极坐标图起点渐近线的判断方法

如果极坐标图一开始在无穷远，通常说明开环传递函数中含有积分环节：

$$G(s)=\frac{K\cdots}{s^m\cdots}$$

也就是分母中存在 $s^m$。这时，当 $\omega \to 0$ 时，

$$G(j\omega)\to\infty$$

问题就转化为：轨迹从无穷远处沿什么方向进入，渐近线位于哪里。

一、先判断无穷远方向

设系统在低频下可近似为

$$G(j\omega)\approx \frac{K}{(j\omega)^m}$$

其中 $m$ 为积分环节个数。

由于

$$\frac{1}{j\omega}=-j\frac{1}{\omega}$$

所以每增加一个积分环节，相位就减少 $90^\circ$。因此，起始无穷远方向为

$$\angle G(j\omega)\approx -m\times 90^\circ$$

在 $K>0$ 的情况下，有：

积分个数 $m$	起始方向
$m=1$	负虚轴方向，$-90^\circ$
$m=2$	负实轴方向，$-180^\circ$
$m=3$	正虚轴方向，$-270^\circ=90^\circ$
$m=4$	正实轴方向，$-360^\circ=0^\circ$

若 $K<0$，则整体相位再加 $180^\circ$。

二、一个积分环节时的竖直渐近线

最常见的情形是

$$G(s)=\frac{K\prod(1+T_zs)}{s\prod(1+T_ps)}$$

此时只有一个积分环节。

1. 低频展开

在 $\omega \to 0$ 时，

$$\frac{\prod(1+T_zj\omega)}{\prod(1+T_pj\omega)} \approx 1+j\omega\left(\sum T_z-\sum T_p\right)$$

于是

$$G(j\omega)\approx \frac{K}{j\omega} \left[1+j\omega\left(\sum T_z-\sum T_p\right)\right]$$

展开后得到

$$G(j\omega)\approx -j\frac{K}{\omega}+K\left(\sum T_z-\sum T_p\right)$$

因此，

$$\Re G(j\omega)\to K\left(\sum T_z-\sum T_p\right)$$ $$\Im G(j\omega)\to -\infty$$

所以当有一个积分环节且 $K>0$ 时，极坐标图从下方无穷远开始，其渐近线是一条竖直线：

$$x=K\left(\sum T_z-\sum T_p\right)$$

2. 判断方法

这里的求和规则是：

• $\sum T_z$：分子中所有 $(1+T_zs)$ 的 $T_z$ 之和
• $\sum T_p$：分母中除积分环节外所有 $(1+T_ps)$ 的 $T_p$ 之和

因此，只要先把传递函数写成标准因子形式，就可以直接读出竖直渐近线的位置。

三、例题

例 1：$G(s)=\dfrac{1}{s(1+s)}$

这里

$$K=1$$

零点时间常数和为

$$\sum T_z=0$$

极点时间常数和为

$$\sum T_p=1$$

所以

$$x=1(0-1)=-1$$

因此低频无穷远渐近线为

$$x=-1$$

也就是说，它不是沿虚轴 $x=0$ 下来的，而是沿着 $\Re G=-1$ 这条竖直线从下方无穷远上来。

例 2：$G(s)=\dfrac{10s+1}{s(3s+1)}$

这里

$$\sum T_z=10$$ $$\sum T_p=3$$

所以

$$x=10-3=7$$

因此该系统的极坐标图从下方无穷远开始，渐近线为

$$x=7$$

四、两个积分环节时的判断

若

$$G(s)=\frac{K}{s^2(1+Ts)}$$

低频主导项为

$$G(j\omega)\approx \frac{K}{(j\omega)^2}=-\frac{K}{\omega^2}$$

所以当 $K>0$ 时，它从负实轴方向的无穷远开始。

这时主要判断的是起始方向，即

$$-180^\circ$$

至于是否存在有限位置的直线渐近线，需要看更高阶展开；考试中通常只要求判断它从负实轴无穷远方向进入。

五、考试模板

遇到无穷远起点时，可按以下步骤判断：

1. 数积分环节个数 $m$

2. 判断起始方向

   $$\theta_0=-m\times 90^\circ$$

3. 若 $m=1$，再用公式判断竖直渐近线位置

   $$x=K\left(\sum T_z-\sum T_p\right)$$

一句话记忆：

有一个积分环节时，轨迹从无穷远沿竖直方向来；位置看 $K\left(\sum T_z-\sum T_p\right)$。

六、具体例子

设

$$G(s)=\frac{750}{s(s+5)(s+15)}$$

先化为标准形式：

$$s+5=5\left(1+\frac{s}{5}\right)$$ $$s+15=15\left(1+\frac{s}{15}\right)$$

因此

$$G(s)=\frac{750}{s\cdot 5\left(1+\frac{s}{5}\right)\cdot 15\left(1+\frac{s}{15}\right)}$$

即

$$G(s)=\frac{10}{s\left(1+\frac{s}{5}\right)\left(1+\frac{s}{15}\right)}$$

由此可知：

• $K=10$
• 积分环节个数为 $1$
• $\sum T_z=0$
• $\sum T_p=\frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\frac{4}{15}$

于是低频竖直渐近线位置为

$$x=10\left(0-\frac{4}{15}\right)=-\frac{8}{3}$$

因此，轨迹从

$$\Re G=-\frac{8}{3}$$

这条竖直线的下方无穷远处开始。

1. 起始方向

因为含有一个积分环节，所以

$$\omega\to 0,\qquad G(j\omega)\to -j\infty$$

即起点方向为负虚轴。

2. 高频终点

该系统分母比分子高 3 阶，所以

$$\omega\to\infty,\qquad G(j\omega)\to 0$$

高频相位为

$$-90^\circ-90^\circ-90^\circ=-270^\circ$$

等价于 $+90^\circ$，因此轨迹最终从正虚轴方向趋向原点。

3. 实轴交点

将频率响应写成

$$G(j\omega)=\frac{750}{j\omega(j\omega+5)(j\omega+15)}$$

化简后可得虚部为零时的频率条件为

$$75-\omega^2=0$$

即

$$\omega=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$$

此时轨迹穿过负实轴点

$$G(j\omega)=-0.5$$

4. 走向总结

所以该系统的极坐标图可以概括为：

从

$$x=-\frac{8}{3},\quad y=-\infty$$

附近开始，沿竖直渐近线

$$x=-\frac{8}{3}$$

从下方无穷远上来；随后轨迹在左半平面运动，穿过负实轴点 $(-0.5,0)$，最后进入第二象限，并从正虚轴方向趋向原点。

一句话概括：

该轨迹从第三象限无穷远处开始，穿过负实轴，进入第二象限，最后趋向原点。