02-4 考研避坑：拉氏变换及反变换

• 本节课适用对象 所有学生

• 本节课所授知识点 一个函数乘上单位阶跃函数表示什么 位移定理的使用误区

• 位移定理 若 $\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$，则 $\mathcal{L}\left[f(t-\tau_0)\cdot 1(t-\tau_0)\right]=e^{-\tau_0 s}F(s)$ $\mathcal{L}\left[e^{\alpha t}f(t)\right]=F(s-\alpha)$

1、一个函数乘上单位阶跃函数表示什么

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• 例

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$\mathcal{L}\left[e^{-at}\cdot 1(t)\right]=\mathcal{L}\left[e^{-at}\right]=\frac{1}{s+a}$

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$\mathcal{L}\left[t\cdot 1(t)\right]=\mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}$

2、位移定理的使用误区

$\mathcal{L}\left[f(t-\tau_0)\cdot 1(t-\tau_0)\right]=e^{-\tau_0 s}F(s)$

$\mathcal{L}\left[(t-2)\cdot 1(t-2)\right]\ne \mathcal{L}[t-2]$

$\mathcal{L}\left[(t-2)\cdot 1(t-2)\right]=e^{-2s}\frac{1}{s^2}$

$\mathcal{L}[t-2]=\mathcal{L}[(t-2)\cdot 1(t)]=\mathcal{L}[t\cdot 1(t)]-\mathcal{L}[2\cdot 1(t)]=\frac{1}{s^2}-\frac{2}{s}$

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=\left[4\cos\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)\right]\cdot 1\left(t-\frac{\pi}{6}\right)$

解： $\mathcal{L}[\cos 2t]=\frac{s}{s^2+4}$ 根据位移定理，则 $F(s)=\frac{4s}{s^2+4}e^{-\frac{\pi}{6}s}$

• 例 求下式的拉氏变换。 $f(t)=\sin\left(5t+\frac{\pi}{3}\right)$

解： $F(s)=\mathcal{L}\left[\sin 5t\cos\frac{\pi}{3}+\cos 5t\sin\frac{\pi}{3}\right]=\mathcal{L}\left[\frac{1}{2}(\sin 5t)+\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos 5t)\right]$ $=\mathcal{L}\left[\frac{1}{2}(\sin 5t)\right]+\mathcal{L}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos 5t)\right]$ $=\frac{1}{2}\frac{5}{s^2+25}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{s}{s^2+25}$ $=\frac{\sqrt{3}s+5}{2(s^2+25)}$