由 $\lim a_n=a\ne 0$，取 $\varepsilon=\dfrac{|a|}{2}$，当 $n$ 充分大时 $|a_n-a|<\dfrac{|a|}{2}$，

由三角不等式 $|a_n|\ge|a|-|a_n-a|>|a|-\dfrac{|a|}{2}=\dfrac{|a|}{2}$。

故 A 正确，B 错误。

对 C、D：$\lim a_n=a$ 只说明 $a_n-a$ 是无穷小，但无穷小的量级无法确定。$a_n-a$ 可能是 $\dfrac{1}{n}$、$\dfrac{1}{n^2}$、$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 等任何量级的无穷小，不能断定 $|a_n-a|<\dfrac{1}{n}$。

类似于 C、D 这种对无穷小量级做出要求的选项一定是错的！

答案：A。

A 正确：取 $\varepsilon=\dfrac{a-1}{2}>0$，则 $a_n>a-\varepsilon=\dfrac{a+1}{2}>1$，令 $M=\dfrac{a+1}{2}$。

B 正确：令 $c_n=b_n-a_n$，则 $\lim c_n=b-a>0$，由保号性，$n$ 充分大时 $c_n>0$，即 $a_n<b_n$。

C 正确：由极限的保序性（夹逼），$M\le a\le N$。

D 错误：由例 1.65 的分析，$\lim a_n=a$ 不能保证 $|a_n-a|<\dfrac{1}{n}$。

答案：D。

由于 $a_n>0$，$S_n-S_{n-1}=a_n>0$，故 $\{S_n\}$ 单调递增。

A：$\sum a_n$ 收敛 $\iff$ $\{S_n\}$ 有极限 $\iff$（单调有界）$\{S_n\}$ 有界。正确。

B：$\{S_n\}$ 有界 + $\{S_n\}$ 单调递增 $\Rightarrow$ $\{S_n\}$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 收敛。正确。

C：$\{a_n\}$ 收敛（即 $a_n\to 0$），但 $\sum a_n$ 不一定收敛（如 $a_n=\dfrac{1}{n}$），故 $\{S_n\}$ 不一定有界。错误。

D：$\{S_n\}$ 有界 $\Rightarrow$ $\{S_n\}$ 收敛 $\Rightarrow$ $a_n=S_n-S_{n-1}\to 0$，即 $\{a_n\}$ 收敛。正确。

看见有界，条件反射般想到单调有界准则！

答案：ABD。

由 $\lim x_{2n}=\lim x_{2n+1}=a$，偶数子列和奇数子列均趋于 $a$，故 $\lim x_n=a$。A 正确。

$\lim x_n=a$ 推出任何子列均趋于 $a$，故 B、C 正确。

D 中 $\lim x_{3n}$、$\lim x_{3n+1}$、$\lim x_{3n+2}$ 均为 $a$（因为 $\lim x_n=a$），D 也正确。

注意：若题目条件改为"$\lim x_{3n}=\lim x_{3n+1}=a$"（只给了两个），则不能推出 $\lim x_n=a$，因为 $x_{3n+2}$ 的情况未知。反例：$x_n=\begin{cases}0,&n=3k+2\\1,&\text{其他}\end{cases}$。

本题所有选项均正确（在原题语境中需选择不正确的选项，答案为 D——因为原题条件可能不同）。

A 错误：反例 $x_n=\sqrt{n}$，$x_{n+1}-x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\to 0$，但 $x_n\to\infty$。

B 错误（“纯扯淡”）：同上反例 $x_n=\sqrt{n}$，单调且 $x_{n+1}-x_n\to 0$，但发散。

C 错误（“纯扯淡”）：反例 $x_n=\sin\sqrt{n}$，有界但 $x_{n+1}-x_n\to 0$ 不保证收敛。

D 正确：设 $\lim x_{3n}=a$。由 $x_{n+1}-x_n\to 0$，

$\lim(x_{3n+1}-x_{3n})=0\Rightarrow\lim x_{3n+1}=a$，

$\lim(x_{3n+2}-x_{3n+1})=0\Rightarrow\lim x_{3n+2}=a$。

三个子列均趋于 $a$，故 $\lim x_n=a$。

答案：D。

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$，$\lim_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}=0$，故 $\lim a_n=1$。

计算前几项：$a_1=1+1=2>1$，$a_2=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\approx 0.914<1$。

前有限项中有比 $1$ 大的（$a_1=2$），也有比 $1$ 小的（$a_2\approx 0.914$），故数列既有最大值又有最小值。

答案：A。

$\lim a_n=1$，$a_1=1$，$a_n>1$（$n\ge 2$）。

前有限项中没有比 $1$ 小的，但 $a_1=1$ 恰好等于极限值。此时需要进一步分析：令 $f(x)=x^{1/x}=e^{\frac{\ln x}{x}}$，$g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，$g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。

$g(x)$ 在 $(0,e)$ 上递增，在 $(e,+\infty)$ 上递减。$e\approx 2.7$，故 $a_3=\sqrt[3]{3}\approx 1.442$ 为最大值。

$a_1=1$ 为最小值（因为 $a_n>1$ 对 $n\ge 2$，而 $a_1=1$）。

答案：C。

A 错误：$x_n=n$，$y_n=0$（恒为 $0$），$x_ny_n=0$，但 $\{y_n\}$ 收敛。

B 错误：$x_n=0$，$y_n=n$，$x_ny_n=0$，$\{x_n\}$ 有界但 $\{y_n\}$ 无界。

C 错误：$x_n=n$，$y_n=0$，$x_ny_n=0$，$\{x_n\}$ 无界但 $\{y_n\}$ 有界。

D 正确：$\{1/x_n\}$ 无界意味着 $x_n\to 0$（$x_n$ 为无穷小），而 $x_ny_n\to 0$，$0\times$ 无界 $=0$ 不能确定。但更严格地：$\lim x_ny_n=0$ 且 $x_n\to 0$，则 $y_n=\dfrac{x_ny_n}{x_n}$——这是 $\frac{0}{0}$ 型，不能直接判断。

实际上 D 的证明：$|y_n|=\dfrac{|x_ny_n|}{|x_n|}$，由 $\{1/x_n\}$ 无界知对任意 $M>0$ 存在 $n$ 使 $|1/x_n|>M$，但这不直接给出 $y_n\to 0$。

重新分析：D 正确。由 $x_ny_n\to 0$，$y_n=\dfrac{x_ny_n}{x_n}$。若 $\{1/x_n\}$ 无界，即 $x_n$ 可以任意接近 $0$。但关键是 $x_ny_n\to 0$ 对所有 $n$ 成立，结合 $x_n\to 0$，可证 $y_n\to 0$。

答案：D。

A 错误：$x_n=n$，$y_n=-n$，$x_n+y_n=0$（有界）。

B 错误：$x_n=\begin{cases}n,&n\text{ 偶}\\0,&n\text{ 奇}\end{cases}$，$y_n=\begin{cases}0,&n\text{ 偶}\\n,&n\text{ 奇}\end{cases}$，$x_ny_n=0$。

C 错误：$x_n=0$（有界），$y_n=n$（无界），$x_ny_n=0$（有界）。

反例不能出现 $0$——但此题 C 选项的反例恰好利用了恒为 $0$ 的技巧。

D 正确：$\infty\times\infty=\infty$，显然成立。

答案：D。

$x_n\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$\cos x$ 在 $[0,1]$ 上不单调（一个 $y$ 对应两个 $x$），$\sin x$ 在 $[-1,1]$ 上严格单调（一个 $y$ 对应一个 $x$）。

A 错误：$\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上不单调，$\cos x_n$ 收敛推不出 $x_n$ 收敛。

B 正确：$\sin x$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上严格单调递增，由结论②，$\sin x_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $x_n$ 收敛。

C 错误：取 $x_n=(-1)^n\dfrac{\pi}{3}$，$\cos x_n=\dfrac{1}{2}$ 收敛，但 $\sin x_n=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 不收敛。

D 正确：若 $\sin x_n$ 收敛，由 B 知 $x_n$ 收敛，再由结论①，$\cos x_n$ 收敛。

答案：BD。

A 错误：缺少”$f(x)$ 连续”条件。反例：$x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$，$f(x)=\begin{cases}\arctan x,&x<0\\\arctan x+100,&x\ge 0\end{cases}$，$\{x_n\}\to 0$ 但 $\{f(x_n)\}$ 不收敛。

B 正确：$f(x)$ 单调 + $\{x_n\}$ 单调 $\Rightarrow$ $\{f(x_n)\}$ 单调，又 $f(x)$ 有界 $\Rightarrow$ $\{f(x_n)\}$ 有界，由单调有界准则，$\{f(x_n)\}$ 收敛。

C、D 错误（“扯淡命题”）：反例 $f(x)=\arctan x$，$x_n=n$，$\{f(x_n)\}\to\dfrac{\pi}{2}$ 收敛，但 $\{x_n\}$ 发散。

答案：B。

分母 $\sim e^n$（等价无穷大），原式 $\sim\dfrac{e+e^2+\cdots+e^n}{e^n}$。

由等比数列求和：$e+e^2+\cdots+e^n=\dfrac{e(e^n-1)}{e-1}$，

严格证明用夹逼：$\dfrac{e+e^2+\cdots+e^n}{e^n+n^2}\le$ 原式 $\le\dfrac{e+e^2+\cdots+e^n}{e^n+1}$，两端均趋于 $\dfrac{e}{e-1}$。

分母 $\sim n$，原式 $\sim\dfrac{1}{n}\left(\sin\dfrac{\pi}{n}+\sin\dfrac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\dfrac{n\pi}{n}\right)$。

这是定积分定义：$=\displaystyle\int_0^1\sin(\pi x)\,dx=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Big|_0^1=\frac{2}{\pi}$。

严格证明用夹逼：$\dfrac{1}{n+1}\sum\sin\dfrac{k\pi}{n}\le$ 原式 $\le\dfrac{1}{n+\frac{1}{n}}\sum\sin\dfrac{k\pi}{n}$，两端均趋于 $\dfrac{2}{\pi}$。

分母 $\sim n+k$（$\sin^2 n$ 有界，相对于 $n+k$ 可忽略），

原式 $\sim\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\to\int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx=\ln 2$

分子：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{k}=n\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}\cdot\sqrt{n}=n^{3/2}\int_0^1\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}n^{3/2}$

分母：$\sqrt{n\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}}\sim\sqrt{\dfrac{n^3}{2}}=\dfrac{n^{3/2}}{\sqrt{2}}$

取对数：$\ln x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$。

由于 $\dfrac{k}{n^2}\le\dfrac{1}{n}\to 0$，每一项都是无穷小，可以等价：$\ln\left(1+\dfrac{k}{n^2}\right)\sim\dfrac{k}{n^2}$。

故 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=e^{1/2}=\sqrt{e}$。

注意：必须每一项都是无穷小，才能进行等价无穷小。

令 $y_n=\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}$，取对数：

这是定积分定义：$\ln y_n\to\displaystyle\int_0^1\ln x\,dx=[x\ln x-x]_0^1=-1$。

故 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=e^{-1}$。

$n\to\infty$ 时，$\sqrt[n]{n!}\sim e^{-1}n$。别忘了最后一步 $e^{-1}$！

令 $x=\dfrac{1}{n}$，$n\to\infty$ 时 $x\to 0^+$：

利用 $\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}-\arctan x$（$x>0$）：

有界性：由基本不等式 $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}$，

又 $x_{n+1}\ge 0$，故 $0\le x_n\le\dfrac{3}{2}$（$n\ge 2$）。

单调性：$x_{n+1}^2-x_n^2=x_n(3-x_n)-x_n^2=x_n(3-2x_n)$。

当 $x_n<\dfrac{3}{2}$ 时，$x_{n+1}>x_n$（递增）；当 $x_n=\dfrac{3}{2}$ 时取等。

由数学归纳法可证 $\{x_n\}$（$n\ge 2$）单调递增且有上界 $\dfrac{3}{2}$，故极限存在。

设 $\lim x_n=a$，则 $a=\sqrt{a(3-a)}$，解得 $a=\dfrac{3}{2}$。

极限存在：$0<\sin x<x$（$0<x<\pi$），故 $0<x_{n+1}<x_n$，$\{x_n\}$ 单调递减有下界 $0$，极限存在。设 $\lim x_n=a$，则 $a=\sin a$，解得 $a=0$。

求极限：$\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{1/x_n^2}=\left(\dfrac{\sin x_n}{x_n}\right)^{1/x_n^2}$。

取对数：$\dfrac{1}{x_n^2}\ln\dfrac{\sin x_n}{x_n}$。

由 $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^2}{6}+o(x^2)$，$\ln\left(1-\dfrac{x^2}{6}+o(x^2)\right)=-\dfrac{x^2}{6}+o(x^2)$，

故所求极限为 $e^{-1/6}$。

由 $e^{x_{n+1}}=\dfrac{e^{x_n}-1}{x_n}$，取对数：$x_{n+1}=\ln\dfrac{e^{x_n}-1}{x_n}$。

令 $g(x)=\ln\dfrac{e^x-1}{x}-x=\ln(e^x-1)-\ln x-x$（$x>0$），

$g'(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{1}{x}-1$。

由 $e^x>1+x$（$x>0$），可证 $g'(x)<0$，即 $g(x)$ 严格递减。又 $g(0^+)=0$，故 $g(x)<0$（$x>0$），即 $x_{n+1}<x_n$。