5.4 对位置求偏导和对变量求偏导

对变量求偏导，要先对位置求偏导，再乘以这个位置上的元素对该变量的偏导。

来源：邂逅遗憾 27 考研数学思维课，第五章“多元微分”，资料页 356。本文严格保留资料中的概念说明与公式。

一、两个不同的概念

在讲解多元微分的具体计算题目之前，本小节介绍一个很多同学觉得云里雾里的知识点：对位置求偏导和对变量求偏导的差别。

设多元函数

$$z=f(\text{狗},\text{猫}),$$

其中“狗”和“猫”均为 $x$ 和 $y$ 的函数，则其求偏导的运算法则如下：

$$\frac{\partial z}{\partial x} =f_x'(\text{狗},\text{猫}) =\frac{\partial f(\text{狗},\text{猫})}{\partial x} =f_1'(\text{狗},\text{猫})\frac{\partial\text{狗}}{\partial x} +f_2'(\text{狗},\text{猫})\frac{\partial\text{猫}}{\partial x},$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} =f_y'(\text{狗},\text{猫}) =\frac{\partial f(\text{狗},\text{猫})}{\partial y} =f_1'(\text{狗},\text{猫})\frac{\partial\text{狗}}{\partial y} +f_2'(\text{狗},\text{猫})\frac{\partial\text{猫}}{\partial y}.$$

这就是多元复合函数的链式求导法则。

用语言描述：对变量求偏导，要先对位置求偏导，再乘以这个位置上的元素对变量的偏导。

二、两个位置都依赖于变量

对于多元函数

$$z=f\left(xy,\frac yx\right)$$

来说，两端同时对 $x$ 求偏导，有

$$\frac{\partial z}{\partial x} =f_x'\left(xy,\frac yx\right),$$

其中

$$\begin{aligned} f_x'\left(xy,\frac yx\right) &=\frac{\partial f\left(xy,\frac yx\right)}{\partial x}\\ &=f_1'\left(xy,\frac yx\right)\frac{\partial(xy)}{\partial x} +f_2'\left(xy,\frac yx\right)\frac{\partial(y/x)}{\partial x}\\ &=y f_1'\left(xy,\frac yx\right) -\frac{y}{x^2}f_2'\left(xy,\frac yx\right). \end{aligned}$$

这里对变量 $x$ 求偏导时，两个位置都随 $x$ 变化，所以必须使用链式法则。

三、特殊情形：位置恰好是独立变量

对于多元函数

$$z=f(x,y)$$

来说，若 $x$ 和 $y$ 是两个独立的自由变量，两端同时对 $x$ 求偏导，有

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x'(x,y),$$

其中

$$\begin{aligned} f_x'(x,y) &=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\ &=f_1'(x,y)\frac{\partial x}{\partial x} +f_2'(x,y)\frac{\partial y}{\partial x}\\ &=f_1'(x,y)\times1+f_2'(x,y)\times0\\ &=f_1'(x,y). \end{aligned}$$

同理，

$$f_y'(x,y) =f_1'(x,y)\frac{\partial x}{\partial y} +f_2'(x,y)\frac{\partial y}{\partial y} =f_2'(x,y).$$

即在这种特殊情况下，才有

$$f_x'(x,y)=f_1'(x,y), \qquad f_y'(x,y)=f_2'(x,y).$$

因此，对变量求偏导和对位置求偏导完全是两个概念。仅在形如 $f(x,y)$、且 $x,y$ 为独立自由变量这种特殊函数情形下，二者的记号才恰好相等。