表达式分了三段，此题为考研历史最难的多元函数概念题。正确的是 ①、③、④，共 3 个，选 B。

①

$$f_x'(0,0) =\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}x =\lim_{x\to0}\frac{x-0}{x}=1.$$

③ 取所有路径：

• $x\ne0,\ y\ne0$ 时，$f(x,y)=xy\to0$；
• $y=0$ 时，$f(x,0)=x\to0$；
• $x=0$ 时，$f(0,y)=y\to0$。

故重极限为 $0$。

④ 这是累次极限。先令 $x\to0$，此时外层尚要求 $y\to0$，内层计算时应把 $y$ 看成一个固定的非零常数，故

$$\lim_{x\to0}f(x,y)=\lim_{x\to0}xy=0\qquad(y\ne0),$$

再令 $y\to0$，仍得 $0$。不能在内层极限中取 $y=0$ 这条路径。

② 去心邻域内表达式分段，求混合偏导要用定义。先有

$$f_x'(0,y) =\lim_{x\to0}\frac{f(x,y)-f(0,y)}x.$$

当 $y\neq 0$ 时，$f(x,y)=xy$、$f(0,y)=y$，所以

$$f_x'(0,y) =\lim_{x\to0}\frac{xy-y}{x}$$

不存在。因此 $f_x'(0,y)$ 在 $y\neq 0$ 时即不存在，进而 $f_{xy}''(0,0)$ 不存在，结论 ② 错误。

选 C。题目表达式实际上也分了三段：$xy=0$ 代表 $x=0$ 或 $y=0$。判断 $f_x'$ 是否连续时，不能只讨论 $xy\neq 0$。

由定义，

$$f_x'(0,0) =\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}x=0,$$

同理 $f_y'(0,0)=0$。

判断可微：

$$\left| \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le\sqrt{x^2+y^2}\to0$$

（当 $xy=0$ 时商本身为 $0$），故 $f$ 在原点可微。

下面求 $f_x'(x,y)$。

当 $xy\neq 0$ 时，该点去心邻域内表达式不变，可用公式：

$$f_x'(x,y) =2x\sin\frac1{xy} -\frac{x^2+y^2}{x^2y}\cos\frac1{xy}.$$

当 $y=0$ 时，用定义：

$$f_x'(x,0) =\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x,0)-f(x,0)}{\Delta x}=0.$$

当 $x=0,\ y\neq 0$ 时，

$$\begin{aligned} f_x'(0,y) &=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x,y)-f(0,y)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0} \frac{[(\Delta x)^2+y^2]\sin(1/\Delta xy)}{\Delta x}, \end{aligned}$$

该极限不存在。

因此

$$f_x'(x,y)= \begin{cases} 2x\sin\dfrac1{xy} -\dfrac{x^2+y^2}{x^2y}\cos\dfrac1{xy},&xy\neq 0,\\ 0,&y=0,\\ \text{不存在},&x=0,\ y\neq 0. \end{cases}$$

原点任意邻域内都存在 $f_x'$ 无定义的点，所以 $f_x'$ 在原点不连续。

资料特别指出：教育部官方考试分析只讨论 $xy\neq 0$ 的情形，遗漏了坐标轴上的情形。

应选 D。

思路分析

可微 $\Rightarrow$ 连续，利用逆否命题可知：不连续 $\Rightarrow$ 不可微。

$f_x'$ 和 $f_y'$ 均连续 $\Rightarrow$ 可微，利用逆否命题可知：不可微 $\Rightarrow$ $f_x'$ 和 $f_y'$ 至少有一个不连续。

本题中 $x$ 和 $y$ 具有对称性（互换 $x$ 和 $y$，函数不发生变化），所以 $f_x'$ 和 $f_y'$ 的连续性相同。只要证明函数不可微，就可判断两个偏导数均不连续，选择 D。

严格证明

先求原点处的偏导数：

$$f_x'(0,0) =\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{x^2-0}{x} =0.$$

同理，由对称性可得 $f_y'(0,0)=0$，故原点处的全微分为 $dz=0$。

判断可微时，考察

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-dz}{\rho} = \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)} {\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}.$$

沿三类路径分别有

$$\begin{aligned} \Delta y=0&:\quad \frac{(\Delta x)^2}{|\Delta x|}\to0,\\ \Delta x=0&:\quad \frac{(\Delta y)^2}{|\Delta y|}\to0,\\ \Delta y=\Delta x\ne0&:\quad \frac{1}{\sqrt2\,|\Delta x|}\to+\infty. \end{aligned}$$

因此上述极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不可微。

下面判断 $f_x'$ 的连续性。先由定义求 $f_x'(x,y)$：

• 当 $xy\ne0$ 时，某点去心邻域内表达式不变，可用公式法，$f_x'(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(1)=0$。
• 当 $y=0$ 时，

$$f_x'(x,0) =\lim_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =2x.$$

• 当 $x=0,\ y\ne0$ 时，

$$f_x'(0,y) =\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x,y)-f(0,y)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{1-y^2}{\Delta x}.$$

当 $y=\pm1$ 时，该极限为 $0$；当 $y\ne\pm1$ 时，该极限不存在。因此

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \begin{cases} 2x,&y=0,\\ \text{不存在},&x=0,\ y\ne0,\pm1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

同理，

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \begin{cases} 2y,&x=0,\\ \text{不存在},&y=0,\ x\ne0,\pm1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 在 $(0,0)$ 的任意邻域内都有无定义的点，故在该点处不连续；同理，$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在该点处也不连续。

也可以直接由函数连续性判断：

$$\lim_{\substack{x\to0\\y=0}}f(x,y) =\lim_{x\to0}x^2 =0, \qquad \lim_{\substack{x\to0\\y=x}}f(x,y) =1.$$

两条路径的极限不同，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续，从而在该点处不可微。综上，两个偏导数均不连续，且函数不可微，选择 D。