04-3 电阻的Y形联结和△形联结

·本节课适用对象 对此方法感兴趣的学生

·本节课所授知识点 电阻的 Y 形联结和 $\Delta$ 形联结 电阻电路的 Y-$\Delta$ 等效变换

1、Y形联结和△形联结

·Y 形联结和 $\Delta$ 形联结 Y 形联结也称为星形联结，$\Delta$ 形联结也称为三角形联结。

2、电阻电路的Y-△等效变换

·电阻电路的 Y-$\Delta$ 等效变换 如果在它们的对应端子之间具有相同的电压 $u_{12}$、$u_{23}$、$u_{31}$，而流入对应端子的电流分别相等，即 $i_1=i_1'$、$i_2=i_2'$、$i_3=i_3'$，此时，它们为等效电路。

$$\begin{cases} R_{12} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3} \\[8pt] R_{23} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\[8pt] R_{31} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \end{cases} \iff \begin{cases} R_1 = \dfrac{R_{12} R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \\[8pt] R_2 = \dfrac{R_{23} R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \\[8pt] R_3 = \dfrac{R_{31} R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \end{cases}$$

$\Delta\text{形电阻} = \frac{\text{Y形电阻两两乘积之和}}{\text{Y形不相邻电阻}}$

$\text{Y形电阻} = \frac{\Delta\text{形相邻电阻的乘积}}{\Delta\text{形电阻之和}}$

·例 电路中 $R_1 = R_2 = R_3 = 1\Omega$，$R_4 = R_5 = 3\Omega$，试求电路的总电阻。

解： 根据 $\text{Y}-\Delta$ 等效变换

$$\begin{cases} R_{12} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3} \\[8pt] R_{23} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\[8pt] R_{31} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \end{cases}$$

求得 $R_{12} = R_{23} = R_{31} = 3\Omega$

$R_6 = \frac{R_4 R_{12}}{R_4 + R_{12}} = 1.5\Omega \qquad R_7 = \frac{R_5 R_{23}}{R_5 + R_{23}} = 1.5\Omega$ $R_8 = R_6 + R_7 = 3\Omega$ $R = \frac{R_8 R_{31}}{R_8 + R_{31}} = 1.5\Omega$

·例 电路中 $R_1 = R_2 = R_3 = 1\Omega$，$R_4 = R_5 = 3\Omega$，试求电路的总电阻。

解： 根据 $\text{Y}-\Delta$ 等效变换

$$\begin{cases} R_1' = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3 + R_5} \\[8pt] R_2' = \dfrac{R_2 R_5}{R_2 + R_3 + R_5} \\[8pt] R_3' = \dfrac{R_3 R_5}{R_2 + R_3 + R_5} \end{cases}$$

求得 $R_1' = \frac{1}{5}\Omega, \quad R_2' = \frac{3}{5}\Omega, \quad R_3' = \frac{3}{5}\Omega$

$R_6 = R_4 + R_2' = \frac{18}{5}\Omega \qquad R_7 = R_1 + R_1' = \frac{6}{5}\Omega$ $R_8 = \frac{R_6 R_7}{R_6 + R_7} = \frac{9}{10}\Omega$ $R = R_8 + R_3' = 1.5\Omega$

3、推导

·推导 Y形联结电路

$$\begin{cases} i_1 + i_2 + i_3 = 0 \\ R_1 i_1 = u_{12} + R_2 i_2 \\ R_2 i_2 = u_{23} + R_3 i_3 \\ R_3 i_3 = u_{31} + R_1 i_1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} i_1 = \dfrac{R_3 u_{12}}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} - \dfrac{R_2 u_{31}}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \\[10pt] i_2 = \dfrac{R_1 u_{23}}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} - \dfrac{R_3 u_{12}}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \\[10pt] i_3 = \dfrac{R_2 u_{31}}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} - \dfrac{R_1 u_{23}}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \end{cases}$$

（化简过程课上推导）

$\Delta$形联结电路

$$\begin{cases} i_1' = \dfrac{u_{12}}{R_{12}} - \dfrac{u_{31}}{R_{31}} \\[8pt] i_2' = \dfrac{u_{23}}{R_{23}} - \dfrac{u_{12}}{R_{12}} \\[8pt] i_3' = \dfrac{u_{31}}{R_{31}} - \dfrac{u_{23}}{R_{23}} \end{cases}$$

根据 $i_1 = i_1'$，$i_2 = i_2'$，$i_3 = i_3'$，可知 $u_{12}$、$u_{23}$、$u_{31}$ 前面的系数对应相等。

求得

$$\begin{cases} R_{12} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3} \\[8pt] R_{23} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} & \text{(1)} \\[8pt] R_{31} = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \end{cases}$$

①式左右两边分别相加，求得 R_{12} + R_{23} + R_{31} = \frac{(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)^2}{R_1 R_2 R_3} \tag{(2)}

①式前两项等号左右两边相乘，求得 R_{12} R_{23} = \frac{(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)^2}{R_1 R_3} \tag{(3)}

②、③式联立，求得 $R_2 = \frac{R_{23} R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}$

同理，可得

$$\begin{cases} R_1 = \dfrac{R_{12} R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \\[8pt] R_2 = \dfrac{R_{23} R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \\[8pt] R_3 = \dfrac{R_{31} R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \end{cases}$$