移定理，则 $F(s)=\frac{1}{(s+2)^2}$

2、拉普拉斯反变换

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s+2}{s^2+4s+3}$

解： $F(s)=\frac{s+2}{s^2+4s+3}=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{a}{s+1}+\frac{b}{s+3}=\frac{as+3a+bs+b}{(s+1)(s+3)}$

根据

$$$$

$F(s)=0.5\left[\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+3}\right]$ $\therefore f(t)=0.5(e^{-t}+e^{-3t})$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$

解： $F(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}=\frac{a}{s+2}+\frac{b}{s+3}=\frac{as+3a+bs+2b}{(s+2)(s+3)}$

根据

$$$$

$F(s)=\frac{-1}{s+2}+\frac{2}{s+3}$ $f(t)=-e^{-2t}+2e^{-3t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{5s+2}{(s+1)(s+2)}$

解： $F(s)=\frac{5s+2}{(s+1)(s+2)}=\frac{a}{s+1}+\frac{b}{s+2}=\frac{as+2a+bs+b}{(s+1)(s+2)}$

根据

$$$$

$F(s)=\frac{-3}{s+1}+\frac{8}{s+2}$ $f(t)=-3e^{-t}+8e^{-2t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{1}{s^2+4}$

解： $f(t)=\frac{1}{2}\sin 2t$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s}{s^2-2s+5}$

解： $F(s)=\frac{s}{s^2-2s+5}=\frac{s-1+1}{(s-1)^2+2^2}=\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2}+\frac{0.5\times 2}{(s-1)^2+2^2}$

$\mathcal{L}[\cos(2t)]=\frac{s}{s^2+2^2}$ $\mathcal{L}[\sin(2t)]=\frac{2}{s^2+2^2}$

根据位移定理 $f(t)=e^t\cos(2t)+0.5e^t\sin(2t)$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s+1}{s^3+s^2+s}$

解： $F(s)=\frac{s+1}{s^3+s^2+s}=\frac{s+1}{s(s^2+s+1)}=\frac{a}{s}+\frac{bs+c}{s^2+s+1}=\frac{as^2+as+a+bs^2+cs}{s(s^2+s+1)}$

根据 $\left\{\begin{aligned} a+b&=0 \\ a+c&=1 \\ a&=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} a&=1 \\ b&=-1 \\ c&=0 \end{aligned}\right.$

$F(s)=\frac{1}{s}+\frac{-s}{s^2+s+1}=\frac{1}{s}-\frac{s+0.5}{(s+0.5)^2+0.75}+\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s+0.5)^2+0.75}$

$f(t)=1(t)-e^{-0.5t}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}e^{-0.5t}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s)=\frac{s}{(s+2)(s+1)^2}$

解： $F(s)=\frac{s}{(s+2)(s+1)^2}=\frac{a}{s+2}+\frac{b}{(s+1)^2}+\frac{c}{s+1}$ $=\frac{a(s+1)^2+b(s+2)+c(s+2)(s+1)}{(s+2)(s+1)^2}$ $=\frac{(a+c)s^2+(2a+b+3c)s+a+2b+2c}{(s+2)(s+1)^2}$

根据

$$$$

$F(s) = \frac{-2}{s+2} + \frac{-1}{(s+1)^2} + \frac{2}{s+1}$ $f(t) = -2e^{-2t} - te^{-t} + 2e^{-t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s) = \frac{5s+2}{(s+1)(s+2)^3}$

解： $F(s) = \frac{5s+2}{(s+1)(s+2)^3} = \frac{a}{s+1} + \frac{b}{(s+2)^3} + \frac{c}{(s+2)^2} + \frac{d}{s+2}$ $= \frac{a(s+2)^3 + b(s+1) + c(s+1)(s+2) + d(s+1)(s+2)^2}{(s+1)(s+2)^3}$ $= \frac{(a+d)s^3 + (6a+c+5d)s^2 + (12a+b+3c+8d)s + 8a+b+2c+4d}{(s+1)(s+2)^3}$

根据

$$$$

$F(s) = \frac{-3}{s+1} + \frac{8}{(s+2)^3} + \frac{3}{(s+2)^2} + \frac{3}{s+2}$ $f(t) = -3e^{-t} + 4e^{-2t}t^2 + 3e^{-2t}t + 3e^{-2t}$

• 例 求下式的拉氏反变换。 $F(s) = \frac{s+2}{s(s+1)^2(s+3)}$

解： $F(s)=\frac{a}{s}+\frac{b}{(s+1)^2}+\frac{c}{s+1}+\frac{d}{s+3}$ $=\frac{a(s+1)^2(s+3)+bs(s+3)+cs(s+1)(s+3)+ds(s+1)^2}{s(s+1)^2(s+3)}$ $=\frac{(a+c+d)s^3+(5a+b+4c+2d)s^2+(7a+3b+3c+d)s+3a}{s(s+1)^2(s+3)}$

根据

a+c+d&=0 \\ 5a+b+4c+2d&=0 \\ 7a+3b+3c+d&=1 \\ 3a&=2 \end{aligned} \right\}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac{2}{3} \\ b=-\frac{1}{2} \\ c=-\frac{3}{4} \\ d=\frac{1}{12} \end{cases}

$F(s)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(s+1)^2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{s+1}+\frac{1}{12}\cdot \frac{1}{s+3}$ $f(t)=\frac{2}{3}\cdot 1(t)-\frac{1}{2}te^{-t}-\frac{3}{4}e^{-t}+\frac{1}{12}e^{-3t}$

3、求解线性常微分方程

• 例 已知微分方程 $\frac{d^2y(t)}{dt^2}+3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=5$ 利用拉普拉斯变换来求解线性常微分方程。其中，初始条件为 $y(0)=-1$，$\dot{y}(0)=2$。

解：方程两端取拉氏变换，得 $s^2Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s)=\frac{5}{s}$

带入初始条件，得 $s^2Y(s)+s-2+3sY(s)+3+2Y(s)=\frac{5}{s}$

整理，得 $(s^2+3s+2)Y(s)+s+1=\frac{5}{s}$ $Y(s) = \frac{-s^2 - s + 5}{s(s^2 + 3s + 2)} = \frac{-s^2 - s + 5}{s(s + 1)(s + 2)} = \frac{a}{s} + \frac{b}{s + 1} + \frac{c}{s + 2}$ $= \frac{a(s + 1)(s + 2) + bs(s + 2) + cs(s + 1)}{s(s + 1)(s + 2)}$ $= \frac{(a + b + c)s^2 + (3a + 2b + c)s + 2a}{s(s + 1)(s + 2)}$

根据

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$Y(s) = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{s} - \frac{5}{s + 1} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s + 2}$

拉氏反变换后，得 $y(t) = \frac{5}{2} - 5e^{-t} + \frac{3}{2}e^{-2t}$

• 例 已知微分方程 $\ddot{c}(t) + 2\dot{c}(t) + c(t) = r(t)$ 利用拉普拉斯变换来求解线性常微分方程。其中，$r(t) = 1(t)$，$c(0) = \dot{c}(0) = 0$。

解：方程两端取拉氏变换，得 $s^2C(s) - sc(0) - \dot{c}(0) + 2[sC(s) - c(0)] + C(s) = \frac{1}{s}$

带入初始条件，得 $s^2C(s) + 2sC(s) + C(s) = \frac{1}{s}$

整理，得 $(s^2 + 2s + 1)C(s) = \frac{1}{s}$ $C(s) = \frac{1}{s(s^2 + 2s + 1)} = \frac{a}{s} + \frac{b}{(s + 1)^2} + \frac{c}{s + 1} = \frac{a(s + 1)^2 + bs + cs(s + 1)}{s(s + 1)^2}$ $= \frac{(a + c)s^2 + (2a + b + c)s + a}{s(s + 1)^2}$

根据

a+c&=0 \\ 2a+b+c&=0 \\ a&=1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \\ c=-1 \end{cases}

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{(s+1)^2}-\frac{1}{s+1}$

拉氏反变换后，得 $c(t)=1-te^{-t}-e^{-t},\quad t>0$

• 本节课应达成的目标 本节课中的题目能够独立解决

• 重要提示 本节课题目应做尽做