反常积分的计算

核心技巧

反常积分计算的核心原则是：取不到端点就取极限；内部有奇点就拆开。

做题时按下面几条走：

1. 端点无定义：把端点改成字母，再让字母趋向端点。
2. 端点是无穷：把 $+\infty$ 或 $-\infty$ 改成字母，先在有限区间上算，最后取极限。
3. 区间内部有奇点：不能直接套牛顿莱布尼茨公式，必须在奇点处分成左右两段。
4. 左右两段分别取极限：只有两边都存在，原反常积分才存在。
5. 前期运算保留字母：不要提前把无穷或奇点代进去，最后一步再取极限。

一句话：

端点取不到就取极限，内部断开就左右拆分。

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一、端点无定义：取不到端点就取极限

若积分区间端点为无定义点，则计算原则为：

取不到端点就取极限。

例如：

$$\int_0^1 \ln x\,dx.$$

因为 $x=0$ 处无定义，所以应写成

$$\int_0^1 \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+}\int_a^1 \ln x\,dx.$$

而

$$\int \ln x\,dx=x\ln x-x.$$

所以

$$\int_0^1 \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+} \left[ x\ln x-x \right]_a^1.$$

于是

$$\int_0^1 \ln x\,dx = \lim_{a\to0^+} \left[ (1\cdot\ln1-1)-(a\ln a-a) \right].$$

由于

$$\lim_{a\to0^+}a\ln a=0,$$

所以

$$\int_0^1 \ln x\,dx = -1.$$

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二、无穷端点：例 3.95（2023 李六）

取不到端点，就取极限。

上限为无穷时，把上限写成字母 $b$，前期运算保留 $b$，最后一步取极限。

解答题例题 1

计算：

$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x}\,dx.$$

解答

设

$$I= \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x}\,dx.$$

由于上限为 $+\infty$，所以

$$I = \lim_{b\to+\infty} \int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x}\,dx.$$

又

$$\ln\frac{x+1}{x} = \ln(x+1)-\ln x.$$

所以

$$I = \lim_{b\to+\infty} \left[ \int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln(x+1)\,dx - \int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln x\,dx \right].$$

先分别运算，最后一步再取极限

先算

$$\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln(x+1)\,dx.$$

分部积分：

$$\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln(x+1)\,dx = 2\sqrt{x}\ln(x+1)\Big|_1^b - 2\int_1^b \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx.$$

其中

$$\int_1^b \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx$$

令

$$t=\sqrt{x}.$$

则

$$x=t^2,\qquad dx=2t\,dt.$$

于是

$$\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = \int \frac{t}{t^2+1}\cdot2t\,dt = 2\int \frac{t^2}{t^2+1}\,dt.$$

继续化简：

$$2\int \frac{t^2}{t^2+1}\,dt = 2\int \left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt = 2t-2\arctan t.$$

所以

$$2\int_1^b \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = 2\left[ 2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x} \right]_1^b.$$

因此

$$\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln(x+1)\,dx = 2\sqrt{b}\ln(b+1)-2\ln2 - \left(4\sqrt{b}-4\arctan\sqrt{b}+4-\pi\right).$$

再算

$$\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln x\,dx.$$

分部积分：

$$\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln x\,dx = 2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^b - 2\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.$$

所以

$$\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}}\ln x\,dx = 2\sqrt{b}\ln b - 4\sqrt{b} + 4.$$

因此

$$I = \lim_{b\to+\infty} \left[ 2\sqrt{b}\ln(b+1)-2\ln2 - \left(4\sqrt{b}-4\arctan\sqrt{b}+4-\pi\right) - \left(2\sqrt{b}\ln b-4\sqrt{b}+4\right) \right].$$

整理得：

$$I = \lim_{b\to+\infty} \left[ 2\sqrt{b}\ln\frac{b+1}{b} + 4\arctan\sqrt{b} -8 -2\ln2 +\pi \right].$$

因为

$$2\sqrt{b}\ln\frac{b+1}{b} = 2\sqrt{b}\ln\left(1+\frac1b\right) \to0,$$

且

$$\arctan\sqrt{b}\to\frac{\pi}{2}.$$

所以

$$I = 0+4\cdot\frac{\pi}{2}-8-2\ln2+\pi.$$

最终

$$\boxed{ I=3\pi-8-2\ln2 }$$

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三、内部奇点：例 3.96（2023 李六）

牛顿莱布尼茨公式的使用前提是被积函数在区间上连续。

所以：

区间内部若出现无定义点，要进行拆分。

拆成两部分分别取极限计算。

解答题例题 2

设

$$f(x)=\arctan\frac{x+1}{x-1}.$$

计算

$$\int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx.$$

解答

因为 $x=1$ 为奇点，于是

$$\int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = \int_0^1 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx + \int_1^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx.$$

错误做法

不能直接写：

$$\int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = \left[ -\frac{1}{f(x)} \right]_0^2.$$

也就是不能直接得到

$$-\frac{1}{f(2)}+\frac{1}{f(0)}.$$

因为 $x=1$ 是内部奇点，区间 $[0,2]$ 上被积函数不连续，不能直接套用牛顿莱布尼茨公式。

正确做法

由于

$$\int \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = -\frac{1}{f(x)},$$

所以

$$\int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = \int_0^1 \frac{d[f(x)]}{f^2(x)} + \int_1^2 \frac{d[f(x)]}{f^2(x)}.$$

于是

$$\int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = -\frac1{f(x)}\Big|_0^{1^-} - \frac1{f(x)}\Big|_{1^+}^{2}.$$

即

$$= -\lim_{x\to1^-}\frac1{f(x)} + \frac1{f(0)} - \frac1{f(2)} + \lim_{x\to1^+}\frac1{f(x)}.$$

下面计算各项。

首先

$$f(0) = \arctan\frac{0+1}{0-1} = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

其次

$$f(2) = \arctan\frac{2+1}{2-1} = \arctan3.$$

当 $x\to1^-$ 时，

$$\frac{x+1}{x-1}\to-\infty,$$

所以

$$f(x)\to-\frac{\pi}{2}.$$

因此

$$-\lim_{x\to1^-}\frac1{f(x)} = -\frac1{-\frac{\pi}{2}} = \frac2\pi.$$

当 $x\to1^+$ 时，

$$\frac{x+1}{x-1}\to+\infty,$$

所以

$$f(x)\to\frac{\pi}{2}.$$

因此

$$\lim_{x\to1^+}\frac1{f(x)} = \frac1{\frac{\pi}{2}} = \frac2\pi.$$

又

$$\frac1{f(0)} = \frac1{-\frac{\pi}{4}} = -\frac4\pi,$$

并且

$$-\frac1{f(2)} = -\frac1{\arctan3}.$$

所以

$$\int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = \frac2\pi-\frac4\pi-\frac1{\arctan3}+\frac2\pi.$$

最终

$$\boxed{ \int_0^2 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx = -\frac1{\arctan3} }$$

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最终模板

计算反常积分时，先不要急着套牛顿莱布尼茨公式。

按下面顺序检查：

1. 端点是否无定义：若无定义，端点改字母，最后取极限。
2. 端点是否无穷：若为无穷，上限或下限改字母，最后取极限。
3. 区间内部是否有奇点：若有奇点，必须在奇点处分段。
4. 每一段分别计算极限：不能用左右两边直接抵消。
5. 两段都存在，原反常积分才存在。

核心口诀：

端点取不到就取极限，内部断开就左右拆分。