例 1.27 计算数列极限

题目

计算数列极限 $\lim_{n\to\infty} \tan^n \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2}{n} \right).$

考点

• 数列极限转化为函数极限
• 拉格朗日中值定理
• 对数恒等式变形

解答

数列极限不能直接使用洛必达法则，应先把数列连续化，或使用拉格朗日中值定理、泰勒公式。 设 $h(u) = \ln(\tan u).$ 则 $h(\frac{\pi}{4}) = 0$，且 $h'(u) = \frac{\sec^2 u}{\tan u} = \frac{1}{\sin u \cos u}.$ 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} + \frac{2}{n} \right),$ 使得 $n \ln \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2}{n} \right) = n h'(\xi_n) \frac{2}{n} = 2 h'(\xi_n) \to 4.$ 因此 $\lim_{n\to\infty} \tan^n \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2}{n} \right) = e^4.$