参数根轨迹：等效开环传递函数的由来与含义

这篇笔记的重点不是把根轨迹完整画出来，而是理解两件事：为什么能把 $T_a$ 当成”根轨迹参数”来研究，以及等效开环传递函数是怎么来的。

一、为什么不能直接套用普通根轨迹

普通根轨迹研究的是开环增益 $K$ 变化时，闭环特征根怎么动，即

$$1 + K G(s)H(s) = 0$$

的根随 $K$ 的变化轨迹。它的前提是：开环零极点固定，只有增益在变。

但这道题里，原开环传递函数是

$$G(s)H(s) = \frac{5(1+T_a s)}{s(1+5s)}$$

变化的不是开环增益，而是 $T_a$。$T_a$ 藏在零点项 $(1+T_a s)$ 里，一旦 $T_a$ 变化，开环零点

$$s = -\frac{1}{T_a}$$

也跟着动。这就破坏了普通根轨迹的基本前提，不能直接令 $K = T_a$ 来画。

二、参数根轨迹的推导思路

参数根轨迹的核心思想是：不从原开环传递函数直接看，而是从闭环特征方程重新整理。

负反馈系统的闭环特征方程是 $1 + G(s)H(s) = 0$，代入原式：

$$1 + \frac{5(1+T_a s)}{s(1+5s)} = 0$$

去分母展开：

$$s(1+5s) + 5(1+T_a s) = 0$$ $$5s^2 + s + 5 + 5T_a s = 0$$

两边除以 5：

$$s^2 + 0.2s + 1 + T_a s = 0$$

现在把不含 $T_a$ 的部分和含 $T_a$ 的部分分组：

$$\underbrace{\left[s^2 + 0.2s + 1\right]}_{A(s)} + T_a \underbrace{s}_{B(s)} = 0$$

两边除以 $A(s)$，得到标准的根轨迹形式：

$$1 + T_a \frac{s}{s^2 + 0.2s + 1} = 0$$

这与普通根轨迹的 $1 + K G(s)H(s) = 0$ 形式完全一致。于是把 $T_a$ 看成等效增益，定义等效开环传递函数：

$$G_1(s)H_1(s) = \frac{s}{s^2 + 0.2s + 1} = \frac{s}{s(s+0.2)+1}$$

后续找零点、极点、渐近线、分离点，就是普通根轨迹的常规步骤了。

三、“等效”等在哪里

这里最容易误解的是”等效”二字。原开环传递函数

$$\frac{5(1+T_a s)}{s(1+5s)}$$

和等效开环传递函数

$$\frac{s}{s^2 + 0.2s + 1}$$

当然不是同一个函数。 它们的开环零极点、闭环传递函数、输出响应都不同。

所谓”等效”，只是在闭环特征方程相同这一点上等效。

原系统的闭环特征方程：

$$s^2 + 0.2s + 1 + T_a s = 0$$

等效系统的闭环特征方程（去分母后）：

$$s^2 + 0.2s + 1 + T_a s = 0$$

完全一样。因为根轨迹研究的正是闭环极点，所以在”画根轨迹”这个目的下，两者等效。

$$\boxed{\text{等效的是闭环极点，不是整个系统。}}$$

四、物理含义：$T_a$ 改变了什么

原系统闭环特征方程可以写成：

$$s^2 + (0.2 + T_a)s + 1 = 0$$

对比标准二阶系统 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$，可以看出 $\omega_n = 1$ 固定，而 $T_a$ 改变的是 $s$ 一次项系数，也就是系统的阻尼。研究 $T_a$ 的参数根轨迹，本质上就是研究：

$$T_a \uparrow \quad \Longrightarrow \quad \text{闭环极点如何移动} \quad \Longrightarrow \quad \text{系统阻尼如何变化}$$

五、三步记忆法

遇到参数根轨迹题，步骤可以固定为三步：

第一步，写出闭环特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$，展开整理。

第二步，把特征方程整理成

$$A(s) + \alpha B(s) = 0$$

其中 $\alpha$ 是变化参数，$A(s)$ 是不含 $\alpha$ 的部分，$B(s)$ 是 $\alpha$ 的系数。

第三步，两边除以 $A(s)$，化成

$$1 + \alpha \frac{B(s)}{A(s)} = 0$$

$\dfrac{B(s)}{A(s)}$ 就是等效开环传递函数，$\alpha$ 就是新的根轨迹增益，之后按普通根轨迹规则处理即可。