第二章 数学模型 (Mathematical Models)

自动控制原理核心基础讲义数字化全量精编版
来源讲义：《27起点未定院校基础讲义上.pdf》第二章（讲义内部第 024171 页，PDF 第 27174 页，共 148 页）

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目录与概览

本目录为考研专业课《自动控制原理》第二章 数学模型的全量数字化 Markdown 讲义库。全章共包含 33 个小节，完整涵盖自动控制系统的微分方程建模、拉氏变换及反变换、传递函数与典型环节、电路系统复阻抗法与微分方程列写、结构图及其等效化简、信号流图与梅森增益公式、开环/闭环/误差传递函数，以及全章学习规划与知识脉络总结。

核心数字化标准

1. 高保真逐字转录：严格按原讲义内容逐字转录，完整保留“本节课适用对象”、“本节课所授知识点”、“重要提示/重点提示”、“例”、“解”、“证明”、“整理得”及填空横线（________），无删减与润色。
2. 纯净排版过滤：彻底剥离原扫描页中的推广水印、页眉（公众号/抖音/小红书等）及页脚（“起点考研… | 第xx/698页…”）。
3. 标准 KaTeX 公式：所有行内数学符号（$...$）与独立行公式块（$$...$$）均严格转换为标准 LaTeX 语法，杜绝公式渲染语法错误。
4. 高清矢量切片：原讲义中所有电路图、结构图、信号流图、知识树状图均以 300 DPI 超高清分辨率精准切片保存于 ./assets/ 目录，以标准相对路径 Markdown 嵌入，消除多余空白与边缘黑线。

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全章 33 小节详尽索引与统计表

序号	模块划分	文件名 (Markdown)	小节标题	讲义页码	PDF页码	插图数	核心内容提要与考点
1	学习规划	01-学习规划-数学模型.md	01 学习规划-数学模型	p024-p025	p027-p028	2	全章学习规划、公式与图形表示两大体系、三阶段复习目标
2	拉氏变换	02-1-拉氏变换及反变换的基本方法.md	02-1 拉氏变换及反变换的基本方法	p026-p035	p029-p038	1	拉氏变换定义、八大性质推导、单根与重根部分分式展开、微分方程初值求解
3	拉氏变换	02-2-正余弦的拉氏变换及反变换.md	02-2 正余弦的拉氏变换及反变换	p036-p040	p039-p043	0	欧拉公式推导正余弦及衰减正余弦拉氏变换、共轭复根配方法与展开法反变换
4	拉氏变换	02-3-应用留数法求部分分式的系数.md	02-3 应用留数法求部分分式的系数	p041-p043	p044-p046	0	留数法（遮断法）求单极点与多重极点部分分式系数的标准代数技巧
5	拉氏变换	02-4-考研避坑：拉氏变换及反变换.md	02-4 考研避坑：拉氏变换及反变换	p044-p045	p047-p048	0	终值定理适用条件（极点位于左半开平面/虚轴一阶极点）、微分性质与反变换易错点辨析
6	拉氏变换	02-5-随堂练习：拉氏变换及反变换.md	02-5 随堂练习：拉氏变换及反变换	p046-p054	p049-p057	0	9道经典微分方程拉氏变换实战例题，覆盖非零初值、重根、欠阻尼复根综合推导
7	传递函数	03-1-传递函数相关的基础知识.md	03-1 传递函数相关的基础知识	p055-p056	p058-p059	2	零初始条件假设、传递函数数学定义与物理本质、特征方程与零极点分布
8	典型环节	03-2-控制系统常见的典型环节.md	03-2 控制系统常见的典型环节	p057-p059	p060-p062	1	比例、PD、积分、惯性、二阶振荡、延迟（时滞）六大典型环节模型与阶跃响应
9	电路模型	04-1-电路相关的基础知识.md	04-1 电路相关的基础知识	p060-p066	p063-p069	12	电压电流参考方向、关联参考方向、欧姆定律、KCL/KVL定律在控制建模中的规范
10	电路模型	04-2-电路相关的基本方法.md	04-2 电路相关的基本方法	p067-p069	p070-p072	6	支路电流法、网孔电流法、节点电压法列写电路控制微分方程的基础法则
11	电路模型	04-3-电阻的Y形联结和△形联结.md	04-3 电阻的Y形联结和△形联结	p070-p075	p073-p078	8	星形 (Y) 与三角形 ($\Delta$) 电阻等效互换公式推导、复杂电桥网络化简解法
12	电路模型	04-4-电容元件及电感元件.md	04-4 电容元件及电感元件	p076-p077	p079-p080	2	电容与电感的微分/积分形式伏安特性方程、储能元件时域向复频域过渡模型
13	电路模型	04-5-随堂练习：列写电路的微分方程.md	04-5 随堂练习：列写电路的微分方程	p078-p081	p081-p084	4	RLC双回路无源网络时域微分方程列写实战、消去中间电流变量的规范化步骤
14	电路模型	04-6-复阻抗法.md	04-6 复阻抗法	p082-p087	p085-p090	11	复阻抗定义（$Z_R=R, Z_L=Ls, Z_C=1/Cs$）、复频域欧姆定律与分压分流速解传递函数
15	电路模型	04-7-求解电路的传递函数-1.md	04-7 求解电路的传递函数-1	p088-p093	p091-p096	10	多级RC无源滤波网络、复阻抗法列写节点方程求传递函数的经典例题
16	电路模型	04-8-求解电路的传递函数-2.md	04-8 求解电路的传递函数-2	p094-p098	p097-p101	8	运算放大器有源网络建模、“虚短”与“虚断”核心法则、比例积分/超前滞后校正器传递函数
17	结构图	05-1-结构图相关的基础知识.md	05-1 结构图相关的基础知识	p099-p101	p102-p104	5	结构图四大要素（信号线、引出点、比较点、方框环节）、串联/并联/反馈基本连接模型
18	结构图	05-2-化简结构图的基本方法.md	05-2 化简结构图的基本方法	p102-p105	p105-p108	11	比较点的前移与后移、引出点的前移与后移、比较点间互换、引出点间互换等效规则
19	结构图	05-3-化简结构图求传递函数-1.md	05-3 化简结构图求传递函数-1	p106-p111	p109-p114	20	单回路交叉结构图化简实战、移动比较点解除回路交叉、求闭环系统传递函数
20	结构图	05-4-化简结构图求传递函数-2.md	05-4 化简结构图求传递函数-2	p112-p117	p115-p120	21	多重交叉嵌套结构图化简、引出点前移与后移解除耦合、逐层消环标准范例
21	结构图	05-5-化简结构图求传递函数-3.md	05-5 化简结构图求传递函数-3	p118-p120	p121-p123	9	复杂多回路交叉结构图综合演练、高难度结构图化简技巧与避坑点
22	结构图	05-6-多输入多输出系统的结构图化简.md	05-6 多输入多输出系统的结构图化简	p121-p126	p124-p129	17	叠加原理在多源控制系统中的应用、输入信号作用与扰动作用下的闭环传递函数分别求解
23	结构图	05-7-互换引出点与比较点以化简结构图.md	05-7 互换引出点与比较点以化简结构图	p127-p129	p130-p132	11	紧邻引出点与比较点直接对调法则、新增反馈补偿支路的等效变换与特例精讲
24	信号流图	06-1-信号流图及其绘制的基本方法.md	06-1 信号流图及其绘制的基本方法	p130-p132	p133-p135	6	信号流图术语（源/阱/混合节点、支路增益、前向通道、独立回路、互不接触回路）
25	信号流图	06-2-根据结构图绘制信号流图.md	06-2 根据结构图绘制信号流图	p133-p135	p136-p138	10	结构图向信号流图的一对一映射法则（节点编号、支路标定、符号正负转换规则）
26	梅森公式	06-3-应用梅森增益公式求传递函数.md	06-3 应用梅森增益公式求传递函数	p136-p137	p139-p140	2	梅森公式 $P = \frac{1}{\Delta}\sum P_k \Delta_k$、系统特征式、前向通道、回路互不接触项计算法则
27	信号流图	06-4-信号分支法.md	06-4 信号分支法	p138-p140	p141-p143	4	树状信号分支追踪法、多通道复杂拓扑网络不重不漏遍历全部前向通道与独立回路
28	梅森公式	06-5-应用梅森增益公式求传递函数-1.md	06-5 应用梅森增益公式求传递函数-1	p141-p147	p144-p150	12	单输入单输出系统梅森公式实战、接触判断与子特征式 $\Delta_k$ 严谨推演
29	梅森公式	06-6-应用梅森增益公式求传递函数-2.md	06-6 应用梅森增益公式求传递函数-2	p148-p154	p151-p157	10	密集反馈复杂多回路信号流图精析、三两互不接触回路的高阶计算范例
30	梅森公式	06-7-多输入多输出系统求传递函数.md	06-7 多输入多输出系统求传递函数	p155-p163	p158-p166	12	多源系统梅森公式求解：各源节点到阱节点特征式 $\Delta$ 恒等性、通道增益与余子式差异分析
31	信号流图	06-8-求系统混合节点到阱节点的传递函数.md	06-8 求系统混合节点到阱节点的传递函数	p164-p167	p167-p170	2	混合节点非纯输入节点的陷阱分析、引入单位增益虚拟前向支路转化为标准源节点的破题绝技
32	开闭环	07-1-开环闭环及误差传递函数.md	07-1 开环闭环及误差传递函数	p168-p169	p171-p172	3	开环传递函数定义 $G(s)H(s)$、输入与扰动下闭环传递函数及误差传递函数公式与叠加定理
33	本章总结	07-2-本章总结-数学模型.md	07-2 本章总结-数学模型	p170-p171	p173-p174	2	全章知识体系网络导图、公式表示与图形表示两大分支、基础/提升/冲刺学习进阶规划

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全章核心知识体系全景拓扑

第二章“数学模型”是现代与经典控制理论的基石，主要围绕两大表达体系展开：

                           ┌──────────────────────────────┐
                           │      第二章 数学模型         │
                           └──────────────┬───────────────┘
                                          │
            ┌─────────────────────────────┴─────────────────────────────┐
            │                                                           │
┌───────────▼───────────┐                                   ┌───────────▼───────────┐
│       公式表示        │                                   │       图形表示        │
└───────────┬───────────┘                                   └───────────┬───────────┘
            │                                                           │
    ┌───────┴───────┐                                           ┌───────┴───────┐
    │               │                                           │               │
┌───▼───┐       ┌───▼───┐                                   ┌───▼───┐       ┌───▼───┐
│微分方程│       │传递函数│                                   │ 结构图 │       │信号流图│
└───┬───┘       └───┬───┘                                   └───┬───┘       └───┬───┘
    │               │                                           │               │
    ├─ 概念与建立   ├─ 零初始条件定义                           ├─ 4大基本要素  ├─ 节点/支路增益
    ├─ 非线性线性化 ├─ 复阻抗法速解                             ├─ 移动变换规则 ├─ 信号分支法
    └─ 微分方程求解 ├─ 6大典型环节                              ├─ 多输入多输出 ├─ 梅森增益公式
                    └─ 开环/闭环/误差传递函数                   └─ 引出/比较对调└─ 混合节点处理

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图像资产归档规范与目录统计

全章共包含高分辨率插图 220+ 幅，均存放于 ./assets/ 目录中。

命名标准

• 命名格式：<小节编号>_<讲义页码>_fig<序号>.png
• 示例：
  • 01_p024_fig01.png：第 01 节，讲义第 024 页第 01 幅图
  • 04-6_p082_fig01.png：第 04-6 节，讲义第 082 页第 01 幅图
  • 07-2_p170_fig01.png：第 07-2 节，讲义第 170 页全章知识脉络思维导图
• 裁切规格：
  • 格式：PNG（300 DPI 高保真位图）
  • 范围：横向严格收缩至内容边缘（$x \in [70, 525]$ pt），纵向去除页眉（$y \le 86.4$ pt）与页脚（$y \ge 753.6$ pt），图例完整、边框规整。

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使用与阅读建议

1. 零基础与基础阶段：
   • 重点掌握第 01、02-1 ~ 02-3（拉氏变换与留数法）、03-1 ~ 03-2（传递函数与典型环节）、04-1 ~ 04-6（电路基础与复阻抗法）。
   • 掌握结构图化简的基本移动规则（05-1 ~ 05-3）及信号流图与梅森公式基础应用（06-1 ~ 06-3）。
2. 强化与提升阶段：
   • 攻克电路有源网络建模（04-8 运放网络）、多输入多输出结构图（05-6）、引出点与比较点特殊对调（05-7）。
   • 熟练运用信号分支法（06-4）解决复杂交叉信号流图（06-5 ~ 06-7）及混合节点求传递函数（06-8）。
   • 深刻理解并熟记开环传递函数、闭环传递函数及误差传递函数的标准定义（07-1）。
3. 查漏补缺与全章复习：
   • 结合 07-2 全章总结导图，对照复习知识网络，核验各环节掌握程度。