伯德图的基本概念与典型环节

下面沿着一条逻辑线理解伯德图：为什么研究频率响应，为什么取对数，为什么出现斜率，为什么在某些频率处改变斜率，以及为什么能用渐近直线近似。

横坐标按对数频率分度，因此不存在频率为零的点；每经过一个十倍频程，渐近线斜率按该环节的零、极点类型发生固定变化。

一、从频率响应理解伯德图

设稳定线性定常系统的传递函数为 $G(s)$。给系统输入频率为 $\omega$ 的正弦信号

$$u(t)=A\sin\omega t.$$

在零状态响应下，暂态过程消失以后，输出仍然是同频率的正弦信号：

$$y(t)=A|G(j\omega)|\sin\left[\omega t+\varphi(\omega)\right].$$

系统只改变两件事：振幅和相位。其中，$|G(j\omega)|$ 表示振幅被放大或衰减多少倍，

$$\varphi(\omega)=\arg G(j\omega)$$

表示输出相对输入超前或滞后多少。

伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线构成。

曲线表示在半对数坐标中：横坐标按照对数 $\lg\omega$ 进行均匀分度，单位为 $\mathrm{rad/s}$；纵坐标按线性分度。其中，对数幅频特性曲线的纵坐标按

$$L(\omega)=20\lg A(\omega)$$

线性分度，单位为分贝（$\mathrm{dB}$）；对数相频特性曲线的纵坐标依据

$$\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)$$

进行线性分度，单位为度（$^\circ$）。

注意：横坐标只存在大于零的部分。横坐标是对数分度，不可能存在频率为零的情况。

所谓一个十倍频程（dec），是指频率扩大 10 倍，例如从 $0.1$ 到 $1$、从 $1$ 到 $10$，或从 $8$ 到 $80$。

二、为什么要取对数

直接画 $|G(j\omega)|$ 并非不可以，但有三个明显问题。

1. 频率范围太宽

工程系统的频率常跨越很多数量级，例如

$$0.01, 0.1, 1, 10, 100, 1000.$$

如果采用普通线性横轴，低频部分会全部挤在左侧。改用对数频率轴后，从 $0.01$ 到 $0.1$、从 $0.1$ 到 $1$、从 $1$ 到 $10$ 在图上具有相同长度，因此能在一张图中观察很宽的频率范围。

2. 乘除关系可以变成加减关系

复杂传递函数通常是若干基本因子的乘积。例如

$$G(s)=K\frac{1+s/\omega_z}{s(1+s/\omega_{p1})(1+s/\omega_{p2})}.$$

其幅值为

$$|G(j\omega)| =K\frac{|1+j\omega/\omega_z|} {\omega|1+j\omega/\omega_{p1}||1+j\omega/\omega_{p2}|}.$$

取对数后

$$\begin{aligned} 20\lg|G(j\omega)| ={}&20\lg K+20\lg|1+j\omega/\omega_z|\\ &-20\lg\omega-20\lg|1+j\omega/\omega_{p1}|\\ &-20\lg|1+j\omega/\omega_{p2}|. \end{aligned}$$

乘法变成加法，除法变成减法。复杂系统便可以拆成若干基本环节，分别作图后再纵向相加。

3. 幂函数在对数坐标中变成直线

许多基本环节在低频或高频时都可以写成

$$|G(j\omega)|\approx C\omega^n.$$

取分贝后

$$\begin{aligned} L(\omega) &=20\lg|G(j\omega)|\\ &\approx20\lg C+20n\lg\omega. \end{aligned}$$

令 $x=\lg\omega$，便得到

$$L=20\lg C+20nx,$$

这正是直线方程 $y=b+kx$。因此伯德图中的直线并非人为规定，而是幂函数经过对数变换后的自然结果，其斜率为

$$20n\,\mathrm{dB/dec}.$$

三、斜率、转折频率与渐近直线

1. 斜率表示什么

伯德幅频图的横轴是 $\lg\omega$，纵轴是分贝，因此斜率表示频率增加十倍时，幅值的分贝数变化多少。

例如斜率为 $-20\,\mathrm{dB/dec}$，表示 $\omega\to10\omega$ 时幅值下降 $20\,\mathrm{dB}$。由于

$$20\lg0.1=-20\,\mathrm{dB},$$

这也表示幅值变成原来的十分之一。

对于 $|G(j\omega)|=C\omega^n$，有

$$\lg(10\omega)=\lg\omega+1,$$

所以一个十倍频程内

$$\Delta L=20n\,\mathrm{dB}.$$

因此 $n=1,-1,2,-2$ 时，斜率依次为 $20,-20,40,-40\,\mathrm{dB/dec}$。极点和零点通常以一次、二次因子出现，这就是斜率经常为 $20\,\mathrm{dB/dec}$ 整数倍的原因。

2. 转折频率从哪里来

以一阶极点为例：

$$G(s)=\frac{1}{1+s/\omega_p}.$$

令 $s=j\omega$，得到

$$|G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_p)^2}},$$ $$L(\omega)=-10\lg\left[1+\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2\right].$$

当 $\omega\ll\omega_p$ 时，$(\omega/\omega_p)^2\ll1$，常数项占主导：

$$|G(j\omega)|\approx1, \qquad L(\omega)\approx0\,\mathrm{dB}.$$

当 $\omega\gg\omega_p$ 时，频率项占主导：

$$|G(j\omega)|\approx\frac{\omega_p}{\omega},$$ $$L(\omega)\approx-20\lg\frac{\omega}{\omega_p},$$

斜率为 $-20\,\mathrm{dB/dec}$。

两种主导关系的交界位置满足 $\omega/\omega_p=1$，所以

$$\omega=\omega_p.$$

这就是转折频率：传递函数中常数项和频率项大小相当的位置。在此之前频率项影响很小，在此之后频率项开始占主导。

3. 极点和零点为什么改变斜率

一阶零点

$$1+\frac{s}{\omega_z}$$

在低频时近似为 $1$，斜率为零；在高频时近似为 $j\omega/\omega_z$，相当于增加一个 $\omega^1$，所以使斜率增加 $20\,\mathrm{dB/dec}$。

一阶极点

$$\frac{1}{1+s/\omega_p}$$

在高频时近似为 $\omega_p/(j\omega)$，相当于增加一个 $\omega^{-1}$，所以使斜率减少 $20\,\mathrm{dB/dec}$。

可以简记为：零点向上拐，极点向下拐。

4. 渐近直线及其误差

“渐近”表示频率远离转折频率时，真实曲线越来越接近近似直线。一阶极点的渐近幅频特性为

$$L_a(\omega)= \begin{cases} 0, & \omega<\omega_p,\\[4pt] -20\lg(\omega/\omega_p), & \omega>\omega_p. \end{cases}$$

在 $\omega=\omega_p$ 时，两条渐近线都等于 $0\,\mathrm{dB}$，因此相交于 $(\omega_p,0\,\mathrm{dB})$。但真实曲线为

$$\begin{aligned} L(\omega_p) &=-10\lg(1+1)\\ &=-10\lg2\\ &\approx-3.01\,\mathrm{dB}. \end{aligned}$$

所以一阶极点的真实曲线在转折频率处比渐近线低约 $3\,\mathrm{dB}$；一阶零点则比渐近线高约 $3\,\mathrm{dB}$。渐近线适合快速判断整体形状，但转折频率附近要记住这项误差。

四、典型环节的伯德图

1. 比例环节

传递函数为

$$G(s)=K,\qquad K>0.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=K.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega)=20\lg K,$$ $$\varphi(\omega)=0^\circ.$$

因此，对数幅频特性是在 $20\lg K$ 处的一条水平直线，相频特性是在 $0^\circ$ 处的一条水平直线。

2. 积分环节

传递函数为

$$G(s)=\frac{1}{s}.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega)=20\lg\frac{1}{\omega}=-20\lg\omega,$$ $$\varphi(\omega)=-90^\circ.$$

对数幅频特性是一条斜率为 $-20\,\mathrm{dB/dec}$ 的直线，在 $\omega=0.1$ 时为 $20\,\mathrm{dB}$，在 $\omega=1$ 时通过 $0\,\mathrm{dB}$；相频特性恒为 $-90^\circ$。

继续把频率扩大十倍可得

$$\begin{array}{c|c} \omega & L(\omega)\\ \hline 1 & 0\,\mathrm{dB}\\ 10 & -20\,\mathrm{dB}\\ 100 & -40\,\mathrm{dB} \end{array}$$

每增加一个积分环节，斜率再减少 $20\,\mathrm{dB/dec}$。例如 $1/s^2$ 的斜率为 $-40\,\mathrm{dB/dec}$。

注意：重点理解斜率的含义。

3. 惯性环节

传递函数为

$$G(s)=\frac{1}{Ts+1},\qquad T>0.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=\frac{1}{jT\omega+1}.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega) =20\lg\frac{1}{\sqrt{T^2\omega^2+1}} =-20\lg\sqrt{T^2\omega^2+1},$$ $$L(\omega)\approx \begin{cases} 0, & T^2\omega^2\ll1\Rightarrow\omega\ll\dfrac{1}{T},\\[4pt] -20\lg(T\omega), & T^2\omega^2\gg1\Rightarrow\omega\gg\dfrac{1}{T}, \end{cases}$$ $$\varphi(\omega)=-\arctan(T\omega).$$

绘制伯德图（渐近）时，低频段的渐近直线为 $0\,\mathrm{dB}$ 水平线；转折频率为

$$\omega_c=\frac{1}{T};$$

转折后渐近线斜率为 $-20\,\mathrm{dB/dec}$。相角由 $0^\circ$ 逐渐趋近 $-90^\circ$，且在 $\omega=1/T$ 时为 $-45^\circ$。

注意：理解斜率、转折频率（交接频率）和渐近直线的含义。

4. 微分环节

传递函数为

$$G(s)=s.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=j\omega.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega)=20\lg\omega,$$ $$\varphi(\omega)=90^\circ.$$

对数幅频特性是一条斜率为 $20\,\mathrm{dB/dec}$ 的直线，在 $\omega=0.1$ 时为 $-20\,\mathrm{dB}$，在 $\omega=1$ 时通过 $0\,\mathrm{dB}$；相频特性恒为 $90^\circ$。

注意：重点理解斜率的含义。

5. 一阶微分环节

传递函数为

$$G(s)=\tau s+1,\qquad \tau>0.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=j\tau\omega+1.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega)=20\lg\sqrt{\tau^2\omega^2+1},$$ $$L(\omega)\approx \begin{cases} 0, & \tau^2\omega^2\ll1\Rightarrow\omega\ll\dfrac{1}{\tau},\\[4pt] 20\lg(\tau\omega), & \tau^2\omega^2\gg1\Rightarrow\omega\gg\dfrac{1}{\tau}, \end{cases}$$ $$\varphi(\omega)=\arctan(\tau\omega).$$

绘制伯德图（渐近）时，低频段的渐近直线为 $0\,\mathrm{dB}$ 水平线；转折频率为

$$\omega_c=\frac{1}{\tau};$$

转折后渐近线斜率为 $20\,\mathrm{dB/dec}$。相角由 $0^\circ$ 逐渐趋近 $90^\circ$，且在 $\omega=1/\tau$ 时为 $45^\circ$。

注意：理解斜率、转折频率（交接频率）和渐近直线的含义。

6. 振荡环节

传递函数为

$$G(s)=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta Ts+1}, \qquad T>0,\quad 0\le\zeta<1.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=\frac{1}{1-T^2\omega^2+j2\zeta T\omega}.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega) =-20\lg\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\zeta T\omega)^2},$$ $$L(\omega)\approx \begin{cases} 0, & T^2\omega^2\ll1\Rightarrow\omega\ll\dfrac{1}{T},\\[4pt] -40\lg(T\omega), & T^2\omega^2\gg1\Rightarrow\omega\gg\dfrac{1}{T}. \end{cases}$$

相角为

$$\varphi(\omega)= \begin{cases} -\arctan\left(\dfrac{2\zeta T\omega}{1-T^2\omega^2}\right), & 0\le\omega\le\dfrac{1}{T},\\[8pt] -\left[\arctan\left(\dfrac{2\zeta T\omega}{1-T^2\omega^2}\right)+180^\circ\right], & \omega>\dfrac{1}{T}. \end{cases}$$

绘制伯德图（渐近）时，低频段的渐近直线为 $0\,\mathrm{dB}$ 水平线；转折频率为 $1/T$；转折后渐近线斜率为 $-40\,\mathrm{dB/dec}$。相角由 $0^\circ$ 逐渐趋近 $-180^\circ$，且在 $\omega=1/T$ 时为 $-90^\circ$。

注意：理解斜率、转折频率（交接频率）和渐近直线的含义。

7. 二阶微分环节

传递函数为

$$G(s)=\tau^2s^2+2\zeta\tau s+1, \qquad \tau>0,\quad 0\le\zeta<1.$$

频率特性为

$$G(j\omega)=1-\tau^2\omega^2+j2\zeta\tau\omega.$$

其中

$$L(\omega)=20\lg A(\omega) =20\lg\sqrt{(1-\tau^2\omega^2)^2+(2\zeta\tau\omega)^2},$$ $$L(\omega)\approx \begin{cases} 0, & \tau^2\omega^2\ll1\Rightarrow\omega\ll\dfrac{1}{\tau},\\[4pt] 40\lg(\tau\omega), & \tau^2\omega^2\gg1\Rightarrow\omega\gg\dfrac{1}{\tau}. \end{cases}$$

相角为

$$\varphi(\omega)= \begin{cases} \arctan\left(\dfrac{2\zeta\tau\omega}{1-\tau^2\omega^2}\right), & 0\le\omega\le\dfrac{1}{\tau},\\[8pt] \arctan\left(\dfrac{2\zeta\tau\omega}{1-\tau^2\omega^2}\right)+180^\circ, & \omega>\dfrac{1}{\tau}. \end{cases}$$

绘制伯德图（渐近）时，低频段的渐近直线为 $0\,\mathrm{dB}$ 水平线；转折频率为 $1/\tau$；转折后渐近线斜率为 $40\,\mathrm{dB/dec}$。相角由 $0^\circ$ 逐渐趋近 $180^\circ$，且在 $\omega=1/\tau$ 时为 $90^\circ$。

五、转折频率处斜率变化表

类别	传递函数	转折频率	斜率变化
一阶环节（$T>0$）	$\dfrac{1}{1+Ts}$	$\dfrac{1}{T}$	$-20\,\mathrm{dB/dec}$
一阶环节（$T>0$）	$\dfrac{1}{1-Ts}$	$\dfrac{1}{T}$	$-20\,\mathrm{dB/dec}$
一阶环节（$T>0$）	$1+Ts$	$\dfrac{1}{T}$	$20\,\mathrm{dB/dec}$
一阶环节（$T>0$）	$1-Ts$	$\dfrac{1}{T}$	$20\,\mathrm{dB/dec}$
二阶环节（$T>0,\ 0\le\zeta<1$）	$\dfrac{1}{T^2s^2+2\zeta Ts+1}$	$\dfrac{1}{T}$	$-40\,\mathrm{dB/dec}$
二阶环节（$T>0,\ 0\le\zeta<1$）	$\dfrac{1}{T^2s^2-2\zeta Ts+1}$	$\dfrac{1}{T}$	$-40\,\mathrm{dB/dec}$
二阶环节（$T>0,\ 0\le\zeta<1$）	$T^2s^2+2\zeta Ts+1$	$\dfrac{1}{T}$	$40\,\mathrm{dB/dec}$
二阶环节（$T>0,\ 0\le\zeta<1$）	$T^2s^2-2\zeta Ts+1$	$\dfrac{1}{T}$	$40\,\mathrm{dB/dec}$

需要区分三个概念：

• 转折频率：极点或零点开始明显改变幅频特性的频率；
• 当前总斜率：某个频率区间内整条幅频渐近线的斜率；
• 斜率变化量：通过某个转折频率时，该极点或零点给总斜率带来的增量。

例如，原来的总斜率为 $-20\,\mathrm{dB/dec}$，遇到一个一阶极点后，斜率变化量为 $-20\,\mathrm{dB/dec}$，新的总斜率为

$$-20+(-20)=-40\,\mathrm{dB/dec}.$$

因此，当前总斜率不等于本次斜率变化量。

六、复杂系统如何累加斜率

复杂传递函数可以写成

$$G(s)=Ks^m \frac{\prod_i(1+s/\omega_{zi})} {s^n\prod_k(1+s/\omega_{pk})}.$$

每个基本因子只贡献三类信息：初始高度、初始斜率，以及在某个转折频率处产生的斜率变化。因此，画复杂系统的幅频渐近线时，可以按以下顺序处理：

1. 找出比例系数；
2. 找出原点处的极点和零点；
3. 找出全部转折频率并从小到大排列；
4. 确定初始斜率；
5. 每经过一个转折频率，累加一次斜率变化量。

例：两个一阶极点的斜率累加

设

$$G(s)=\frac{10}{s(1+s/10)(1+s/100)}.$$

它包含比例环节 $10$、积分环节 $1/s$，以及转折频率分别为 $10$ 和 $100\,\mathrm{rad/s}$ 的两个一阶极点。

由于有一个积分环节，初始斜率为

$$-20\,\mathrm{dB/dec}.$$

当 $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$ 时遇到第一个一阶极点，斜率减少 $20\,\mathrm{dB/dec}$，总斜率变为

$$-20-20=-40\,\mathrm{dB/dec}.$$

当 $\omega=100\,\mathrm{rad/s}$ 时又遇到一个一阶极点，总斜率变为

$$-40-20=-60\,\mathrm{dB/dec}.$$

所以

$$\begin{array}{c|c} \text{频率范围} & \text{渐近线斜率}\\ \hline \omega<10 & -20\,\mathrm{dB/dec}\\ 10<\omega<100 & -40\,\mathrm{dB/dec}\\ \omega>100 & -60\,\mathrm{dB/dec} \end{array}$$

这个例子说明：伯德图的斜率是累加的，并不是每一段只看最近的一个极点。

七、MATLAB 验算与辅助图

验算：使用本地 MATLAB R2024b 的 Control System Toolbox 24.2，对惯性、一阶微分、振荡和二阶微分环节在 $\omega=0.1/T$、$1/T$、$10/T$ 三个频率点的幅值与相角进行了核对；下图为辅助说明，不替代上述解析推导。

取 $T=\tau=1$、$\zeta=0.5$，比例环节另取 $K=2$，七类典型环节的精确频率响应如下。

在转折频率 $\omega=1$ 处，MATLAB 数值结果为：

环节	$L(1)$	$\varphi(1)$
惯性环节 $1/(s+1)$	$-3.0103\,\mathrm{dB}$	$-45^\circ$
一阶微分环节 $s+1$	$3.0103\,\mathrm{dB}$	$45^\circ$
振荡环节 $1/(s^2+s+1)$	$0\,\mathrm{dB}$	$-90^\circ$
二阶微分环节 $s^2+s+1$	$0\,\mathrm{dB}$	$90^\circ$

八、核心理解

伯德图来自三个自然的数学处理：

$$\begin{aligned} \text{频率范围很宽} &\Rightarrow\text{横轴取对数},\\ \text{传递函数是乘积} &\Rightarrow\text{幅值取对数},\\ \text{低频、高频呈幂函数} &\Rightarrow\text{对数坐标下成为直线}. \end{aligned}$$

因此，斜率来自 $\omega$ 的幂次；转折频率来自常数项与频率项大小相当；斜率转折来自主导项变化；渐近直线来自低频、高频近似；极点使斜率下降，零点使斜率上升。

最简洁地说，伯德图利用对数把复杂传递函数的乘除关系变成直线的加减关系。转折频率表示主导项开始变化，斜率变化量则反映极点和零点的作用。