09-21 错题记录

例 17.2（偏导数存在、可微性与曲面切平面/曲线切向量辨析）

偏导数存在 $\centernot\implies$ 可微，全微分表达式严禁无前提套用（排除 A）：
- 偏导数 $f'_x(0, 0) = 3, \; f'_y(0, 0) = 1$ 仅仅反映了函数沿平行于坐标轴（ $x$ 轴与 $y$ 轴）的两个特殊直线方向的变化率；
- 两个偏导数存在无法推导出全增量满足 $\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$ ，即不能保证函数在原点可微；
- 若函数在点 $(0, 0)$ 处不可微，则全微分根本不存在，直接写出 $\left.\mathrm{d}z\right|_{(0, 0)} = 3\mathrm{d}x + \mathrm{d}y$ 是缺乏前提的伪命题。
切平面与法向量的几何先决条件 —— 可微性（核心陷阱，手写批注“切平面才能有法向量！”）（排除 B）：
- 核心几何定理：曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处存在切平面 $\iff$ 函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微！
- 死记公式的致命盲区：许多考生死记显式曲面切平面的法向量公式 $\mathbf{n} = (f'_x, f'_y, -1)$ ，审题看到题设给出了 $f'_x = 3, f'_y = 1$ ，便想当然认为曲面必有法向量 $(3, 1, -1)$ 或 $(3, 1, 1)$ ；
- 本质穿透：法向量公式成立的绝对先决条件是切平面存在！若曲面不可微，过该点的所有空间曲线在切点处的切线不在同一个平面上，曲面在几何上呈现“褶皱折痕”或“圆锥顶锥点”形态，切平面根本不存在！既然连切平面都没有，何来曲面的法向量？
- 此外，即使曲面可微，其法向量标准形式应为 $(f'_x, f'_y, -1) = (3, 1, -1)$ ，选项 (B) 中的 $(3, 1, 1)$ 连 $z$ 轴分量符号都是错误的。
曲面不可微，但截线曲线切向量客观存在且唯一确定（锁定 C）：
- 方程组 $\begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 在几何上表示坐标面 $y = 0$ （ $xOz$ 平面）截割曲面 $z = f(x, y)$ 所形成的空间平面交线；
- 在截面上， $y$ 恒等于 $0$ ，动点坐标为 $(x, 0, f(x, 0))$ ，该曲线实质上是一条以 $x$ 为参数的一元曲线： $\begin{cases} x = t, \\ y = 0, \\ z = f(t, 0) \end{cases}$
- 空间曲线在 $t = 0$ （即原点）处的切向量为： $\boldsymbol{\tau} = \left.(x'_t, y'_t, z'_t)\right|_{t = 0} = (1, 0, f'_x(0, 0)) = (1, 0, 3)$
- 只要偏导数 $f'_x(0, 0)$ 存在（题设明确给出为 $3$ ），该截线的切线必然存在且切向量唯一确定为 $(1, 0, 3)$ ！
(D) 选项的方向分量位置颠倒陷阱：
- (D) 选项写为 $(3, 0, 1)$ $(3, 0, 1)$ ，颠倒了切向量中自变量增量与导数变化率的位置：
  - 自变量 $x$ 沿 $x$ 轴正向以速率 $1$ 前进时，竖向 $z$ 的增加速率为斜率 $f'_x(0, 0) = 3$ ；
  - 因而切向量分量应为 $(\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) = (1, 0, 3)$ ，而非 $(3, 0, 1)$ 。
代数与几何层级对照速记表：

维度	代数条件	几何表现	结论
一元函数	$f'(x_0)$ 存在 $\iff$ 可微	平面曲线存在切线	可导、可微与切线存在完全等价
二元截线	$f'_x(x_0, y_0)$ 存在	截面 $y=y_0$ 内的一条平面曲线存在切线	曲线切向量 $\boldsymbol{\tau} = (1, 0, f'_x)$ 必然存在
二元曲面	$f'_x, f'_y$ 仅偏导存在	仅两条特定截线有切线，其余方向及切平面未知	不可推知存在切平面，曲面无法向量
二元曲面	$f(x, y)$ 在点处可微	过该点所有方向的截线切线共面，构成切平面	切平面存在，曲面法向量 $\mathbf{n} = (f'_x, f'_y, -1)$ 成立

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 附近有定义，且 $f'_x(0, 0) = 3, \; f'_y(0, 0) = 1$ ，则（ C ）.
(A) $\left.\mathrm{d}z\right|_{(0, 0)} = 3\mathrm{d}x + \mathrm{d}y$
(B) 曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的法向量为 $(3, 1, 1)$
(C) 曲线 $\begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的切向量为 $(1, 0, 3)$
(D) 曲线 $\begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的切向量为 $(3, 0, 1)$

正确选项： $\boxed{\mathbf{(C)} \quad \text{曲线 } \begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases} \text{ 在点 } (0, 0, f(0, 0)) \text{ 处的切向量为 } (1, 0, 3)}$

逐项透彻剖析

1. 剖析选项 (A)：偏导数存在不代表可微

全微分的充要条件：函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微的定义是： $\Delta z = f(\Delta x, \Delta y) - f(0, 0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho), \quad (\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2})$ 若可微，则必然有 $A = f'_x(0, 0) = 3, \; B = f'_y(0, 0) = 1$ ，全微分才写为 $\mathrm{d}z = 3\mathrm{d}x + \mathrm{d}y$ 。
逻辑缺陷：题设仅给出偏导数 $f'_x(0, 0) = 3, \; f'_y(0, 0) = 1$ 存在，而偏导数存在仅是可微的必要条件，并非充分条件。
经典反例： $f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ 易算得 $f'_x(0, 0) = 0, \; f'_y(0, 0) = 0$ ，但在点 $(0, 0)$ 处沿 $y = x$ 趋近时 $\lim\limits_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - 0}{\rho} = \frac{\frac{1}{2}\rho^2}{\rho^2} = \frac{1}{2} \ne 0$ ，函数不可微，全微分根本不存在！故不能断言 $\left.\mathrm{d}z\right|_{(0, 0)} = 3\mathrm{d}x + \mathrm{d}y$ ，(A) 错误。

2. 剖析选项 (B)：曲面存在切平面与法向量的几何本质是可微

切平面的数学定义：设曲面 $\Sigma: z = f(x, y)$ ，通过曲面上点 $P_0(0, 0, f(0, 0))$ 的任意一条可微曲线 $\Gamma$ ，在 $P_0$ 处的切线如果全都落在同一个平面 $\Pi$ 内，则称平面 $\Pi$ 为曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$ 处的切平面；切平面的垂向向量才称为曲面的法向量。
切平面存在定理： $\text{曲面 } z = f(x, y) \text{ 在点 } (x_0, y_0, z_0) \text{ 处存在切平面} \iff \text{函数 } z = f(x, y) \text{ 在点 } (x_0, y_0) \text{ 处可微}$
陷阱辨析：
- 只有当函数可微时，切平面方程才为 $f'_x(0, 0)(x - 0) + f'_y(0, 0)(y - 0) - (z - z_0) = 0$ ，其法向量才为 $\mathbf{n} = (f'_x, f'_y, -1) = (3, 1, -1)$ ；
- 本题未说明函数可微，切平面可能根本不存在，无从定义曲面的法向量；
- 即使退一步假定函数可微，法向量也应为 $(3, 1, -1)$ 或 $(-3, -1, 1)$ ，而非 $(3, 1, 1)$ 。故 (B) 错误。

3. 剖析选项 (C) 与 (D)：截线曲线的参数切向量求解

建立曲线参数方程：曲线由曲面与坐标平面 $y = 0$ 相交给出： $\Gamma: \begin{cases} z = f(x, y), \\ y = 0 \end{cases}$ 将 $y = 0$ 代入 $z$ 中，取 $x = t$ 为参数，得到曲线的参数方程为： $\begin{cases} x(t) = t, \\ y(t) = 0, \\ z(t) = f(t, 0) \end{cases} \quad (t \text{ 属于 } 0 \text{ 的某邻域})$
计算切向量坐标：在对应点 $t = 0$ 处对参数求导： $\begin{aligned} x'(0) &= \left.\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = 1, \\ y'(0) &= \left.\frac{\mathrm{d}(0)}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = 0, \\ z'(0) &= \left.\frac{\mathrm{d}f(t, 0)}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t, 0) - f(0, 0)}{t} = f'_x(0, 0) = 3. \end{aligned}$ 因此，曲线在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处的切向量为： $\boldsymbol{\tau} = (x'(0), y'(0), z'(0)) = (1, 0, 3)$ 由于题设已知 $f'_x(0, 0) = 3$ 存在，此极限必然存在，切向量客观且唯一存在。故 (C) 正确，(D) 坐标分量位置颠倒错误。

补充验证：法向量外积法（仅供对照）

设两个曲面方程分别为：

F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0, \qquad G(x, y, z) = y = 0

在点 $(0, 0, f(0, 0))$ 处：

$F(x, y, z)$ 沿着 $y = 0$ 截线剖面，在 $x$ 方向偏导为 $F'_x = f'_x(0, 0) = 3$ ， $z$ 方向偏导为 $F'_z = -1$ ；
$G(x, y, z) = y$ 的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (0, 1, 0)$ ；

利用两曲面相交曲线切向量为两法向量叉积：

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-1)\mathbf{i} + (3 \times 0 - 0)\mathbf{j} + (3 \times 1 - 0)\mathbf{k} = \mathbf{i} + 3\mathbf{k} = (1, 0, 3)

计算结果高度一致，进一步验证了 (C) 的准确性。

ギターと孤独と蒼い惑星

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例 17.2（偏导数存在、可微性与曲面切平面/曲线切向量辨析）

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