❌ 例 3.28 非常重要！见到根号下出现三角函数——无脑配成完全平方！

$$\sqrt{1-\sin x} =\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} =\sqrt{\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2} =\left|\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right|$$ $$\sqrt{1+\sin x} =\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} =\sqrt{\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2} =\left|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right|$$

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由半角公式推导：

$$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2} \Rightarrow \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \Rightarrow 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$ $$\sqrt{1-\cos x}=\sqrt{2\sin^2\frac{x}{2}}=\sqrt{2}\left|\sin\frac{x}{2}\right|$$ $$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2} \Rightarrow \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \Rightarrow 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$ $$\sqrt{1+\cos x}=\sqrt{2\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{2}\left|\cos\frac{x}{2}\right|$$

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❌ 例 3.29 非常重要！20 年数二和 24 年数一均考察过此知识点！

$$\int\sqrt{1+x^2}\,dx \xlongequal{x=\tan t} \boxed{\int\sec^3 t\,dt} =\int\sec t\,d(\tan t)$$

辅助关系：

$$d(\tan t)=\sec^2t\,dt,\qquad 1+\tan^2t=\sec^2t,\qquad \tan t=x,\qquad \sec t=\frac{1}{\cos t}=\sqrt{1+x^2}$$

对 $\displaystyle\int\sec t\,d(\tan t)$ 施行分部积分（令 $u=\sec t$，$v=\tan t$），注意 $d(\sec t)=\sec t\tan t\,dt$：

$$=\sec t\cdot\tan t-\int\tan^2 t\cdot\sec t\,dt$$

利用 $\tan^2t=\sec^2t-1$：

$$=\sec t\tan t-\int(\sec^2t-1)\sec t\,dt$$ $$=\sec t\tan t-\int\sec^3t\,dt+\int\sec t\,dt$$ $$=\sec t\tan t-\int\sec^3t\,dt+\ln|\sec t+\tan t|+C$$

移项，两边含 $\displaystyle\int\sec^3t\,dt$ 合并：

$$2\int\sec^3t\,dt=\sec t\tan t+\ln|\sec t+\tan t|+C$$ $$\int\sec^3t\,dt=\frac{1}{2}\sec t\tan t+\frac{1}{2}\ln|\sec t+\tan t|+C$$

回代 $\tan t=x$，$\sec t=\sqrt{1+x^2}$：

$$\int\sqrt{1+x^2}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln\!\left|x+\sqrt{1+x^2}\right|+C$$

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不需背诵结论，要掌握推导过程！

$$\boxed{\int\sec^3t\,dt=\frac{1}{2}\sec t\tan t+\frac{1}{2}\ln|\sec t+\tan t|+C}$$