基本元件判断Nyquist图象限的方法

在 Nyquist 图中，判断轨迹位于哪个象限，本质上是在判断频率响应 $G(j\omega)$ 的方向。对于工程计算和考试作图，最常用的方法不是把实部、虚部完全展开，而是把传递函数拆成基本元件，利用各元件的相位贡献进行叠加，再由总相位判断象限。

一、判断象限的基本原理

频率响应可以写成极坐标形式

$$G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$$

其中，$|G(j\omega)|$ 表示模，$\varphi(\omega)$ 表示相角。模只决定点到原点的距离，相角决定点在复平面中的方向。因此，Nyquist 图处于哪个象限，最终由总相位 $\varphi(\omega)$ 决定。

对传递函数

$$G(s)=G_1(s)G_2(s)\cdots G_k(s)$$

代入 $s=j\omega$ 后，若各因子的频率响应分别写成

$$G_i(j\omega)=|G_i(j\omega)|e^{j\varphi_i(\omega)}$$

则总频率响应满足

$$G(j\omega)=\prod_{i=1}^{k}|G_i(j\omega)|\cdot e^{j\sum_{i=1}^{k}\varphi_i(\omega)}$$

由此可得：

• 幅值相乘
• 相位相加

因此，利用基本元件判断 Nyquist 图象限的依据是：

各基本环节分别贡献相位，总相位由各相位代数和给出，而象限由总相位所在区间决定。

二、象限与相位的对应关系

Nyquist 图中各象限与相位范围的对应关系如下：

总相位范围	所在象限
$0^\circ\sim90^\circ$	第一象限
$90^\circ\sim180^\circ$	第二象限
$-180^\circ\sim-90^\circ$	第三象限
$-90^\circ\sim0^\circ$	第四象限

若总相位恰好等于 $0^\circ$、$\pm 90^\circ$ 或 $\pm 180^\circ$，则轨迹位于坐标轴上，而不属于某个开象限内部。

三、基本元件的相位贡献

常见基本元件的相位贡献如下：

基本环节	相位变化范围
$\dfrac{1}{s}$	固定 $-90^\circ$
$s$	固定 $+90^\circ$
$1+sT$ 对应的频率响应 $1+j\omega T$	$0^\circ \to +90^\circ$
$\dfrac{1}{1+sT}$ 对应的频率响应 $\dfrac{1}{1+j\omega T}$	$0^\circ \to -90^\circ$
二阶极点因子	$0^\circ \to -180^\circ$
二阶零点因子	$0^\circ \to +180^\circ$

由此可见，积分环节使相位减小，微分环节使相位增大；零点引起相位超前，极点引起相位滞后。实际判断时，只需把各元件的相位贡献累加起来，再与上表进行对照即可。

四、利用基本元件判断象限的步骤

可按以下步骤进行判断：

1. 将传递函数分解为若干标准因子
2. 代入 $s=j\omega$，判断各因子的相位贡献
3. 将所有相位代数相加，得到总相位 $\varphi(\omega)$
4. 根据总相位所在区间，判断轨迹所在象限

这一方法不要求先把 $G(j\omega)$ 完全化成实部与虚部的形式，因此在考试和工程估算中更为常用。

五、基本元件法实际判断的内容

基本元件法并不只是判断某一点落在哪个象限，它实际上同时判断以下三项内容：

1. 低频端，也就是 $\omega\to 0$ 时轨迹的起始相位与起始方向
2. 高频端，也就是 $\omega\to \infty$ 时轨迹的终止相位与终止方向
3. 中间频段相位随频率变化的过程，即轨迹在复平面中向上偏转还是向下偏转，以及是否跨越不同象限

因此，基本元件法所反映的不是孤立的起点或终点，而是

$$\text{起点}+\text{终点}+\text{中间相位变化趋势}$$

三者共同决定的轨迹形态。

六、二阶惯性系统的相位叠加

例如

$$G(s)=\frac{1}{(1+sT_1)(1+sT_2)}$$

系统中包含两个一阶极点因子。每个一阶极点的相位变化范围均为

$$0^\circ\to -90^\circ$$

故总相位为两者之和，即

$$\varphi(\omega)=\left(0^\circ\to -90^\circ\right)+\left(0^\circ\to -90^\circ\right)=0^\circ\to -180^\circ$$

这说明二阶惯性系统的 Nyquist 图相位将由 $0^\circ$ 逐步下降到 $-180^\circ$。因此，轨迹通常由正实轴出发，随后进入下半平面，并最终逼近负实轴方向。

七、起点相位与终点相位相同的情形

在应用基本元件法时，若发现起点相位与终点相位相同，例如都为 $0^\circ$，则不能据此直接断定轨迹始终位于正实轴上。原因在于：中间频段可能出现相位偏移，轨迹可能先偏离实轴，再回到实轴。

例如

$$G(s)=\frac{10s+1}{3s+1}$$

其频率响应为

$$G(j\omega)=\frac{1+j10\omega}{1+j3\omega}$$

相位为

$$\varphi(\omega)=\arctan(10\omega)-\arctan(3\omega)$$

当 $\omega\to 0$ 和 $\omega\to \infty$ 时，相位都趋于 $0^\circ$。但由于对任意 $\omega>0$，有

$$\arctan(10\omega)>\arctan(3\omega)$$

故

$$\varphi(\omega)>0$$

因此轨迹实际位于上半平面，而不是始终留在正实轴上。

若进一步化为实部与虚部形式：

$$G(j\omega)=\frac{1+j10\omega}{1+j3\omega}\cdot\frac{1-j3\omega}{1-j3\omega} =\frac{1+30\omega^2+j7\omega}{1+9\omega^2}$$

则

$$\Re(\omega)=\frac{1+30\omega^2}{1+9\omega^2}>0$$ $$\Im(\omega)=\frac{7\omega}{1+9\omega^2}>0$$

由此可知，该系统的 Nyquist 图始终位于第一象限，并从点 $(1,0)$ 出发，向上偏转后趋于正实轴上的点 $\left(\frac{10}{3},0\right)$。

这一类问题说明：当出现 $0^\circ\to 0^\circ$ 这类端点相位相同的情况时，不能只看起点和终点，必须进一步分析中间频段相位变化的趋势。

八、一阶超前与滞后环节的快速判断

对于

$$G(s)=\frac{Ts+1}{\tau s+1}$$

其频率响应为

$$G(j\omega)=\frac{1+jT\omega}{1+j\tau\omega}$$

总相位为

$$\varphi(\omega)=\arctan(T\omega)-\arctan(\tau\omega)$$

因此可直接得到：

1. 若 $T>\tau$，则

   $$\varphi(\omega)>0$$

   轨迹位于上半平面，通常进入第一象限。

2. 若 $T<\tau$，则

   $$\varphi(\omega)<0$$

   轨迹位于下半平面，通常进入第四象限。

3. 若 $T=\tau$，则

   $$G(j\omega)\equiv 1$$

   轨迹退化为正实轴上的一个定点。

这一结论可以作为一阶超前、滞后环节的快速判别规则。

九、利用转折频率判断先后作用次序

对于一阶零点因子 $Ts+1$，其转折频率为

$$\omega_z=\frac{1}{T}$$

对于一阶极点因子 $\tau s+1$，其转折频率为

$$\omega_p=\frac{1}{\tau}$$

谁的转折频率较低，谁就先对相位产生显著影响。

• 若零点先起作用，则相位先上升，轨迹倾向于进入上半平面
• 若极点先起作用，则相位先下降，轨迹倾向于进入下半平面

仍以

$$G(s)=\frac{10s+1}{3s+1}$$

为例，其零点转折频率为

$$\omega_z=\frac{1}{10}=0.1$$

极点转折频率为

$$\omega_p=\frac{1}{3}\approx 0.333$$

由于零点先起作用，故轨迹先向上偏转，并进入上半平面。

十、典型例题

例 1：$G(s)=\dfrac{1}{s}$

代入 $s=j\omega$ 后，

$$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}$$

该系统只含一个积分环节，因此相位恒为

$$\varphi(\omega)=-90^\circ$$

故轨迹位于负虚轴上。

例 2：$G(s)=\dfrac{1}{1+s}$

其频率响应为

$$G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega}$$

该系统只含一个一阶极点因子，其相位从 $0^\circ$ 逐渐变化到 $-90^\circ$。因此：

• 当相位在 $0^\circ$ 与 $-90^\circ$ 之间时，轨迹位于第四象限
• 当相位等于 $0^\circ$ 时，轨迹在正实轴上
• 当相位趋于 $-90^\circ$ 时，轨迹逼近负虚轴方向

例 3：$G(s)=\dfrac{1}{s(1+s)}$

该系统由一个积分环节和一个一阶极点因子组成，因此总相位为

$$\varphi(\omega)=-90^\circ+\left(0^\circ\to -90^\circ\right)$$

故总相位范围为

$$-90^\circ \to -180^\circ$$

因此：

• 起始时轨迹位于负虚轴上
• 随频率增大，轨迹进入第三象限
• 当相位趋于 $-180^\circ$ 时，轨迹逼近负实轴方向

十一、考试中的一般判断步骤

在考试中，可按如下顺序判断 Nyquist 图的象限和走向：

1. 令 $s=j\omega$

2. 考察 $\omega\to 0$，判断起点和起始相位

3. 考察 $\omega\to \infty$，判断终点和终止相位

4. 分析各因子的相位贡献：零点使相位上升，极点使相位下降，积分环节固定贡献 $-90^\circ$

5. 若起点与终点相位相同，例如 $0^\circ\to 0^\circ$，则进一步判断是零点先起作用还是极点先起作用

6. 若仍不易确定，则将频率响应化为

   $$G(j\omega)=\Re(\omega)+j\Im(\omega)$$

   直接通过实部、虚部符号判断象限，这是最稳妥的方法

十二、常见注意事项

1. 相位必须对所有环节进行累加，不能只看其中一个因子
2. 若总相位正好落在坐标轴方向上，应判断为在轴上，而不是在象限内部
3. 起点相位与终点相位相同，并不意味着轨迹始终停留在同一坐标轴上
4. 对于二阶因子，应注意其相位变化范围是 $0^\circ\to\pm180^\circ$，不能误按两个独立一阶环节机械代替

十三、总结

利用基本元件判断 Nyquist 图象限和走向的方法，本质上是在研究相位随频率变化的全过程，而不是只看起点和终点。具体做法是先将传递函数分解为标准环节，再利用“相位相加”的性质求出总相位，最后由总相位所在区间判断象限；若起点和终点相位相同，则还需进一步分析中间频段谁先起作用，必要时可回到实部、虚部表达式作直接判断。