8.1 平面·线

总目录 · 笔记整理索引 · 本章索引 · 下一节：8.2 旋转曲面(一定要看!)

8.1.0 知识结构（多元函数积分学的预备知识）

空间曲线的切线与法平面
- 曲线由参数方程给出
- 曲线由方程组给出
空间曲面的切平面与法线
- 曲面由隐式方程给出
- 曲面由显式函数给出
- 曲面由参数方程给出
空间曲线在坐标面上的投影
旋转曲面：曲线 $\Gamma$ 绕一条定直线旋转一周所形成的曲面
- 曲线绕直线旋转而成的旋转曲面
- 曲线绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面
向量的运算及其应用
- 数量积（内积、点积）及其应用
- 向量积（外积、叉积）及其应用
- 混合积及其应用
- 向量的方向角和方向余弦
平面、直线及位置关系（👉 详见专章精讲：8.4 平面与直线及位置关系专题）
- 平面：一般式、点法式、三点式、截距式、平面束方程
- 直线：一般式、点向式（标准式、对称式）、参数式、两点式
- 位置关系：点到平面的距离、直线与直线、平面与平面、平面与直线
场论初步
- 方向导数
- 梯度
- 方向导数与梯度的关系
- 散度
- 旋度

8.1.1 空间曲线的切线与法平面

(1) 用参数方程给出曲线

设空间曲线由参数方程给出：

\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), & t \in I. \\ z = z(t), \end{cases}

其在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的切向量为：

\boldsymbol{\tau} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)).

切线方程：

\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}.

法平面方程：

x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0.

设切线上任意一点为 $P(x, y, z)$ ，由切点指向该动点的向量为：

\overrightarrow{P_0P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0).

因为点 $P$ 在切线上，向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 必定与切向量 $\boldsymbol{\tau}$ 共线（平行），即对应坐标成正比：

\overrightarrow{P_0P} = \lambda \boldsymbol{\tau} \iff \frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)} = \lambda.

消去参数 $\lambda$ 后，即得到直线的对称式（点向式）切线方程。

设法平面上任意一点为 $P(x, y, z)$ ，连接切点与该动点的向量（落在法平面内）为：

\overrightarrow{P_0P} = (x - x_0, \; y - y_0, \; z - z_0).

因为法平面垂直于切线，所以法平面内的任意向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 都与切向量 $\boldsymbol{\tau}$ 互相垂直（正交）。由垂直等价于数量积（点积）为零：

\boldsymbol{\tau} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0 \iff x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0.

(2) 用方程组给出曲线

设空间曲线由两曲面相交方程组给出：

\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}

当 Jacobi 行列式 $\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)} \ne 0$ 时 $\Rightarrow \begin{cases} x = x, \\ y = y(x), \\ z = z(x). \end{cases}$

核心记忆口诀：“分子定行（函数），分母定列（求导变量）”。

1. 二阶雅可比行列式（最常用）

设函数组 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ ，其关于 $x, y$ 的雅可比行列式定义为：

\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}

2. 三阶雅可比行列式

设 $u, v, w$ 是关于 $x, y, z$ 的函数：

\frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{vmatrix}

两边取全微分，移项整理为以 $\mathbf{\mathrm{d}y, \mathrm{d}z}$ 为未知数的线性方程组：

\begin{cases} F'_y \mathbf{\mathrm{d}y} + F'_z \mathbf{\mathrm{d}z} = -F'_x \mathrm{d}x \\ G'_y \mathbf{\mathrm{d}y} + G'_z \mathbf{\mathrm{d}z} = -G'_x \mathrm{d}x \end{cases}

雅可比行列式 $\begin{vmatrix} F'_y & F'_z \\ G'_y & G'_z \end{vmatrix}$ 正是其系数行列式。由克拉默法则，只有系数行列式 $\ne 0$ （解方程时分母不为 0），才能唯一解出 $\mathrm{d}y, \mathrm{d}z$ （即唯一确定导数 $y', z'$ ）。

其在 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的切向量为 $\boldsymbol{\tau} = (1, y'(x_0), z'(x_0))$ 。

切线方程：

\frac{x - x_0}{1} = \frac{y - y_0}{y'(x_0)} = \frac{z - z_0}{z'(x_0)}.

法平面方程：

1 \cdot (x - x_0) + y'(x_0)(y - y_0) + z'(x_0)(z - z_0) = 0.

例题精讲（曲线切线与法平面）

例 17.1（求空间曲线在指定点处的切线与法平面）

💡 【思考与设问】例 17.1

求下列曲线在指定点处的切线与法平面. (1) $x = \cos t + \sin^2 t, \; y = \sin t(1 - \cos t), \; z = \cos t$ ，在 $t = \frac{\pi}{2}$ 的对应点；
(2) $x = y^2, \; z = x^2$ ，点 $(1, 1, 1)$ 。

(1) $t = \frac{\pi}{2}$ 的对应点的坐标为 $(1, 1, 0)$ 。

切线的方向向量为（手写标注： $\left.(x'_t, y'_t, z'_t)\right|_{t = \frac{\pi}{2}}$ ）：

\begin{aligned} x'(t) &= -\sin t + 2\sin t\cos t \implies x'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1, \\ y'(t) &= \cos t(1 - \cos t) + \sin^2 t \implies y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, \\ z'(t) &= -\sin t \implies z'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1. \end{aligned}

故切向量为：

\left( x'\left(\frac{\pi}{2}\right), y'\left(\frac{\pi}{2}\right), z'\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = (-1, 1, -1).

所求切线方程为（手写批注：线：分母面：分子）：

\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{-1}.

所求法平面方程为：

-(x - 1) + (y - 1) - z = 0, \quad \text{即 } x - y + z = 0.

(2) 把曲线写成参数方程：

\begin{cases} x = y^2 = t^2, \\ y = t, \\ z = x^2 = t^4, \end{cases}

即求此曲线在 $t = 1$ 对应点处的切线、法平面。

切线的方向向量为：

(x'(1), y'(1), z'(1)) = (2, 1, 4).

所求切线方程为：

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{4}.

所求法平面方程为：

2(x - 1) + (y - 1) + 4(z - 1) = 0, \quad \text{即 } 2x + y + 4z - 7 = 0.

例 17.2（偏导数存在、可微性与切平面/法向量辨析）

💡 【思考与设问】例 17.2

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 附近有定义，且 $f'_x(0, 0) = 3, \; f'_y(0, 0) = 1$ ，则（ $\quad$ ）.

(A) $\left.\mathrm{d}z\right|_{(0, 0)} = 3\mathrm{d}x + \mathrm{d}y$

(B) 曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的法向量为 $(3, 1, 1)$

(C) 曲线 $\begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的切向量为 $(1, 0, 3)$

(D) 曲线 $\begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的切向量为 $(3, 0, 1)$

应选 (C).

本题考查了以下三个基本性质：

① 函数 $z = f(x, y)$ 在点 $M_0(x_0, y_0)$ 存在偏导数 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{M_0}, \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{M_0}$ ，并不能保证 $z = f(x, y)$ 在点 $M_0$ 可微分。因此，(A) 不正确。

② 由于存在偏导数并不一定能保证函数可微分，因此，不能保证曲面 $z = f(x, y)$ 在相应点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处存在切平面，可见 (B) 也不正确。（手写红圈圈出“可微”与“存在切平面”并连线强调等价性）

③ 曲线 $\begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 可看作参数式：

\begin{cases} x = t, \\ y = 0, \\ z = f(t, 0), \end{cases}

则其切向量为：

\boldsymbol{\tau} = \left.(x'_t, y'_t, z'_t)\right|_{t = 0} = (1, 0, f'_x(0, 0)) = (1, 0, 3).

故 (C) 正确。

8.1.2 空间曲面的切平面与法线

1. 核心公式与概念

设空间曲面由隐式方程给出：

F(x, y, z) = 0

若曲面在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微且偏导数不同时为零，则：

法向量（垂直于曲面的向量）： $\mathbf{n} = \left( \left.F'_x\right|_{P_0}, \; \left.F'_y\right|_{P_0}, \; \left.F'_z\right|_{P_0} \right)$
切平面方程（点法式）： $\left.F'_x\right|_{P_0}(x - x_0) + \left.F'_y\right|_{P_0}(y - y_0) + \left.F'_z\right|_{P_0}(z - z_0) = 0$
法线方程（对称式 / 点向式）： $\frac{x - x_0}{\left.F'_x\right|_{P_0}} = \frac{y - y_0}{\left.F'_y\right|_{P_0}} = \frac{z - z_0}{\left.F'_z\right|_{P_0}}$

2. 本质理解：为什么偏导数就是法向量？

在曲面上任取一条过点 $P_0$ 的曲线 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 。
曲线在曲面上，恒满足： $F(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0$ 。
两边对参数 $t$ 求复合导数： $F'_x \cdot x'(t) + F'_y \cdot y'(t) + F'_z \cdot z'(t) = 0$
改写为向量点积： $\underbrace{(F'_x, F'_y, F'_z)}_{\mathbf{n}} \;\cdot\; \underbrace{(x', y', z')}_{\boldsymbol{\tau}} = 0$
结论：偏导向量与曲面上任意切向量 $\boldsymbol{\tau}$ 都正交（点积为 0），故它必然是曲面的法向量 $\mathbf{n}$ 。

3. 考场避坑与记忆口诀

(2) 用显式函数给出曲面

设空间曲面由显式函数给出：

z = f(x, y) \implies f(x, y) - z = 0.

其在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为：

\mathbf{n} = (f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1).

注：此法向量方向朝下（指向负 $z$ 方向）。

切平面方程：

f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) - (z - z_0) = 0.

法线方程（手写批注：线：分母面：分子）：

\frac{x - x_0}{f'_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f'_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}.

例题精讲（曲面切平面与法线）

例 17.3（隐式方程曲面的切平面方程）

💡 【思考与设问】例 17.3

曲面 $\mathrm{e}^{\frac{x}{z}} + \mathrm{e}^{\frac{y}{z}} = 4$ 在点 $(\ln 2, \ln 2, 1)$ 处的切平面方程为 $\underline{\qquad\qquad}$ .

应填 $x + y - (2\ln 2)z = 0$ .

令 $F(x, y, z) = \mathrm{e}^{\frac{x}{z}} + \mathrm{e}^{\frac{y}{z}} - 4$ ，求一阶偏导数：

F'_x = \frac{1}{z}\mathrm{e}^{\frac{x}{z}}, \quad F'_y = \frac{1}{z}\mathrm{e}^{\frac{y}{z}}, \quad F'_z = -\frac{x}{z^2}\mathrm{e}^{\frac{x}{z}} - \frac{y}{z^2}\mathrm{e}^{\frac{y}{z}}.

则曲面 $\mathrm{e}^{\frac{x}{z}} + \mathrm{e}^{\frac{y}{z}} = 4$ 在点 $(\ln 2, \ln 2, 1)$ 处的法向量为：

\mathbf{n} = \left.\left( \frac{1}{z}\mathrm{e}^{\frac{x}{z}}, \frac{1}{z}\mathrm{e}^{\frac{y}{z}}, -\frac{x}{z^2}\mathrm{e}^{\frac{x}{z}} - \frac{y}{z^2}\mathrm{e}^{\frac{y}{z}} \right)\right|_{(\ln 2, \ln 2, 1)} = (2, 2, -4\ln 2).

于是在点 $(\ln 2, \ln 2, 1)$ 处的切平面方程为：

2(x - \ln 2) + 2(y - \ln 2) - (4\ln 2)(z - 1) = 0,

整理即得：

x + y - (2\ln 2)z = 0.

例 17.5（证明曲面为柱面）

💡 【思考与设问】例 17.5

证明曲面 $\mathrm{e}^{2x - z} = f(\pi y - \sqrt{2}z)$ 是柱面，其中 $f$ 可微.

【证】 设 $F = f(\pi y - \sqrt{2}z) - \mathrm{e}^{2x - z}$ ，则曲面上任一点处的法向量为：

\mathbf{n} = (-2\mathrm{e}^{2x - z}, \pi f', -\sqrt{2}f' + \mathrm{e}^{2x - z}).

下面证明 $\mathbf{n}$ 与某个定向量 $(a, b, c)$ （ $a, b, c$ 不同时为零）垂直，即：

\mathbf{n} \cdot (a, b, c) = -2a\mathrm{e}^{2x - z} + \pi b f' + (-\sqrt{2}f' + \mathrm{e}^{2x - z})c \equiv 0.

比较同类项系数：

\begin{cases} -2a + c = 0 \implies a = \dfrac{c}{2}, \\ \pi b - \sqrt{2}c = 0 \implies b = \dfrac{\sqrt{2}}{\pi}c. \end{cases}

令 $c = 1$ ，则 $a = \frac{1}{2}, \; b = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$ 。这样曲面上任一点处的法向量 $\mathbf{n}$ 均与定向量 $\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{\pi}, 1 \right)$ 垂直，这就可以说明该曲面就是柱面。证毕.

8.1.3 空间曲线在坐标面上的投影

投影曲线的一般求法

以求空间曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线为例：将曲线方程组

\Gamma: \begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}

中的 $z$ 消去，得到投影柱面方程 $\varphi(x, y) = 0$ 。

则曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线包含于曲线：

\begin{cases} \varphi(x, y) = 0, \\ z = 0. \end{cases}

曲线 $\Gamma$ 在其他坐标面（ $yOz$ 面、 $zOx$ 面）上的投影曲线可类似求得。

例题精讲（曲线在坐标面上的投影）

例 17.4（曲面切平面平行于定直线的证明）

💡 【思考与设问】例 17.4

设 $f(u, v)$ 可微，证明曲面 $f(ax - bz, ay - cz) = 0$ 上任一点的切平面都与某一直线平行，其中 $a, b, c$ 是不同时为零的常数.

【证】 曲面上任一点的切平面的法向量为：

\mathbf{n} = (af'_1, af'_2, -bf'_1 - cf'_2).

因 $a, b, c$ 是不同时为零的常数，设 $(b, c, a)$ 为某一定直线的方向向量。则有：

\mathbf{n} \cdot (b, c, a) = b a f'_1 + c a f'_2 + a(-b f'_1 - c f'_2) = 0.

所以 $\mathbf{n}$ 垂直于 $(b, c, a)$ ，即以 $\mathbf{n}$ 为法向量的平面平行于以 $(b, c, a)$ 为方向向量的直线，即曲面上任一点的切平面都与以 $(b, c, a)$ 为方向向量的定直线平行。

例 17.6（空间曲线在坐标面上的投影曲线方程）

💡 【思考与设问】例 17.6

求曲线 $\Gamma: \begin{cases} z = \sqrt{x^2 + y^2}, \\ z^2 = 2x \end{cases}$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线方程.

ギターと孤独と蒼い惑星

8.1 平面·线

8.1 平面·线

8.1.0 知识结构（多元函数积分学的预备知识）

8.1.1 空间曲线的切线与法平面

(1) 用参数方程给出曲线

(2) 用方程组给出曲线

例题精讲（曲线切线与法平面）

例 17.1（求空间曲线在指定点处的切线与法平面）

例 17.2（偏导数存在、可微性与切平面/法向量辨析）

8.1.2 空间曲面的切平面与法线

1. 核心公式与概念

2. 本质理解：为什么偏导数就是法向量？

3. 考场避坑与记忆口诀

(2) 用显式函数给出曲面

例题精讲（曲面切平面与法线）

例 17.3（隐式方程曲面的切平面方程）

例 17.5（证明曲面为柱面）

8.1.3 空间曲线在坐标面上的投影

投影曲线的一般求法

例题精讲（曲线在坐标面上的投影）

例 17.4（曲面切平面平行于定直线的证明）

例 17.6（空间曲线在坐标面上的投影曲线方程）

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